אינפי 1, תשנ"ו מועד ב' - פתרון (זלצמן)

קישור לבחינה עצמה: המבחן

שאלה 1

יהי $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ טור חיובי.

א. הראה שאם $\left \{a_{n} \right \}_{n=1}^{\infty }$ סדרה המקיימת לכל n $|a_{n+1}-a_{n}|<b_{_{n}}$ וכן $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}<\infty$ אזי הסדרה מתכנסת.

הוכחה:

אם הטור מתקיים התנאים הנ"ל כלומר: $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}<\infty$ וגם $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ טור חיובי, אזי הטור מתכנס. שכן סדרת הסכומים החלקיים שלו היא מונוטונית עולה וחסומה מילעל ולכן מתכנסת.

נוכיח כי הסדרה הינה קושי וזאת באמצעות הקריטריון של קושי להתכנסות סדרות.

יהי $\varepsilon >0$. לפי קריטריון קושי קיים $M\in \mathbb{N}$ כך שלכל $p\in \mathbb{N}$ מתקיים $|\sum_{i=M}^{M+p}b_{i}|<\varepsilon$.

יהיו $n,m>M$, אזי:

$|a_{n}-a_{m}|=|a_{n}-a_{n-1}+a_{n-1} - .... + a_{m+1}-a_{m}|\leq |a_{n}-a_{n-1}| + |a_{n-1}-a_{n-2}| +....+|a_{m+1}-a_{m}|\leq b_{n-1}+b_{n-2}+...+b_{m}=\sum_{i=m}^{n-1}b_{i}\leq \sum_{i=M}^{n-1}b_{i}<\varepsilon$

הראנו שהסדרה היא קושי ולכן מתכנסת.

ב אם