אינפי 1, תשנ"ו מועד ב' - פתרון (זלצמן)

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

קישור לבחינה עצמה: המבחן

שאלה 1

יהי \sum_{n=1}^{\infty }b_{n} טור חיובי.

א. הראה שאם \left \{a_{n}  \right \}_{n=1}^{\infty } סדרה המקיימת לכל n |a_{n+1}-a_{n}|<b_{_{n}} וכן \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}<\infty אזי הסדרה מתכנסת.

הוכחה:

אם הטור מתקיים התנאים הנ"ל כלומר: \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}<\infty וגם \sum_{n=1}^{\infty }b_{n} טור חיובי, אזי הטור מתכנס. שכן סדרת הסכומים החלקיים שלו היא מונוטונית עולה וחסומה מילעל ולכן מתכנסת.

נוכיח כי הסדרה הינה קושי וזאת באמצעות הקריטריון של קושי להתכנסות סדרות.

יהי \varepsilon >0. לפי קריטריון קושי קיים M\in \mathbb{N} כך שלכל p\in \mathbb{N} מתקיים |\sum_{i=M}^{M+p}b_{i}|<\varepsilon .

יהיו n,m>M, אזי:

|a_{n}-a_{m}|=|a_{n}-a_{n-1}+a_{n-1} - .... + a_{m+1}-a_{m}|\leq |a_{n}-a_{n-1}| + |a_{n-1}-a_{n-2}| +....+|a_{m+1}-a_{m}|\leq b_{n-1}+b_{n-2}+...+b_{m}=\sum_{i=m}^{n-1}b_{i}\leq \sum_{i=M}^{n-1}b_{i}<\varepsilon

הראנו שהסדרה היא קושי ולכן מתכנסת.


ב. אם הטור \sum_{n=1}^{\infty }b_{n} אז קיימת סדרה \left \{a_{n}  \right \}_{n=1}^{\infty } המקיימת לכל n |a_{n+1}-a_{n}|<b_{_{n}} וגם מתבדרת.

הוכחה:

נביט בסדרת הסכומים החלקיים של הטור (עם שינוי קל): S_{n}=\sum_{i=1}^{n-1}b_{i} ונגדיר S_{1}=0

הטור \sum_{n=1}^{\infty }b_{n} מתבדר ולכן לפי ההגדרה (כי הוספת איבר אחד בהתחלה אינה משפיעה על התכנסות או התבדרות הסדרה) הסדרה מתבדרת.

כמו כן, קל לראות כי מתקיים התנאי: |S_{n+1}-S_{n}|=|\sum_{i=1}^{n}b_{i}-\sum_{i=1}^{n-1}b_{i}|=|b_{n}|=b_{n}

מ.ש.ל

שאלה 2

בדוק התכנסות והתכנסות בהחלט של הטורים הבאים:


א. \sum\frac{(-1)^{n}ln(n)}{n}

פתרון:

ראשית נבודק התכנסות בהחלט: \sum|\frac{(-1)^{n}ln(n)}{n}|=\sum\frac{ln(n)}{n}


1<ln(n) לכל 3\leq n ולכן לכל n שכזה מתקיים: \frac{1}{n}\leq \frac{ln(n)}{n} ולפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מכיוון שהטור ההרמוני מתבדר אז \sum\frac{ln(n)}{n} מתבדר.

ידוע \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{ln(n)}{n}=0 (ואם אתם לא מאמינים לי אפשר להוכיח את זה עם לפיטל) ולכן מספיק להוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת כדי להסיק התכנסות בתנאי לפי לייבניץ':

נביט בפונקציה f(x)=\frac{ln(x)}{x}, מספיק להראות שf'(x)\leq 0 כאשר x\geq 3.

f'(x)=\frac{1-ln(x)}{x^2} וקל לראות שהתנאי לעיל מתקיים עבור x\geq e ובפרט עבור x\geq 3.


ב. \sum (-1)^nsin(\frac{1}{n^2})

פתרון:

נראה התכנסות בהחלט לפי מבחן ההשוואה הגבולי

\frac{sin(\frac{1}{n^2})}{\frac{1}{n^2}}\rightarrow 1 ולכן הטורים חברים.

מכיוון \sum\frac{1}{n^2} מתכנס אז גם \sum sin(\frac{1}{n^2}).

ולכן הטור מתכנס בהחלט


ג. \sum (-1)^n\frac{(2n)!}{n^{2n}}

פתרון:

נוכיח התכנסות בהחלט לפי מבחן המנה של ד'לאמבר

\frac{\frac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\frac{(2n)!}{n^{2n}}}=\frac{\frac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\frac{(2n)!\cdot n^2}{n^{2n+2}}}=\frac{(2n+2)!}{(2n)!\cdot n^2}\cdot (\frac{n}{n+1})^{2n}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{n^2}\cdot(1-\frac{1}{n+1})^{2n+2}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{n^2}\cdot ((1-\frac{1}{n+1})^{n+1})^2\rightarrow \frac{4}{e^2}<1

ולכן הטור מתכנס בהחלט!

שאלה 3

ציטוט משפטים

שאלה 4

יש לבדוק האם הפונקציות הבאות רבמ"ש בקטעים הנתונים:

א. f(x)=xsin(\frac{1}{x^2}) בקטע (0,1)

נראה שהגבולות בקצוות הקטע סופיים ולכן הפונקציה רבמ"ש:

\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}xsin(\frac{1}{x^2})=0, חסומה כפול 0.

\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}xsin(\frac{1}{x^2})=f(1)=sin(1). מזאת מכיוון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.


ב. f(x) מסעיף א' בקרן (1,\infty )