=אינפי ' 1 לתיכוניסטים=כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1. אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס אינפי' 1 - סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן.
כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1. אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס =ארכיון=[[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע - סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן.ארכיון 1|ארכיון 1]]
שאלה בקשר לשיעורי בית:האם צריך להוכיח שמינוס שורש שתיים הוא אי רציונאלי וששתיים בחזקת חצי הוא שורש שתיים.בשאלה 3, כאשר נותנים דוגמה נגדית, צריך להוכיח מהו החסם העליון?תודה* תשובה : לא, ידוע ששורש שתיים הוא אי רציונלי, ולכן גם הנגדי לו אי רציונלי. בנוסף, גם ידוע ששתיים בחצקת חצי הוא שורש שתיים (אחרת מהו שורש?!). בשאלה 3 - אני נתתי דוגמא נגדית שיהיה קל למצוא את החסם העליון. אם מדובר בחלק מההוכחה אז כן (לדעתי)[[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע -ארכיון 2|ארכיון 2]]
==תרגיל 4, שאלה 1=תרגילי אתגר באינפי'=* אם אני יכול למצוא ביטוי מפורש מצא סדרה כך שקבוצת הגבולות החלקיים שלה היא כל הממשיים*מצא פונקציה רציפה בקטע <math>(ולא רקורסי) של איברי הסדרה0, האם מותר לי להשתמש 1]</math> שאינה חסומה בו?מלעיל ואינה חסומה בו מלרע*האם הטענה הבאה נכונהמצא פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף סביבה של 0*מצא פונקציה שאם תגזור אותה תקבל <math>\tan</math>*הוכח/הפרך: אם ביטוי א' קטן או שווה לביטוי ב', אזי הגבול של ביטוי א' קטן או שווה לגבול של ביטוי ב'?תודה רבה!!!הסדרה <math>\sin(n)</math> אינו קיים
===תרגיל 3, שאלה10אתגר מאתגר במיוחד===בתור תלמיד בקבוצה של ראובן, אני לא למדתי גבולות של פונקציות טריגונומטריותתרגילי האתגר הנ"ל מאתגרים וטריקיים אך ניתן לפתור אותם בעזרה הידע שלכם מקורס אינפי' בלבד. בכל זאת, אני לא חושב ש- <math>n^2-81cosאת האתגר הבא צריך לפתור בעזרת ידע מקורסים אחרים שלמדתם בנוסף: (n!)</math> יכול לשאוף למינוס אינסוף. אם כבר, הכי נמוך שהוא מגיע קרדיט ללואי שפתרה את זה 68.77379321867966-(הרצתי תוכנית ב-Java עד לערך המקסימלי של int, שהוא שתיים בחזקת 31 פחות אחד אם אני לא טועה, וזה הכי נמוך שקיבלתי). אז מדוע השאלה מבקשת שאוכיך עבור פלוס ומינוס אניסוף.
==סדרה חסומה?==אני לא מוצא את ההגדרה המפורשת של קבוצה חסומה. *האם קובצה חסומה חסומה מלעיל ומלרעקיימת פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף נקודה בקטע <math>[0, או רק אחד מהם1]</math> ?אם כן מצא אותה, אם לא הוכח שלא.
===תשובה===לרוב הכוונה לחסומה גם מלעיל וגם מלרע (זו ההגדרה של חסומהשוב, זה תרגיל מאד קשה, אל תרגישו רע אם אתם לא מצליחים לפתור אותו)
==תרגיל 1 - שאלות=פתרונות לאתגרים==='''[[פתרונות לאתגר אינפי 1 תיכוניסטים תש"ע|פתרונות]]'''
*בשאלה 5 שצ"ל =שאלות===מהבוחן==מישהו זוכר איך מראים שגבול הסדרה <math>A_n>=G_n\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}-1}</math> הצבתי לפי ההדרכה הוא 1? כאשר (<math>b_i=\fracsqrt[n]{a_i}{Gx}</math>, והגעתי למצב בו עליי להוכיח את אי השוויון הבא:זהו השורש ה- <math>a_1+a_2+n</math>-י של <math>x</math> ...+a_nובלינארית (מתוך מבחן של רון עדין), איך מראים שלמטריצות מתחלפות <math>A,B</math> (ז"א ש- <math>AB=GBA</math>איך אני מוכיח את הטענה? הנ) קיים ו"ל? האם מותר לי להעלות בחזקת n, מכיוון ששני האגפים בודאות חיובייםע משותף...?
==תרגיל 2 - הודעה לתלמידי ד"ר ראובן כהןשאלה==תאריך הגשת התרגיל נדחה לשבוע הבא, יום ראשון היש לי שאלה על גבול שאני מנסה למצוא אבל משום מה יש שלב אחד שלכאורה נראה לי נכון אבל הוא לא. נתונה הפונקציה::<math>\frac{p\sin(x)-15\sin(px)}{x(\cos(x)-\cos(px))}</11.math>כאשר <math>x</math> שואף ל-0
קצת מאוחר להודע את זה עכשיו, לא?כאשר <math>p=\pi</math> .
פירקתי את השבר לשני שברים בצורה הבאה: כל מחובר של המונה לבדו עם המכנה (חיבור שברים עם אותו מכנה הוא שבר עם אותו מכנה כמו של השניים המקוריים כאשר מחברים את המונים שלהם, אם עדיין לא הבנת את כוונתי)
ואז בצד אחד היה לי <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> וזה שואף ל-1. בצד שני היה לי <math>\frac{\sin(px)}{x}</math> אז פשוט כפלתי וחילקתי ב- <math>p</math> ואז בגלל ש- <math>x</math> שואף ל-0, גם <math>px</math> שואף ל-0 מה שאומר שגם <math>\frac{\sin(px)}{px}</math> שואף ל-1.
ואז כביכול היה יוצא 0 כי שני השברים מצמצמים אחד את השני.
הבעיה היא במה שאמרתי על <math>\sin(px)</math> ו- <math>px</math> כי בדקתי במחשבון ושם זה נתן תוצאה אחרת.
לכן רציתי לדעת איך לפתור את זה באמת.
תודה
==שאלה בקשר לתרגיל בית מס' 2, שאלה 2==
בא', צריך להוכיח כל טענה לגבי חיבור, חיסור, כפל וחילוק של מס' רציונליים?או שמספיק להגיד אם זה מתקיים או לא?
===תשובה===
עדיף שתפריך<math>\תוכיחfrac{\sin(px)}{px}\xrightarrow[x\to0]{}1</math> . קל לראות את זה לפי היינה. אם <math>x_n</math> סדרה ששואפת ל-0 אזי גם <math>\frac{x_n}{p}</math> סדרה ששואפת ל-0, פשוט תציב בפונקציה ותקבל שבזכות ש- <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> שואף ל-1, שגם הפונקציה הזו על הסדרה הנ"ל שואפת ל-1. (לא מאד ארוך ומסובךניסחתי מדויק, אני אשאיר לך לתקן את הפערים).
==בתרגיל מספר 2==
שאלה 1 לא נכונה, זה לא מוכיח את זה!
*היא נכונה, שים לב שאחד המקרים מוכל בשני. כלומר אם אני אגיד לך:
<math>X>3</math>. הוכח: <math>X>2</math> לא תהיה לך בעיה לעשות את זה, נכון?
==לגבי מקסימום (מינימום) וחסם עליון (תחתון)==מצטער אבל לא ממש הבנתי איך התשובה שלך קשורה לשאלה שלי.
אני יכול להגיד בוודאות שמשהו הוא חסם עליון במחשבון יוצא שהפונ' שואפת ל-1.047 (תחתוןוממש המספר הזה, לא 1) אם הוכחתי שהוא מקסימום (מינימום)?
אני אכתוב לך את מה שעשיתי ואני מקווה שתצליח להסביר לי מה היה לא נכון::<math>\lim\limits_{x\to0}\left[\frac{\pi\sin(כל זאת בהנחה שיש באמת מקסימום או מינימום לקבוצה..x)-\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math>
=== תשובה ===זה שווה ל::<math>\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi\sin(x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}-\frac{\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math>
כן. נניח M מקסימום של קבוצה A. נניח M אינו חסם עליון אזי קיים <math>M_2</math> חסם מלעיל כך ש<math>M_2<M</math>, ולכן ששווה ל::<math>\forall a lim_{x\in A : M_2 to0}\left[\frac{\pi}{\cos(x)-\cos(\geq api x)}-\frac{\pi\sin(\pi x)}{\pi x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math>. אבל M מקסימום לכן ששווה ל::<math>M \in Alim_{x\to0}\left[\frac{\pi}{\cos(x)-\cos(\pi x)}-\frac{\pi}{(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]=0</math> וזה אמור להיות 0 זהותית (כלומר ממש 0, לא שואף ל-0.. אבל זו סתירה לכך ש <math>M_2</math> חסם מלעיל כיוון ש<math>M_2<M</math>.)
==כמה שאלות כלליות.==
מספיק להראות שקבוצה מסוימת חסומה מלעל ע"י מציאת הsup שלה?
ובשאלה 3 (בתרגיל בית מס' 2), בקשר לסעיפים ב' וג', אני צריכה להתעלם מהמקרה של הקבוצה הריקה? כי אם החיתוך שלהם הוא ריק, אז אין להם מקסימום וחסם עליון לפי מה שנאמר לנו בכיתה.. (הן אמנם חסומות בצורה ריקה אבל אין להם מקסימום/חסם עליון.)
ועוד שאלה קטנה: כדי להראות שקבוצה אינה חסומה, מילעל נניח, מספיק להראות שלכל m>0, קיים N (או שמא קיימים Nים החל ממקום מסוים? מה הניסוח הנכון?) כך שאיבר בסדרה כפונקציה של N גדול מאותו m?
אשמח לתשובה, כי אלו דברים בסיסיים שמופיעים בתרגיל פעמים רבות..
===תשובה===
sup הינו החסם העליוןדבר ראשון, כלומר חסם המלעל הכי קטןאסור בתכלית האיסור, להחליף באמצע התרגיל את חלק מהגבולות למספר אליו הם שואפים. אם הוא קייםאחרת <math>1^\infty</math> תמיד שווה 1 למרות שאנחנו יודעים שהוא יכול להיות e. ושוב, הייתי פותר את זה באמצעות כלל לופיטל, אז קיים חסם מלעיל (הוא עצמו) ובפרט הקבוצה חסומהולא בטוח איך אפשר אחרת.
לגבי השאלה הקטנהאוקי, אז נניח שהייתי מכניס את מבלבלת בין שני מושגיםה- קבוצה וסדרה. לקבוצה אין מיקום או סדר כמו לסדרה. על מנת להראות שקבוצה לא חסומה, יש להראות שלכל מספר ממשי M קיים איבר בקבוצה שגדול מM. על מנת להראות שסדרה לא חסומה, יש להראות שלכל איבר M קיים איבר בסדרה שגדול מM. אם רוצים להראות שסדרה שואפת לאינסוף (או מתכנסת במובן הרחב) יש להראות שלכל M, קיים מקום בסדרה, נקרא לו <math>n_0\lim</math>, שהחל ממנו והלאה '''כל''' איברי הסדרה גדולים מMגם לשבר השני..
: תודה רבה. מה לגבי השאלה השנייה שלי? לגבי הקבוצה הריקה?:: אין לי מושג, אני עדיין לא יודע מה התרגיל שלכם.מבין למה זה לא היה עובד
== מספר שאלות שקשורות לתרגיל 2==(ותודה שאתה ממשיך לענות לי למרות החפירה..)
1.יש הרבה תרגילים שהתשובה ל":מה חסמי המלעיל" שלהם נראית ברורההכוונה מכניס <math>\lim</math> לשבר השני? אסור לך להחליף במספר, אבל אתה נשאר עם אינסוף פחות אינסוף ולא מצליח לחשב. לא כ"כ ברור לי האם צריך לנמק יהיה לך זהותית 0. אסור לך למחוק את זה <math>\frac{\sin(איך אפשר לנמק ביותר מלהראות שכולם אכן גדולים מכל איברי הקבוצה?x).}{x}</math>
2.מתי שיש חסם עליון – רק עכשיואז זה מה שאני לא מבין, אחרי שסיימתי חלק נכבד מהתרגילים, הבנתי שכדי להוכיח שמספר כלשהו הוא חסם עליון צריך להשתמש באפסילון, וכ'ו, אבל הוכחתי זאת בצורה שונה – הראיתי שאכן זהו חסם המלעיל הקטן ביותר. האם ההוכחה שלי בסדר?למה אסור למחוק את <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> הרי זה אמור להיות 1 כש- <math>x\to0</math>
3.בתרגילים עם הגבולות – כשנתון הגבול – האם הרעיון העיקרי הוא לבטא את ה-nים המסויימים שמהם והלאה לכל איבר שנחסר ממנו את הגבול נקבל שהם קטנים מאפסילון :כמו שאמרתי, לפי ההגיון הזה, גם <math>\left(1+\frac{1}{n מבוטא כתלות בכל אפסילון חיובי שנבחר}\right), ואח"כ להראות שאכן קיימים nים כאלה? (וצריך רק למפות אותם, כלומר אם התשובה הסופית שלי היא משהו בסגנון ^n=1<2Ɛ^2/math> כי <math>1+\frac{1}{n}\to1</math> . במקרה זה, יש לך <math>1\cdot\infty-2Ɛ\infty</math> אסור להשתמש באריתמטיקה של גבולות במקרה זה. דוגמא נגדית פשוטה יותר: <math>\frac{n+17 אז בעצם הוכחתי שהגבול שהנחתי שקיים אכן קיים?1}{n}\cdot n-\frac{n-1}{n}\cdot n</math> בשיטה שלך זה 0 זהותית. במציאות, זה שווה בדיוק 2.
4הבנתי.עד כמה "מעמיקה" צריכה להיות ההוכחה בכל התרגילים? אני לא יודע איך אפשר להיות בטוח שכתבתי מספיקתודה רבה! (וסליחה על החפירה הארוכה, מצד שני התרגילים לא מאתגרים במיוחד ככה שלא נתקלתי עוד בהוכחות כמו אלה שעשינו בהרצאה או בתרגול.שוב)
==שאלה קטנה==רציתי לבדוק אם הוכחתי שמספר כלשהו שלא נמצא בקבוצ A הוא חסם עליון של הקבוצה, מכך נובע ישירות שאין מקסימום, נכון?אני צודק: דורשים למצוא נקודות אי-רציפות וסיווגן בפונקציות הבאות:
===תשובה===כן. אם החסם העליון היה בקבוצה הוא היה מקסימום, ואם מקסימום קיים הוא החסם העליון1) <math>\frac{\cos(x)}{|\cos(x)|}</math>
2) <math>\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{2+\sin\left(\tfrac{2}{x}\right)}</math>
בשתיהן יצא לי 0 אי-רציפות סליקה. זה נכון? ==תרגיל 2, שאלה 2=תשובה===בסעיף אבראשון 0 '''אינה''' נקודת אי-רציפות בכלל... יש כמובן נקודות אי-רציפות אחרות, האם ניתן לקחת שני מספרים והן תמיד ממין ראשון. שים לב שהפונקציה הזו היא פשוט 1, 1- או לא מוגדרת. בשני זה נכון, וזו אכן נקודת אי רציונליים נגדיים ולהגיד שהחיבור שלהם הוא 0-הרציפות היחידה. כן, בראשון התבלבלתי..תודה רבה! ==שאלה==אפשר בבקשה עזרה בתרגיל?צריך לבדוק האם <math>y=\cos\big(\log(x)\big)</math> רבמ"ש בקטע הפתוח <math>(0,-\infty)</math> . אני לא ממש רואה את זה... (אין גבול בשאיפה ל- <math>0^+</math> , אז ניסיתי להראות ע"י שתי סדרות שואפות ל-0 שאין רבמ"ש, לא ממש הולך לי...)
מצטרפת לשאלה, אפשר גם למשל לקחת את המספרים: שורש 2, ו2 פחות שורש 2 ולהגיד שהחיבור שלהם רציונלי..?
===תשובה===
אין סיבה שלאמה לא הולך? <math>x_n=e^{\pi-2\pi n}\ ,\ y_n=e^{-2\pi n}</math> . שתי הסדרות שואפות ל-0, ולכן המרחק ביניהן שואף ל-0. אבל הפונקציה עליהן שווה 1 או 1-.
==הודעה לתלמידים של ראובן==
הדף הראשון של תרגיל 3 לשבוע הבא, הדף השני לעוד שבועיים.
==שאלה בהגדרת הסדרה==(זה לא כותב השאלה) אפשר פשוט לומר שהגבול באפס לא קיים, לכן הפונקציה לא רבמ"ש ב- <math>(0,1)</math> וכמובן שהיא לא רבמ"ש ב- <math>(0,\infty)</math> , לא?נתונה לי :(זה לא ארז) אני חושב שאסור, כי אז לפי מה שאתה אומר בגלל שלא קיים לsin x גבול באינסוף אז היא לא רבמ"ש... ::בכל מקרה, הדרך היחידה להוכיח שהגבול אינה קיים היא באמצעות הסדרות, כך שלא חסכת עבודה. באופן כללי, אפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש. זה נכון כי יש 2 אופציות: או שיש 2 סדרות ששואפות לצד הסופי (נגיד a) והפונקציה שואפת עליהן לגבולות שונים (וזה אוטומטית יוצר סתירה לרציפות במ"ש), או שיש סדרה כלשהי {an}ששואפת לאינסוף ואז הפונקציה אינה חסומה על קטע חסום, ויש ולכן אינה רציפה במ"ש. אבל כמו שאמרתי, כך או כך זה דורש את בניית הסדרות. :לאדע, לא עולה לי טענה שאני רוצה להפריךכל כך מהר הדוגמאות להפרכה. תודה בכל מקרה! יש לי עוד שאלה ממש קטנה, אני יכול להגדיר anמנסה להוכיח שכשX שואף ל0, אז ln sin x / ln x שואף ל1. :האם מותר לי להגיע לזה באמצעות המשפט של sin x / x =0 לכל n טבעי1 ? כי למדנו בכיתה ט' שסדרה קבועה אינה מוגדרת כסדרהאז אני מכפיל בX, מפעיל LN על שני האגפים, מחלק בLN X ומקבל את הדרוש... תודה לעונה! אסור. אין משפט שsinx/x=1 יש משפט שאומר שזה שואף לאחד... אבל לכפול בx זה כמו לכפול באפס וזה בוודאי אסור (אריתמטיקה של גבולות לא עוזרת פה). אפשר לפתור באמצעות כלל לופיטל, כמו שאמרתי אני לא יודע אם זה תקף גם באוניברסיטה בחומר או רק בתיכוןלא. זה לא בחומר, תודה בכל מקרה.! ==שאלה==יש משהו שנורא מבלבל אותי.נניח שיש לי את הפונקציה: <math>f(x)=e^{lnx}</math> מצד אחד הנגזרת שלה היא 1, כי היא שווה ל-X מצד שני, אם אני מתעלם מהעובדה שהדבר הזה הוא X ואני גוזר רגיל אני מקבל שהגזרת היא 1 חלקי X.מה עושים??? דרך אגב, ארז כתבתי לך בחזרה משהו בשאלה של ה- <math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(\pi x)}{\pi x}</math>אז בבקשה תענה לי.
===תשובה===
הסדרה הקבועה היא אכן סדרהלומדים לגזור!<math>[e^{lnx}]' =e^{lnx} \cdot \frac{1}{x}=\frac{x}{x}=1</math>
==תרגיל 4 שאלה 6 סעיף ב'==קיימת אפשרות לפיה L=אינסוףחח אופס, או שהתכוונו L=/=0 וממשי?סליחה.
==תרגיל 3, שאלה 2- רבמ"ש==נכון, חפרנו על הנושא למרות שתהיה מקסימום שאלה אחת על זה במבחן, ובכל זאת:נניח שאני רוצה להוכיח ש- f(x)=xsinx רבמ"ש. האם הסדרות יכולות להיות חסומות מצד אחד בלבד? או שלא חסומות הכוונה ללא חסומות משני הצדדיםמותר לי לקחת x, כלומר אין להן לא חסם מלעיל ולא חסם מלרעy שמקיימים <math>|x-y|<d</math> ולומר :<math>|xsinx-ysiny| \le |2x-2y| < 2d</math>(מהסיבה שפונק' הסינוס חסומה ע"י 1 ו-1-) ?
===תשובה===
בוודאי שלא. למשל <math>x=2000\pi, y=2000\pi + \pi/2, d = \pi/2</math> אז יוצא ש<math>|xsinx-ysiny|= 2000\pi + \pi/2</math>
== תשובה ==
הטריק הוא בגדול לקחת <math>x_1=x,x_2=x+h</math> ולפתח לפי נוסחאות טריגונומטריות.
לא חסומות אומר שאין להם חסם עליון וגם חסם תחתון. יכול להיות שהם ==שאלה - טורים==ישבתי על זה הרבה ולא הצלחתי X::נתון שיש טור המוגדר ע"חסומותי סכום הסדרה an ובדומה סכום המוגדר ע" רק מצד אחדי סכום הסדרה bn:ידוע שסיגמא AN זה A וסיגמא BN זה B:מגדירים סדרה חדשה, CN שבמקומות האי זוגיים היא מקבלת את b1,b3,b5.... ובמקומות הזוגיים היא מקבלת את a1,a2,a3,...:האם סיגמא CN מתכנס?
==מישהו יכול להסביר מה עושים בשאלה 3 בשתי הסעיפים?=תשובה===לא של ארז:מקווה שזה נכון:סכום האי זוגיים של הסדרה b מתכנס לפי קריטריון ההשוואה, הסכום של a כמובן מתכנס לפני הנתוןולכן סכום טורים מתכנסים הוא מתכנס.
==שאלה 12 סעיף ג'==
מישהו יכול לעזור?
:מבחן ההשוואה נכון לטורים חיוביים בלבד. והתשובה היא בוודאי לא, אם לא נתון שהטורים חיוביים. לוקחים את הטור הקלאסי להתכנסות בתנאי <math>b_n==שאלה כללית==האם אמור להיות מפורסם עוד תרגיל השבוע (27.11-1)?^n/n</math> ולוקחים כל טור מתכנס אחר להיות a_n...
==שאלה==
אם בקבוצה יש אינסוף איברים ששואפים לאינסוף, האם ניתן להגיד שהקבוצה לא חסומה מלעיל בלי להוכיח? שאלה מהמבחן של ראובן שנה שעברה שלא הצלחתי:ואיך ניתן תהי an סדרה מתכנסת כך ש: <math>s={an: n - belong - to - N}</math> כאשר N זה המספרים הטבעיים. ואומרים ש-s היא קבוצה סופית.צריך להוכיח זאת?שהחל מ-N מסויים, לכל n,m שגדולים ממנו, an=am.
זה נראה לי נכון אבל אני לא יודע איך לכתוב את זה בצורה מתמטית.
===תשובה===
יש טעות בתוך השאלה עצמהS הינה קבוצת כל האיברים בסדרה, והיא סופית. מה הכוונה אינסוף איברים ששואפים לאינסוף? הרי כלומר איבר אחד לא בסדרה יכול לשאוף לאינסוף, רק סדרה. אם הכוונה שיש בקבוצה סדרה להיות אחד מתוך מספר סופי של איברים שהיא שואפת לאינסוף (כלומר מתכנסת במובן הרחבאיבר מתוך S) . כעת, נגדיר את קבוצת ההפרשים <math>D=\{|s_1-s_2| : s_1,s_2 \in S, s_1\neq s_2\}</math> מכיוון שS סופית גם D סופית ולכן יש לה מינימום. נגדיר <math>\epsilon = Min(D)/2>0</math>. כעת, לפי תנאי קושי, קיים <math>n_0</math> כך שלכל <math>n,m>n_0</math> מתקיים <math>|a_m-a_n| < \epsilon</math> אבל אם <math>a_n \neq a_m </math> אזי הקבוצה לא חסומה מלעיל<math>|a_m-a_n| \in D</math> אבל <math>|a_n-a_m|<\epsilon < Min(d)</math> וזו סתירה. ההוכחה ממש מתבקשת מההגדרות :סבבה תודה! ===מבחן של ראובן===איפה יש את המבחן שלו משנה שעברה? באתר של גיל איפה זה, אפשר קישור? http://math. רשום אותן ותביןipnet.co.il '''טקסט מודגש'''תודה
==שאלה==
אם קבוצה עולה היא מתכנסתבאחת משאלות האתגר שנתתם (זאת עם הגבולות החלקיים שכוללים את כל הממשיים), הsup שלה הוא בהכרח הגבול שלה נכון..מותר לי פשוט להגיד ש-an היא הספירה של Q?אנחנו יודעים שאפשר לספור את Q אבל האם זה מספיק להסתמך על זה שקיימת ספירה כזאת ואז לרשום שנק' ההצטברות של Q הן כל R ולכן אלו הם הג"חים?
===תשובה===
נכון. נניח <math>m</math> השאלה היא האם משם אתה יכול להוכיח שכל מספר ממשי הוא החסם העליון גבול חלקי של קבוצת איברי הסדרה <math>A=\{a_1,a_2,הנ"ל...\}</math>אין משפט על הקשר שבין נקודת הצטברות של קבוצה, אזי לכל <math>\epsilon > 0</math> קיים איבר <math>a_{n_0}</math> ב<math>A</math> כך ש <math>a_{n_0}>m-\epsilon</math> (זו תכונה לבין הגבולות החלקיים של חסם עליון)סדרה המכילה את איברי הקבוצה. האם הסדר לפי תבנה את הסדרה משנה?
מכיוון ש<math>m</math> חסם עליון אז בוודאי הוא חסם מלעיל ולכן <math>a_{n_0}\leq m<m+\epsilon</math> ולכן <math>m-\epsilon<a_{n_0}<m+\epsilon</math>, ולכן <math>|a_{n_0}-m|<\epsilon</math>:אוקיי. . יש לי סדרה אחרת שנראה לי שהיא תעבוד. את כל שאר תרגילי האתגר הצלחתי לפתור (חוץ מזה שדורש שימוש בקורס אחר שאין לי מושג מה לעשות שם חוץ מזה שאני בטוח כמעט לגמרי שזו הפרכה..)
אבל מכיוון שהסדרה עולה::תשלח לי למייל בקצרה, לכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>a_n>a_{n_0}</math> ולכן <math>a_n>a_{n_0}>m-\epsilon</math> וכמובן <math>a_n\leq m<m+\epsilon</math> ולכן <math>|a_n-m|<\epsilon</math> וזו בדיוק הגדרת גבולאני אגיד לך אם צדקת.אגב, מתי המבחן שלכם?
:::המבחן שלנו מחר :S
רק טעות בשאלה::::הא, קבוצה לא מתכנסת, סדרה מתכנסתבהצלחה. כלומר המשפט הנכון הוא: סדרה מונוטונית עולה מתכנסת לחסם העליון של קבוצת האיברים שלה.יכול להיות שאני אהיה מחר באוניברסיטה.. אבל זה כבר לא יעזור לאף אחד :)
==שאלה==
בתרגיל 5הוכח שאם f גזירה ב-(a,b), ונגזרתה חסומה בקטע, שאלה 3: "השתמשו במבחן ההשוואה ומבחן ד'למאבר על מנת לבדוק אם הטורים הבאים מתכנסיםאזי f רבמ"ש שם. אני יכולה להשתמש בחלק מהסעיפים בדרכים אחרות לבדיקה אם טורים מתכנסים(WTF? למשל!) ===תשובה===נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש, להוכיח שהגבול לכן קיים אפסילון, כך שלכל דלתא קיים זוג x,y כך שהמרחק בינהם קטן מדלתא, אבל המרחק בין f(x) לf(y) גדול מאפסילון. ולכן <math>\frac{f(x)-f(y)}{x-y} > \frac{\epsilon}{\delta}</math>. ניקח <math>\delta_n = \frac{1}{n}</math> וניקח את הזוגות המתאימים <math>x_n,y_n</math>. אלה סדרות חסומות ולכן ניתן לקחת תת סדרה של הסדרה הוא בהכרח לא 0?<math>x_n</math> שמתכנסת, ואז תת-תת סדרה של y_n שמתכנסת וביחד נקבל שתי סדרות מתכנסות <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> ומכיוון שהמרחק ביניהן הולך וקטן הן מתכנסות לאותו הגבול, נקרא לו L. אבל אז חג שמח!* המתרגל רועי בן<math>\frac{f(x_{n_k})-ארי אמר שמותר להשתמש בכל מבחני ההשוואות שאנחנו מכיריםf(y_{n_k})}{|x_{n_k}-y_{n_k}|} > \frac{\epsilon}{\delta_{n_k}}</math> כלומר שואף לאינסוף, אם הם עוזרים לנו לפתור את התרגילאבל זה חסום על ידי קבוע כפול הנגזרת (לפי תרגיל אחר שנתנו לכם) וזו סתירה.
==עזרה==מישהו :: אתה יכול לתת כיוון איך להראות שהטור: סיגמה של sin(1/n) מתבדר/מתכנס..בבקשה להסביר למה הכוונה ב"זוגות המתאימים Xn Yn" - הכוונה היא לאותן סדרות שעזרו לך להוכיח או להפריך משהו בהרבה תרגילים אחרים בעמוד זה?* רמז: תראה באינדוקציה ש: <math>sin(\frac{1}{n})<\frac{1}{n^2}</math>.::הטענה הזו לא נכונהועוד משהו, תבדוק במחשבון ותראה (תציב, למשל, n=1000):::בדקתי בתוכנת מתמטיקה מתקדמת, הטור בכלל מתבדר (היא אמרה לי מפורשות וגם לפי המבחן האינטגרלי - שמוציא אינטגרל מאד מסובך - אבל שואף לאינסוף).::::אז איך אפשר להוכיח שהטור מתבדרלמה הכוונה חסום ע"י קבוע כפול הנגזרת? כל מבחן נותן בדיוק את 'תוצאת הביניים' (למשל 1 במבחן השורש של קושי, וכ'ו...)
==שאלה - יום ראשון הקרוב==האם ביום ראשון הקרוב, 27".12.. כך שלכל דלתא קיים זוג x, יתקיימו הרצאה ותרגיל? (צום י' בטבת)y..." הזוג הזה.
==בעיה==*השיעורים באינפי (תרגיל 5) הם למחר? (לקבוצה של רועי) כי אם כן, אז יש כמה בעיות - חוץ מזה שהבוחן בלינארית ביום שלישי, השיעורים שהוא נתן כוללים גם טורים לא חיוביים שבכלל לא למדנו - מה אנחנו אמורים לעשות?חסום ע"י הכוונה "קטן מ.."
==שאלה==
בשאלה 3, האם צריך להראות שהטורים חיוביים לפני שמשתמשים במבחן ההשוואה וד'אלמבר?נניח שאנחנו מקבלים פונקצייה כמו:יש טעות בתרגיל <math>cos\frac{1}{ln(x^2)}</math> . האם מצפים מאתנו להתייחס אליה כמוגדרת גם ב- יש שמה טורים שלא כל איבריהם חיוביים!x<0 (כפי שהיא כתובה), או ללכת צעד אחד קדימה ולהפוך את זה ל: <math>cos\frac{1}{2lnx}</math> ?
שאלה נוספת - כדי להוכיח שלא קיים גבול בנק' x==שאלה 1, במקרה זה, האם מותר לי להשתמש בנימוק המילולי הבא (?): הפונקצייה מבצעת אינסוף מחזורים בכל סביבה של הבנה=x=1, לכן הגבול לא קיים.בתרגיל 5 בשאלה 3 אם לא, איך אני פותר אחרת אפשר לנמק את הסעיפים שםאי- צריך להראות את שתי השיטות או שמספיק לבחור אחת מהןקיום הגבול בנק', בלי פשוט לומר שהפונק' שבתוך ה-cos שואפת לאינסוף?
==תרגיל 6 באינפי==
רועי העלה לאתר תרגיל 6 אתמול בערב (ביום חמישי). האם הוא התכוון שנעשה אותו ליום ראשון הקרוב (מחרתיים)?
בכל מקרה, יש שם 8 שאלות: שתי שאלות על טורים עם סימנים מתחלפים, ורק שאלה אחת על הנושא שתרגלנו בכל התרגיל האחרון שלנו - גבולות של פונקציות===תשובה===כמובן שהיא מוגדרת באפס. יש שם 5 שאלות עוסקות בנושא שבכלל לא הגענו אליו - רציפות של פונקציותעושים שום צעדים קדימה או אחורה. זה כמו שx/x אינה מוגדרת באפס. לא, וכוללות גם הוכחות שקשורות לנושאתקרא את הדוגמאות האחרות (כמעט זהות) בנושא.בונים 2 סדרות ששואפות ל1 אבל הפונקציה עליהן הולכת לפלוס אחד או מינוס אחד ולכן אין גבול לפי היינה. ==שאלה==האם זהו משפט נכון? M = SUP A אם"ם לכל e>0 קיים a ששייך לA כך ש M-e<a
==הערה==
הפורום הזה יבש .. לא מקבלים תשובה על כלום ובנוסף לכך לא מקבלים חזרה שיעורי בית .. זה ממש לא בסדר .. שלא נדבר על אי התאמה בין הרצאות לתירגולים ולשיעורי הבית .. \=
===תשובה===
* הפורום הזה הוא שלכם, ובאמת חבל שאתם לא עונים אחד לשני יותר.
* שנית, אתם לא שואלים שאלות על אינפי כמעט, אלא בלבד שאלות טכניות על מתי צריך להגיש וכולה. אם יש נושא מתמטי לא ברור ותשאלו, אני אענה עליו (תסתכל על סוג השאלות שנשאלו, ואילו שאלות קיבלו מענה).
לא מדוייק
M=supA אם"ם '''M חסם עליון''' וגם e>0 קיים a ששייך לA כך ש M-e<a
M חסם עליון אומר M גדול מכל האיברים בקבוצה, והתנאי עם האפסילון נותן את המינימליות של M. אם הוא לא היה מתקיים, אז M-e היה חסם עליון קטן יותר.
==שאלה==
מישהו יכול לעזור לי בשאלה 6?(להוכיח או להפריך שאין פונקציה האם הפו' 1 חלקי n רציפה בקטע סגור שמקבלת כל ערך בדיוק פעמיים[0,1)? ורבמ"ש?
:רמז - תנסה לקחת דוגמא הכי פשוט שאמורה לעשות את ===תשובה===רציפה שם, ברור, זה x^2 ותנסה להבין אם היא מקיימת או לא ולהכליל את הבעייה אם היא לא מקיימתפונקציה רציפה חלקי רציפה, כאשר הפונקצה במכנה שונה מאפס.
==תרגיל 7==היא אינה רציפה שם במ"ש כי היא אינה חסומה שם. ופונקציה שרציפה במ"ש על קטע <s>סגור</s> חסומה בו.:אבל זה לא קטע סגור, הוא חצי פתוח O:::שגיאה שלי, הכוונה הייתה לקטע '''חסום''' ולא סגור. פונקציה רציפה במ"ש על קטע '''חסום''' חסומה בו.:::זאת אומרת שהפעם היחידה שאנחנו צריכים ממש להפריך את הרבמ"ש שלא ע"י משפט, זה כשהיא רציפה והגבול באינסוף או מינוס אינסוף אינו קיים?::::לא. לפני שנייה הייתה דוגמא של coslogx
==שאלה 2==השאלה מנוסחת כךתודה רבה :f(x)={<math>\sqrt{x}</math>},{t} := t-[t] <-wtf
מה הולך כאן==הוכחת משפט ערך הביניים==במייזלר יש הוכחה שמשתמשת בטענת עזר שקשורה בחיתוך עם ציר ה-x של הפונקצייה. למה לא לפשט את זה להוכחה כזו (האם היא תקינה? וחוץ מזה):תהי f רציפה ב-[a, בהנחה b], אזי אם <math>f(a)<y<f(b)</math> נבנה סדרת קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך ש-t קבוע קבלנו שלכל x נקבל את אותו t<math>f(a_n) \le y \le f(b_n)</math> , כאשר <math>I_1=[a,b], I_n=[a_n,b_n]</math>, ו-<math>c_n</math> מוגדרת: <math>c_n=0. בכל מקרה5(a_n+b_n)</math>, ממתי אפשר להציג שתי קבוצות שמופרדות בפסיקיםכך שאם <math>f(c_n)\le y</math> נגדיר <math>I_{n+1}=[c_n, ולומר שהן שוות לביטוי כלשהו?b_n]</math>, ואחרת <math>I_{n+1}=[a_n,c_n]</math> . לפי קנטור קיימת נק' יחידה <math>x_0</math> באמצע כך ש- <math>lim(a_n)=lim(b_n)=x_0</math> , ובגלל הרציפות של f נקבל ש- <math>f(a_n)</math> ו- <math>f(b_n)</math> שואפים להיות y.
===תשובה===
לא שאני בטוח בזהזו הוכחה נכונה, אבל מסקנה שהגעתי אליה עם אמנם חסרת כמה תלמידים היא שכוונת השאלה היא:פרטים, אבל נכונה.
<math>f(x)=g(\sqrt(x))</math>=שאלה==ארז באחת השאלות למעלה אמרת:"אפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש."
<math>g(x):= xאבל כפי שמישהו מעלייך אמר, אז sin רציפה במידה שווה בכל R ואין לה גבול באין-[x]</math>סוף
יענו הסוגריים המסולסלים הם פונקציה:באיזה מובן אינסוף הינו "צד סופי"?? ::אופס, הלחץ מהמבחן עושה את שלו.. :: אם כבר הגענו לנושא הזה::: א) אין אריתמטיקה בין פונקציות רבמ"ש נכון?, לדוגמא כפל פונ' שהן רבמ"ש (נגיד בקטע [a,b]) לא יהיה בהכרח רבמ"ש נכון?:: ב) איך מוכיחים ש-sin רבמ"ש ע"פ הגדרה (בלשון דלתא ואפסילון)? (מה הטריק השם, איזה איקסים לוקחים?)
==שאלה 4==
מישהו יודע מה זה הסימון של 3 קווים?
===תשובה===
אם אתה מתכוון לסימן הזה: <math>f\equiv 0</math> הכוונה היא לשקילות, או שיוויון פונקציותא. כאן זה אומר שf הינה הפונקציה הקבועה אפסיש חצי אריתמטיקה. מטרת הסימון היא להפריד בין משוואה f=0 שלה יכולים להיות שורשיםכפל אין (x כפול x) אבל חיבור יש כמובן. בנוסף יש הרכבה, לבין להגיד שf הרכבה של רציפות במ"ש הינה הפונקציה הקבועה אפס.רציפה במ"ש
ב. תרגיל כללי הוא להוכיח שכל פונקציה שרציפה על כל הממשיים ומחזורית הינה רציפה במ"ש. סינוס זה מקרה פרטי של המשפט הגדול הזה. בצורה דומה <math>e^{(sinx)^2}</math> הינה רציפה במ"ש למשל..
==תרגיל==<math>\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} 2xtg(x):: ב-\frac{\pi}{cos(x)}</math>ב' זה בגלל ש-sin רציפה בקטע סגור, ואז היא רבמ"ש בו, ובעצם בגלל שהיא מחזורית אז זה מעיין איחוד אין סופי של אותו הקטע נכון?
ובדוגמא שנתת - איך מוכיחים שהפונ'''[[תרגיל באינפי דוגמא 28.1.10|פתרון]]'''הזאת מחזורית?
:::לכל פונקציה מחזורית זה נכון. צ"ל להוכיח את זה במדויק, אבל מה שציינת זו אכן הדרך.
::: פשוט מציבים <math>x+2\pi k</math> ורואים מיידים שזה שווה לערך של x לכל x
::::אוקי, תודה :)
==שאלה==
ארז - מה זו מתקפת האינפי הזו פתאום? נכון שאינפי זה רצח, אבל האם לא יכלת לחכות עד שנתגבר על לינארית שני דברים:א) צריך להוכיח במבחן שפונקציה רציפה ומחזורית היא רבמ"ש בכל פעם שמסתמכים על זה?אפשר לתת כאן הוכחה ליתר ביטחון?ב) ארז, אתה יכול להעלות פתרונות לשאלות אתגר? מחר (חמישי) המבחן ומעניין אותי לדעת איך לפתור את השאלה שקשורה לקורסים אחרים...
:בגלל זה את האתגר מחקתי עד המבחן בלינארית. את זה כתבתי לסטודנט שלי באינפי
=שאלה==תשובה===מישהו שם לב לתרגיל החדש שרועי בן ארי אני לא יודע על מה מותר או אסור לכם להסתמך. אבל ההוכחה הולכת ככה: אתה מחלק את כל הממשיים לקטעים באורך המחזוריות, על כל קטע סגור וחסום הפונקציה רציפה במ"ש. עכשיו, כל שתי נקודות מספיק קרובות יכולות להיות במצב אחד מבין שניים: או ששתיהן באותו קטע, או שהן בקטעים חופפים. לכן נחלק גם את הממשיים לקטעים באורך פעמיים המחזוריות, וגם שם באתר שלו? למתי צריך להגיש אותו?הפונקציה רציפה במ"ש. ולכן ניקח את הדלתא המינימלי בין זה של פעמים הקטע וזה של הקטע, וכל שתי נקודות שקרובות עד כדי הדלתא הזה, יהיה קרובות עד כדי האפסילון.
:קודם שיחזירו את הששת תרגילים הקודמים אחרי זה שיעלו עוד תרגילים .. הקורס הזה אני אשתדל להעלות פתרונות, לא רציני ..בטוח שאני אספיק מלאים, אבל לפחות אני אתן את העיקר
::זה קצת מפחיד, נראה שחלק (די גדול) מהתרגילים שהגשנו נאבד בדרך, ורועי לא עונה באימייל.:::נכון, וזה כולל גם את הבחנים. הבחנים עדיין לא הוחזרו לנו ורועי לא עונה במייל, זה באמת לא רציני. מלבד זאת, יש אפשרות להגיש את הש.ב (תרגילים 7+8)ביום של השיעור חזרה במקום מחרתיים? קודם כל כי חלק גדול מאיתנו רוצה ללמוד את החומר לפי הסדר שהוא לומד, ופונקציות הן לקראת הסוף, ובנוסף לא כולנו יוכלו להגיע באופן עצמאי לבר אילן ביום שלישי.== שאלה ==
=נו מי פותר ארז איך מוכיחים ש <math>\frac{x}{e^x+1}</math> רבמ"ש?:היא לא רבמ"ש, אמנם כשהיא שואפת לאינסוף יש לה גבול והוא 0, אבל כשתשאיף אותה למינוס אינסוף היא תשאף למינוס אינסוף.::המשפט בבדיקת אינסוף ומינוס אינסוף הוא לא אם"ם, אלא רק כיוון אחד. היא אפילו כן רבמ"ש, כי היא רבמ"ש בצד החיובי של ציר הx, ובצד השלילי הוא מתנהג כמו x שהוא לינארי ולכן רבמ"ש. (לא הוכחה פורמלית):::אפשר בבקשה הוכחה פורמלית::::צודק ברעיון של הבדיקה של האינסוף, אבל לא הבנתי למה אתה אומר שבצד השלילי הוא מתנהג כמו x לינארי - הוא הרי שואף למינוס אינסוף בצורה קיצונית, יותר מהר מכל פונקצייה אחרת (אם לא הייתי יודע שזה מוגדר הייתי בטוח שזו אסימפטוטה).:::::לא, כי במינוס אינסוף המכנה שואף ל1 והמונה הוא x. כלומר ככל שהוא מתקרב למינוס אינסוף, הוא מתקרב (שואף) לx.:::::בנוסף, ההוכחה הפורמלית רק אפשרית ישירות מההגדרה עם אפסילון ודלטא.:::::: רגע, אז אפשר לחלק את האתגרים=זה לשני קטעים אפס עד איןסוף ומינוס אינסוף עד אפס ולהגיד שבראשון היא רציפה במ"ש בגלל גבולות בקצוות, ובשני היא מתנהגת כמו הגרף של X, ואז רק נותר להראות מה קורה אם לוקחים X1 מקטע אחד ו-X2 מהקטע השני?:::::::בעקרון כן, אבל זה לא כל כך פורמלי. הכל מסתמך על זה שאם פונקציה רבמ"ש בשתי קטעים אז היא רבמ"ש באיחוד שלהם. זה נראה נכון הגיונית, אבל אני לא בטוח שמותר להשתמש בזה במבחן.בטח מישהו מכם ::::::::אבל בגלל זה אמרתי שרק צריך לבדוק מה קורה אם X1 מהקע הראשון וX2 מהקטע השני -זאת הבדיקה של האיחוד. אבל האם יש "מבחן השוואה" לרציפות במ"ש? כי אם לא אז איך אני יכול לפתור משהולהגיד שמתחת ל-0 הפונ' מתנהגת כמו X? הרי היא מתנהגת בין X/2 ל-X (אמנם שתיהן רציפות, אבל בגלל זה שאלתי על מבחן ההשוואה)...
:יפה מאד זה נכון :::::::: (מישהו אחר)ארז קראתי את מה שנכתב פה, אתה יכול להגיד בקצרה מהי הדרך לומר שזה אכן רבמ"ש (או להפריך את זה..)?:אבל עדיף לשלוח לי תשובות למייל, וככה לתת לאנשים אחרים גם הזדמנות. מתישהו ::::::::: אני אכתוב את התשובותלא ארז, אבל שוב: אפשר להוכיח ישירות לפי הגדרה עם אפסילון ודלטא.
סתם שאלה, עדיין ::::::::::: אני שוב לא התחלתי להסתכל עליהם בצורה רצינית, אבל אתה בטוח שבראשונה איך הכוונה היא למספרים הממשיים? לפתור את השאלה, כי ממבט ראשון לא נראה לי הגיוני לתהיה סדרה יש דרכים בעזרת נגזרות (כמו ששאלו באתר, אם הנגזרת חסומה הפונקציה רציפה במ"ש"יש" לה א0 איברים תתין לך קבוצה של א איברים.. ) אבל יכול להיות שזו סתם שטות שלי (לא למדנו את המשפטים האלה, לכן אני מניח שיש לי בטח איזו בעיה באינטואינציה או משהו, אבל זה עדיין מוזר לילא יודע מאיפה השאלה ובאיזה שיטה צריך לפתור...)
== תודה! ==
ארז, אמרנו את זה כבר בלינארית, אבל אתה ממש בן אדם מדהים! לא הייתי מצפה מהמתרגל הכי טוב שיעזור לקבוצה בקורס שהוא לא מלמד, ובטח ובטח לא בכל כך מסירות! תודה רבה על כל העזרה והתמיכה (והאתגרים :P) והלימוד המצויין! בבקשה תתרגל אותנו אינפי 2! אין לי (ולכולנו) מילים להודות לך!
===תשובה===איך להגיד את זה בדיוק היופי של השאלהשיינר, אם תחשוב קצת בכיוון הזה אולי גם תגיע לתשובה. בכל אופןהיית וקטור, אני לא טועה ויש סדרה כך שהגבולות החלקיים שלה הם היה אפשר לנרמל אותך כי אתה פשוט לא נורמלי!אם היית פונקציה, היית שואף לאינסוף בכל סביבה של כל נקודהאם היית קטע, היית כל הממשייםהישר.
קצת הסבר אינטואיטיבי: הרי מה זה גבול חלקי? גבול של תת סדרהאם היית מצחיק אחי אולי ההיתי צוחק*ואם לא היה לך כזה קטן אולי לא היית צריך לרדת על אחרים בשביל לצאת גבר, אחי ;)בוא בוא תסביר את עצמך כי וואלה לא הבנתי . כמה תתי סדרה ניתן לקחת מתוך סדרה? זה דומה לקבוצת החזקה. וידוע שהעוצמה של קבוצת החזקה גדולה מזו של הקבוצה עצמה*עזוב, עזוב, אי הבנה, ולכן זה בכלל ייתכן.הכל
=שאלה=:: ארז כל הכבוד! אבסורד שאתה המתרגל שהכי עזר לנו בקורס הזה:: אני גם מעדיף שתתרגל אותנו באינפי 2:: בסופו של דבר הוא כן מתרגל (של קבוצה א') :)
אני לא מצליח לחשב את הגבול :== הכרזה ==יש ציונים!!!
<math>\lim_{x\rightarrow 3}\frac{|5-2x|-|x-2|}{|x-5|-|3x-7|}</math>
תשובה:== שאלה ברציפות במידה שווה ==בסביבה מספיק קרובה ל3 אתה יכול להפטר מכל הערכים המוחלטים באופן הבא:שלום, רציתי הוכחה בבקשה לתרגיל ברציפות במידה שווה.
<math>\lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x-5-x+2}{5-x-3x+7}=\frac{x-3}{12-4x}= -\frac{1}{4}</math>האם איקס כפול סינוס איקס, רציפה במ"ש בקטע בין מינוס אינסוף לאינסוף..
למה -1/4? הרי זה לא שואף לאינסוף בשורה האחרונה.. זה לא אמור לשאוף ל-0?תודה רבה!!
===תשובה===קח 2 סדרות<math>x_n = 2\pi n</math> ו <math>y_n = \frac{1}{n} + 2\pi n</math>. ברור שההפרש בינהן שואף לאפס, אבל <math>f(y_n) - f(x_n) = (\frac{1}{n} + 2\pi n)sin(\frac{1}{n})</math> אבל הביטוי הזה שואף ל<math>2\pi</math> ולכן בוודאי גדול מקבוע שגדול מאפס (למשל אחד) החל משלב מסויים... ::תודה רבה ארז! אתה תותח! == שאלה בקשר למשפט על רציפות במידה שווה ==קראתי כאן וגם בהרצאה משפט שמדבר על:פונקציה שרציפה בקטע (a,b) (כאשר a ,b או שניהם הם אינסוף או מינוס אינסוף), אז אם הגבולות בהם קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במידה שווה.אם יש לי קטע פתוח בין 0 לאינסוף, ופונקציה של (סינוס של איקס) חלקי איקס בריבוע, ראיתי שהוא בודק את הגבולות באינסוף וב0 מימין, אבל בדוגמא אחרת, של סינוס של אחד חלקי איקס, בין אחד לאינסוף, הוא בדק רק את הגבול כשאיקס שואף לאינסוף.למה אפסהוא לא בדק את הגבול כשאיקס שואף לאחד מימין? מה אינסוף בשורה האחרונהכי הפונקציה מוגדרת באחד ולכן לא צריך לבדוק את זה? צימצמנו בx-3 במונה ובמכנה(ולעומת זאת בדוגמא הראשונה, כשאיקס שווה לאפס אז זה תחום ההגדרה ולכן צריך כן לבדוק?).ושאלה אחרונה בקשר למשפט שאמרתי, בהרצאה הוא לא ציין שa או b חייבים להיות אינסוף, האם זה נכון גם כשהם מספרים ממשיים?תודה רבה!!
==שאלה - נגזרות==
כדי להפריך קיום של נגזרת בנקודה כאשר ידוע שהפונק' רציפה באותה נקודה - נותר רק להראות שהנגזרת הימנית בנק' שונה מהנגזרת השמאלית בנק'.
יש לי את הפונק' : <math>f(x)=xcos\frac{1}{x}
</math>
כאשר (לא ידעתי איך לכתוב את זה) בנק' x=0 נגדיר f(x)=0 (כלומר הפונק' רציפה כי הגבול של הפונק' בנק' 0 הוא 0, ועכשיו גם הגדרנו את ערך הפונק' בנקודה זו)
אני רוצה להראות שהנק' אינה גזירה בנק' x=0, אבל אחרי חישובים אני מקבל שהנגזרת הימנית שווה לגבול מימין של הביטוי: <math>cos\frac{1}{dx}</math>, כאשר dx שואף ל-0, וכן הנגזרת משמאל שווה לגבול משמאל של ביטוי זה. אחרי הצבה במחשבון של מס' קטנים, קבלתי ששניהם שווים (בערך ל: 0.95215- כשהמחשבון ברדיאנים), כלומר הנגזרת מימין שווה לנגזרת משמאל. איפה הטעות שלי?
===תשובה===
במחשבון. מה הטענה שלך, שיש גבול ל<math>cossin(\frac{1}{/x})</math> רציפה באחד ולכן ברור שהגבול שם קיים ואין צורך בבדיקה נוספת. כאשר איקס הולך לאפס? הרי ברור שזה היא לא נכון רציפה (מאף צדמסיבה של תחום הגדרה או כל סיבה אחרת, אז יש לבדוק מה הגבול...)
קח את הסדרה <math>\frac{1}{0 + 2\pi k}</math> והסדרה <math>\frac{1}{\pi+ 2\pi k}</math>כן, כי אם f רציפה בקטע הפתוח (a,b) ויש לה גבולות חד צדדים בקצות הקטע, אזי '''לפי הגדרה''' f רציפה בקטע הסגור [a,b]. ואז '''לפי משפט''' f רציפה בו במ"ש.
אלה סדרות ששואפות לאפס ואם תשים את הסדרות האלה בתוך הקוסינוס תקבל 1 או מינוס אחד בהתאמה (ולכן אין גבול). אם אתה רוצה לראות את זה במחשבון תציב איברים מהסדרות במחשבון...* הבנתי לגמרי עכשיו, תודה ענקית!! :]
:אוי, == שאלה בנושא רציפות במידה שווה ==רציתי לדעת בבקשה איך לא חשבתי על זה ככה - לפונק' מחזורית שתשאיף אותה לאינסוף (נהפוך ל-cos(x) כאשר x שואף לאינסוף, למשל) לא יהיה גבולמוכיחים שהפונקציה קוסינוס של שורש של ערך מוחלט של X רציפה במידה שווה בR. אז בעצם, מספיק להראות שהנגזרת לא קיימת, בלי קשר ל'נגזרת מימין' וה'נגזרת משמאל', לא? כי בין כה וכה, אם הנגזרת הייתה קיימת, היא הייתה סופית ומוגדרתאולי להפריד ל2 מקרים כשX>0 וכשX<0.. תודה רבה!!!!
==שאלה=תשובה===איפה כן להפריד למקרים, ואז זו הרכבה של רציפות במ"ש. את שורש איקס אפשר למצוא מבחנים באינפי? :)להוכיח לפי ההגדרה באמצעת כפל בצמוד.
* הבנתי, תודה שוב ושיהיה לך לילה טוב.. ==שאלה - גזירהמשפט הערך הממוצע ==נניח שיש לי פונקצייה שהנגזרת שלה בנק' x כלשהו היא 0, האם אני יכול להסיק שהיא גזירה גם פעמיים, ואף יותרשלום, ושגם כל הנגזרות האחרות שלה באותה נקודה שוות ל-0רציתי לדעת בבקשה אם נלמד משפט הערך הממוצע בכיתה..?תודה רבה :]
===תשובה===
בשום פנים ואופן לא. דוגמאות:* x^בהתחשב בעובדה שאינפי 2כבר התחיל ובמסגרתו למדנו המשפט הזה, הנגזרת הראשונה 2x והנגזרת השנייה 2* פונקצית דיריכלייה (0 על רציונאליים, x^2 על אי רציונאליים). נגזרת ראשונה באפס הינה אפס, ואין לה נגזרת נוספות כי הנגזרת הראשונה לא רציפה, היא מוגדרת רק בנקודה אחתהשאלה הזו קצת מפתיעה.
:אז איך אני יכול להוכיח שפונקצייה כלשהי גזירה אינסוף פעמים בנקודה מסוימת?משפט הערך הממוצע הינו משפט לגרנז' ולמדנו אותו בתחילת סימסטר ב' (ולא כחלק מסמיסטר א'...)
::* לא הסברתי טוב, אני יודעשהוא נלמד, באיזה הקשר? e באיקס גזירה אינסוף פעמים כי הנגזרת שלה היא עצמה למשלהשאלה אם הוא יכול להיות במבחן מועד ב' באינפי 1 אבל הבנתי שלא.. תודה על התשובה. כל שאלה והתשובה שלה.
:::יש לי את הפונקצייה <math>f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}</math> כאשר x שונה מ-0, וכן f(0)=0. הפונק' רציפה גם באפס. כדי להוכיח שהיא גזירה באפס, משתמשים בנוסחא לחישוב הנגזרת, ומקבלים:
<math>f'(0)=lim\frac{f(dx)}{dx} = lim \frac{1}{dxe^\frac{1}{(dx)^2}}</math>, וכן dx שואף ל-0.
אפשר לראות שהנגזרת שווה ל-0, מפני שהביטוי הנ"ל שואף לאפס, מהסיבה ש:
<math>lim\frac{1}{xe^\frac{1}{x^2}}</math> קטן או שווה ל-<math>lim\frac{1}{x^2e^\frac{1}{x^2}}</math> כאשר x שואף ל-0, והגבול האחרון שווה ממש לגבול: <math>lim\frac{t}{e^t}</math> כאשר <math>t=\frac{1}{x^2}</math>, ו-t שואף לפלוס אינסוף. אפשר לראות שהגבול האחרון שווה ל-0 מפני ש-<math>e^t</math> גדל "מהר יותר" מ-t לכל t>0.
בכל מקרה== תרגיל ברציפות במידה שווה ==שלום ארז, היה עליי להוכיח שהפונקצייה גזירה ביש לי תרגיל שלא הצלחתי לפתור ואני ישמח אם תעזור לילבדוק רציפות במידה שווה של (x*cos(1/x^2 בקטע שבין (אינסוף, 0).לעניות דעתי צריך להפריך.ועוד שאלה קטנה בקשר להפרכה: צריך לקחת שתי סדרות כך שאחד התנאים הוא שהחיסור ביניהן כשמשאיפים לאינסוף ישאף ל-0 אינסוף פעמים. הראיתי שאם הוא שווה ל-<math>f'(0)=ולא שואף ל-0</math> (, האם זה היה נחוץ בכללהתנאי הזה התקיים?(כמובן שצריך לבדוק מה קורה כשמציבים את הסדרות בפונקציה אך אני מדבר רק על התנאי הראשון). איך אני יכול להמשיך מכאן? תודה רבה ארז!!אודה לך על תשובתך!
===תשובה===
שים לב שידעתי שזה e עוד לפני ששמעתי את השאלה. אם החיסור בינהן שווה אפס אז זה אותה סדרה, ואז בוודאי שהתנאי על כך שההפרש בין הפונקציות מופעלות על הסדרות צריך להשתמש בעובדה שe גזירה אינסוף פעמים. תחשב את '''כל''' הנגזרת (להיות גדול מקבוע, לא רק באפס). מה הפונקציה שקיבלת? תוכיח באינדוקציה..יתקיים.
:בכל פעם שאני גוזר מתווסף ודווקא נראה לי עוד איבר לחברשצריך להוכיח, כאשר בכל האיברים יש מספר במונה ובמכנה x בחזקת מספר מסויםכי הנגזרת חסומה. לכל האיברים יש גורם משותף <math>e^{\frac{-1}{x^2}}</math>, אבל עדיין אין לי אני אנסה לפתור את ה'זכות' להוציא גורם משותף ולומר שהוא שווה ל-f(x) ששווה לאפס בנק' xזה מחר.=0. עצם העובדה שהגבול שלו כאשר x שואף לאפס היא 0 הוא דבר אחר, לא?תודה מקרב לב
==2 הגדרות ו2 שאלות ברבמ"ש==
היי ארז מה נשמע? יש לי בבקשה כמה שאלות..
1) בהגדרת היינה בורל במבחן, מספיק לרשום:אני חושב שהרעיון הוא שe שואף הרבה יותר מהר לאפס מאשר פולינום מכל חזקה שלא תהיה. ולכן הגבול תמיד יהיה אפס (לא כי הוא בהתחלה אפס"S קומפקטית אם ורק אם היא חסומה וסגורה", כמו שהראתי יש דוגמאות נגדיות לזה)זה מספיק או שצריך להסביר גם מה זה קומפקטית..?
::הממ אבל רגע - 2) אם לכל X ששואף לאפס יש ערך (ששואף להיות ערך מסוים - למשל במקרה הזה 0) לנגזרת ה-n-ית שלושאלה לנסח את משפט בולצ'אנו ויירשטראס, מי אמר שגם ל-x=0 יש את אותו ערך בנגזרת ה-n-ית שלואיזה מהם? ז"א, אנחנו יודעים ש-f רציפה כפי שהגדרנו אותה, אבל מי אמר שגם f'עבור סדרות, קבוצות או f'', וכ'ו רציפות גם הןפונקציות? או מה שאני בוחר?
3) רבמ"ש:::גזירות אתה מתכווןאיקס כפול קוסינוס של איקס בין מינוס אינסוף לאינסוף. כמו שאמרתי באינדוקציה. הרי הנגזרת בכל נקודה שונה מאפס קלה לחישוב. ואת הגבול של f (hבטח להפריך)/h קל לחשב. מה עוד נשאר?::::אבל אני לא יודע לבטא נגזרת n-ית לפי הנוסחא עם הדלתא-x , הכוונה לנוסחת חישוב ערך הנגזרת בנקודה: <math>f'(x)=lim\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}</math>, כאשר dx שואף לאפס.
4) רבמ"ש:::::למה לחשב עם הנוסחא? תחשב פשוט את הנגזרתאיקס כפול לוג של איקס בין אפס לאינסוף (לפי דעתי צריך להפריך כי מבחינת אינטואיציה, לוג איקס שואף ממינוס אינסוף ואם נכפיל באיקס אז זה עוד יותר מינוס אינסוף.. <math>[e^{-\frac{1}{x^2}}]' = e^{-\frac{1}{x^2}}[-\frac{2}{x^3}]</math>)
::::::כי אנחנו רוצים להסתכל גם על המקרה של x=0אלה השאלות האחרונות שאני אשאל.. מקווה שיהיה לך זמן.. תודה רבה רבה רבה, לא? וזוהי הנגזרת הראשונה - מה אם צריך לחשב נצליח זה רק בזכותך תאמין לי.. ואם להגיד את הנגזרת ה-n-ית?האמת אז חבל שלא הבנתי את זה בתחילת סמסטר א', העיקר שעכשיו אני מבין.. תודה שוב :]
:::::: א-י-נ-ד-ו-ק-צ-י-ה. המקרה של אפס הוא הגבול של f(h)/h. אם אתה יודע את הנגזרת בכל מקום פרט לאפס===תשובה===1, אתה יכול לחשב את הגבול שלה חלקי h בנקודה h ולכן את הנגזרת של הנגזרת באפס2 אלה שאלות למרצה.
:::::::אני מצטער3. זה בדיוק כמו xsinx שעניתי עליו 4. זה להפריך, אבל אני לא מצליח להבין - הרעיון הוא להוכיח באינדוקמיה ש-f גזירה אפשר עם שתי הסדרות <math>n פעמים ב-0 לכל + \frac{1}{n טבעי}</math> ו <math>n</math>. ז"א שאחרי שבדקתי על הנגזרת הראשונה, והשנייה, אני צריך גם לבטא לשחק קצת עם הlog ובעיקר לשים לב שזו הפונקציה <math>xlogx = log(x^x)</math> וההפרש בין שני לוגים הוא לוג של החלוקה.* * תודה רבה!! אני אנסה את הנגזרת ה-nית באיזשהי צורהמה שאמרת.. שיהיה בהצלחה לכל מי שניגש.. וארז, תודה על הכל!! ==שאלה==במועד ב' באינפי 1, לאניתן להשתמש בכלל לופיטל?
כןלא בטוח באיזה קורס, תבטא את הנגזרת הn-ית בכל נקודה שאינה אפס. אבל אם לא למדתם את זה אתה יכול לעשות באינדוקציה? אחרי שיש לך ביטוי לנגזרת המ-ית בסביבה של אפס (באינפי 1 לא כולל אפס), אתה יודע שהנגזרת הn+1 היא הגבול של הנגזרת בn-ית בh חלקי h כאשר h שואף לאפס. אבל בגלל שהנגזרת הn-ית תמיד מהצורה של e כפול וחלקי פולינום, היא חייבת לשאוף לאפס והאז הנגזרת הn+1 יוצאת אפס.ניתן להשתמש בזה במבחן