הבדלים בין גרסאות בדף "אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏תרגיל 3, שאלה10)
 
(243 גרסאות ביניים של 29 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
−
=אינפי 1 לתיכוניסטים=
+
=אינפי' 1 לתיכוניסטים=
 +
כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1. אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס אינפי' 1 - סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן.
  
−
כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1. אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס אינפי 1 - סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן.
+
=ארכיון=
 +
[[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 1|ארכיון 1]]
  
−
שאלה בקשר לשיעורי בית:
+
[[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 2|ארכיון 2]]
−
האם צריך להוכיח שמינוס שורש שתיים הוא אי רציונאלי וששתיים בחזקת חצי הוא שורש שתיים.
+
−
בשאלה 3, כאשר נותנים דוגמה נגדית, צריך להוכיח מהו החסם העליון?
+
−
תודה
+
−
* תשובה : לא, ידוע ששורש שתיים הוא אי רציונלי, ולכן גם הנגדי לו אי רציונלי. בנוסף, גם ידוע ששתיים בחצקת חצי הוא שורש שתיים (אחרת מהו שורש?!). בשאלה 3 - אני נתתי דוגמא נגדית שיהיה קל למצוא את החסם העליון. אם מדובר בחלק מההוכחה אז כן (לדעתי)
+
−
-
+
  
−
==תרגיל 4, שאלה 1==
+
=תרגילי אתגר באינפי'=
−
* אם אני יכול למצוא ביטוי מפורש (ולא רקורסי) של איברי הסדרה, האם מותר לי להשתמש בו?
+
*מצא סדרה כך שקבוצת הגבולות החלקיים שלה היא כל הממשיים
−
*האם הטענה הבאה נכונה: אם ביטוי א' קטן או שווה לביטוי ב', אזי הגבול של ביטוי א' קטן או שווה לגבול של ביטוי ב'?
+
*מצא פונקציה רציפה בקטע <math>(0,1]</math> שאינה חסומה בו מלעיל ואינה חסומה בו מלרע
−
תודה רבה!!!
+
*מצא פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף סביבה של 0
 +
*מצא פונקציה שאם תגזור אותה תקבל <math>\tan</math>
 +
*הוכח/הפרך: הגבול של הסדרה <math>\sin(n)</math> אינו קיים
  
−
==תרגיל 3, שאלה10==
+
===תרגיל אתגר מאתגר במיוחד===
−
בתור תלמיד בקבוצה של ראובן, אני לא למדתי גבולות של פונקציות טריגונומטריות. בכל זאת, אני לא חושב ש- <math>n^2-81cos(n!)</math> יכול לשאוף למינוס אינסוף. אם כבר, הכי נמוך שהוא מגיע זה 68.77379321867966-(הרצתי תוכנית ב-Java עד לערך המקסימלי של int, שהוא שתיים בחזקת 31 פחות אחד אם אני לא טועה, וזה הכי נמוך שקיבלתי). אז מדוע השאלה מבקשת שאוכיך עבור פלוס ומינוס אניסוף.
+
תרגילי האתגר הנ"ל מאתגרים וטריקיים אך ניתן לפתור אותם בעזרה הידע שלכם מקורס אינפי' בלבד. את האתגר הבא צריך לפתור בעזרת ידע מקורסים אחרים שלמדתם בנוסף: (קרדיט ללואי שפתרה את זה)
  
−
===תשובה===
+
*האם קיימת פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף נקודה בקטע <math>[0,1]</math> ? אם כן מצא אותה, אם לא הוכח שלא.
−
אני מקווה שעד היום הבנתם שהגבול הוא אינסוף כי סינוס חסום...
+
  
−
==סדרה חסומה?==
+
(שוב, זה תרגיל מאד קשה, אל תרגישו רע אם אתם לא מצליחים לפתור אותו)
−
אני לא מוצא את ההגדרה המפורשת של קבוצה חסומה. האם קובצה חסומה חסומה מלעיל ומלרע, או רק אחד מהם?
+
  
−
===תשובה===
+
===פתרונות לאתגרים===
−
לרוב הכוונה לחסומה גם מלעיל וגם מלרע (זו ההגדרה של חסומה)
+
'''[[פתרונות לאתגר אינפי 1 תיכוניסטים תש"ע|פתרונות]]'''
  
−
==תרגיל 1 - שאלות==
+
=שאלות=
 +
==מהבוחן==
 +
מישהו זוכר איך מראים שגבול הסדרה <math>\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}-1}</math> הוא 1? כאשר (<math>\sqrt[n]{x}</math> זהו השורש ה- <math>n</math>-י של <math>x</math> . ובלינארית (מתוך מבחן של רון עדין), איך מראים שלמטריצות מתחלפות <math>A,B</math> (ז"א ש- <math>AB=BA</math>) קיים ו"ע משותף...?
  
−
*בשאלה 5 שצ"ל <math>A_n>=G_n</math> הצבתי לפי ההדרכה <math>b_i=\frac{a_i}{G}</math>, והגעתי למצב בו עליי להוכיח את אי השוויון הבא:
+
==שאלה==
−
<math>a_1+a_2+...+a_n>=G</math>
+
יש לי שאלה על גבול שאני מנסה למצוא אבל משום מה יש שלב אחד שלכאורה נראה לי נכון אבל הוא לא. נתונה הפונקציה:
−
איך אני מוכיח את הטענה? הנ"ל? האם מותר לי להעלות בחזקת n, מכיוון ששני האגפים בודאות חיוביים?
+
:<math>\frac{p\sin(x)-\sin(px)}{x(\cos(x)-\cos(px))}</math>
 +
כאשר <math>x</math> שואף ל-0
  
−
==תרגיל 2 - הודעה לתלמידי ד"ר ראובן כהן==
+
כאשר <math>p=\pi</math> .
−
תאריך הגשת התרגיל נדחה לשבוע הבא, יום ראשון ה-15/11.
+
  
−
קצת מאוחר להודע את זה עכשיו, לא?
+
פירקתי את השבר לשני שברים בצורה הבאה: כל מחובר של המונה לבדו עם המכנה (חיבור שברים עם אותו מכנה הוא שבר עם אותו מכנה כמו של השניים המקוריים כאשר מחברים את המונים שלהם, אם עדיין לא הבנת את כוונתי)
  
 +
ואז בצד אחד היה לי <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> וזה שואף ל-1. בצד שני היה לי <math>\frac{\sin(px)}{x}</math> אז פשוט כפלתי וחילקתי ב- <math>p</math> ואז בגלל ש- <math>x</math> שואף ל-0, גם <math>px</math> שואף ל-0 מה שאומר שגם <math>\frac{\sin(px)}{px}</math> שואף ל-1.
 +
 +
ואז כביכול היה יוצא 0 כי שני השברים מצמצמים אחד את השני.
 +
 +
הבעיה היא במה שאמרתי על <math>\sin(px)</math> ו- <math>px</math> כי בדקתי במחשבון ושם זה נתן תוצאה אחרת.
 +
 +
לכן רציתי לדעת איך לפתור את זה באמת.
 +
 +
תודה
  
−
==שאלה בקשר לתרגיל בית מס' 2, שאלה 2==
 
−
בא', צריך להוכיח כל טענה לגבי חיבור, חיסור, כפל וחילוק של מס' רציונליים?או שמספיק להגיד אם זה מתקיים או לא?
 
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
עדיף שתפריך\תוכיח. זה לא מאד ארוך ומסובך
+
<math>\frac{\sin(px)}{px}\xrightarrow[x\to0]{}1</math> . קל לראות את זה לפי היינה. אם <math>x_n</math> סדרה ששואפת ל-0 אזי גם <math>\frac{x_n}{p}</math> סדרה ששואפת ל-0, פשוט תציב בפונקציה ותקבל שבזכות ש- <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> שואף ל-1, שגם הפונקציה הזו על הסדרה הנ"ל שואפת ל-1. (לא ניסחתי מדויק, אני אשאיר לך לתקן את הפערים).
  
−
==בתרגיל מספר 2==
 
−
שאלה 1 לא נכונה, זה לא מוכיח את זה!
 
−
*היא נכונה, שים לב שאחד המקרים מוכל בשני. כלומר אם אני אגיד לך:
 
−
<math>X>3</math>. הוכח: <math>X>2</math> לא תהיה לך בעיה לעשות את זה, נכון?
 
  
−
==לגבי מקסימום (מינימום) וחסם עליון (תחתון)==
+
מצטער אבל לא ממש הבנתי איך התשובה שלך קשורה לשאלה שלי.
  
−
אני יכול להגיד בוודאות שמשהו הוא חסם עליון (תחתון) אם הוכחתי שהוא מקסימום (מינימום)?
+
במחשבון יוצא שהפונ' שואפת ל-1.047 (וממש המספר הזה, לא 1)
  
−
(כל זאת בהנחה שיש באמת מקסימום או מינימום לקבוצה..)
+
אני אכתוב לך את מה שעשיתי ואני מקווה שתצליח להסביר לי מה היה לא נכון:
 +
:<math>\lim\limits_{x\to0}\left[\frac{\pi\sin(x)-\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math>
  
−
=== תשובה ===
+
זה שווה ל:
 +
:<math>\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi\sin(x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}-\frac{\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math>
  
−
כן. נניח M מקסימום של קבוצה A. נניח M אינו חסם עליון אזי קיים <math>M_2</math> חסם מלעיל כך ש<math>M_2<M</math>, ולכן <math>\forall a \in A : M_2 \geq a</math>. אבל M מקסימום לכן <math>M \in A</math>. אבל זו סתירה לכך ש <math>M_2</math> חסם מלעיל כיוון ש<math>M_2<M</math>.
+
ששווה ל:
 +
:<math>\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi}{\cos(x)-\cos(\pi x)}-\frac{\pi\sin(\pi x)}{\pi x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math>
 +
 
 +
ששווה ל:
 +
:<math>\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi}{\cos(x)-\cos(\pi x)}-\frac{\pi}{(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]=0</math>
 +
 
 +
וזה אמור להיות 0 זהותית (כלומר ממש 0, לא שואף ל-0...)
  
−
==כמה שאלות כלליות.==
 
−
מספיק להראות שקבוצה מסוימת חסומה מלעל ע"י מציאת הsup שלה?
 
−
ובשאלה 3 (בתרגיל בית מס' 2), בקשר לסעיפים ב' וג', אני צריכה להתעלם מהמקרה של הקבוצה הריקה? כי אם החיתוך שלהם הוא ריק, אז אין להם מקסימום וחסם עליון לפי מה שנאמר לנו בכיתה.. (הן אמנם חסומות בצורה ריקה אבל אין להם מקסימום/חסם עליון.)
 
−
ועוד שאלה קטנה: כדי להראות שקבוצה אינה חסומה, מילעל נניח, מספיק להראות שלכל m>0, קיים N (או שמא קיימים Nים החל ממקום מסוים? מה הניסוח הנכון?) כך שאיבר בסדרה כפונקציה של N גדול מאותו m?
 
−
אשמח לתשובה, כי אלו דברים בסיסיים שמופיעים בתרגיל פעמים רבות..
 
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
sup הינו החסם העליון, כלומר חסם המלעל הכי קטן. אם הוא קיים, אז קיים חסם מלעיל (הוא עצמו) ובפרט הקבוצה  חסומה.
+
דבר ראשון, אסור בתכלית האיסור, להחליף באמצע התרגיל את חלק מהגבולות למספר אליו הם שואפים. אחרת <math>1^\infty</math> תמיד שווה 1 למרות שאנחנו יודעים שהוא יכול להיות e. ושוב, הייתי פותר את זה באמצעות כלל לופיטל, ולא בטוח איך אפשר אחרת.
  
−
לגבי השאלה הקטנה, את מבלבלת בין שני מושגים- קבוצה וסדרה. לקבוצה אין מיקום או סדר כמו לסדרה. על מנת להראות שקבוצה לא חסומה, יש להראות שלכל מספר ממשי M קיים איבר בקבוצה שגדול מM. על מנת להראות שסדרה לא חסומה, יש להראות שלכל איבר M קיים איבר בסדרה שגדול מM. אם רוצים להראות שסדרה שואפת לאינסוף (או מתכנסת במובן הרחב) יש להראות שלכל M, קיים מקום בסדרה, נקרא לו <math>n_0</math>, שהחל ממנו והלאה '''כל''' איברי הסדרה גדולים מM.
+
אוקי, אז נניח שהייתי מכניס את ה- <math>\lim</math> גם לשבר השני..
  
−
: תודה רבה. מה לגבי השאלה השנייה שלי? לגבי הקבוצה הריקה?
+
אני עדיין לא מבין למה זה לא היה עובד
−
:: אין לי מושג, אני לא יודע מה התרגיל שלכם.
+
  
−
== מספר שאלות שקשורות לתרגיל  2==
+
(ותודה שאתה ממשיך לענות לי למרות החפירה..)
  
−
1.יש הרבה תרגילים שהתשובה ל"מה חסמי המלעיל" שלהם נראית ברורה, אבל לא כ"כ ברור לי האם צריך לנמק את זה (איך אפשר לנמק ביותר מלהראות שכולם אכן גדולים מכל איברי הקבוצה?).
+
:מה הכוונה מכניס <math>\lim</math> לשבר השני? אסור לך להחליף במספר, אתה נשאר עם אינסוף פחות אינסוף ולא מצליח לחשב. לא יהיה לך זהותית 0. אסור לך למחוק את <math>\frac{\sin(x)}{x}</math>
  
−
2.מתי שיש חסם עליון – רק עכשיו, אחרי שסיימתי חלק נכבד מהתרגילים, הבנתי שכדי להוכיח שמספר כלשהו הוא חסם עליון צריך להשתמש באפסילון, וכ'ו, אבל הוכחתי זאת בצורה שונה – הראיתי שאכן זהו חסם המלעיל הקטן ביותר. האם ההוכחה שלי בסדר?
+
אז זה מה שאני לא מבין, למה אסור למחוק את <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> הרי זה אמור להיות 1 כש- <math>x\to0</math>
  
−
3.בתרגילים עם הגבולות – כשנתון הגבול – האם הרעיון העיקרי הוא לבטא את ה-nים המסויימים שמהם והלאה לכל איבר שנחסר ממנו את הגבול נקבל שהם קטנים מאפסילון (n מבוטא כתלות בכל אפסילון חיובי שנבחר), ואח"כ להראות שאכן קיימים nים כאלה? (וצריך רק למפות אותם, כלומר אם התשובה הסופית שלי היא משהו בסגנון n<2Ɛ^2-2Ɛ+17 אז בעצם הוכחתי שהגבול שהנחתי שקיים אכן קיים?
+
:כמו שאמרתי, לפי ההגיון הזה, גם <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1</math> כי <math>1+\frac{1}{n}\to1</math> . במקרה זה, יש לך <math>1\cdot\infty-\infty</math> אסור להשתמש באריתמטיקה של גבולות במקרה זה. דוגמא נגדית פשוטה יותר: <math>\frac{n+1}{n}\cdot n-\frac{n-1}{n}\cdot n</math> בשיטה שלך זה 0 זהותית. במציאות, זה שווה בדיוק 2.
  
−
4.עד כמה "מעמיקה" צריכה להיות ההוכחה בכל התרגילים? אני לא יודע איך אפשר להיות בטוח שכתבתי מספיק, מצד שני התרגילים לא מאתגרים במיוחד ככה שלא נתקלתי עוד בהוכחות כמו אלה שעשינו בהרצאה או בתרגול.
+
הבנתי. תודה רבה! (וסליחה על החפירה הארוכה, שוב)
  
−
==שאלה קטנה==
+
==שאלה==
−
אם הוכחתי שמספר כלשהו שלא נמצא בקבוצ A הוא חסם עליון של הקבוצה, מכך נובע ישירות שאין מקסימום, נכון?
+
רציתי לבדוק אם אני צודק: דורשים למצוא נקודות אי-רציפות וסיווגן בפונקציות הבאות:
  
−
===תשובה===
+
1) <math>\frac{\cos(x)}{|\cos(x)|}</math>
−
כן. אם החסם העליון היה בקבוצה הוא היה מקסימום, ואם מקסימום קיים הוא החסם העליון
+
  
 +
2) <math>\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{2+\sin\left(\tfrac{2}{x}\right)}</math>
  
−
==תרגיל 2, שאלה 2==
+
בשתיהן יצא לי 0 אי-רציפות סליקה. זה נכון?
−
בסעיף א', האם ניתן לקחת שני מספרים אי רציונליים נגדיים ולהגיד שהחיבור שלהם הוא 0?
+
 
 +
===תשובה===  
 +
בראשון 0 '''אינה''' נקודת אי-רציפות בכלל... יש כמובן נקודות אי-רציפות אחרות, והן תמיד ממין ראשון. שים לב שהפונקציה הזו היא פשוט 1, 1- או לא מוגדרת.
 +
 
 +
 
 +
בשני זה נכון, וזו אכן נקודת אי-הרציפות היחידה.
 +
 
 +
כן, בראשון התבלבלתי..
 +
תודה רבה!
 +
 
 +
==שאלה==
 +
אפשר בבקשה עזרה בתרגיל? צריך לבדוק האם <math>y=\cos\big(\log(x)\big)</math> רבמ"ש בקטע הפתוח <math>(0,-\infty)</math> . אני לא ממש רואה את זה... (אין גבול בשאיפה ל- <math>0^+</math> , אז ניסיתי להראות ע"י שתי סדרות שואפות ל-0 שאין רבמ"ש, לא ממש הולך לי...)
  
−
מצטרפת לשאלה, אפשר גם למשל לקחת את המספרים: שורש 2,  ו2 פחות שורש 2 ולהגיד שהחיבור שלהם רציונלי..?
 
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
אין סיבה שלא
+
מה לא הולך? <math>x_n=e^{\pi-2\pi n}\ ,\ y_n=e^{-2\pi n}</math> . שתי הסדרות שואפות ל-0, ולכן המרחק ביניהן שואף ל-0. אבל הפונקציה עליהן שווה 1 או 1-.
  
−
==הודעה לתלמידים של ראובן==
 
−
הדף הראשון של תרגיל 3 לשבוע הבא, הדף השני לעוד שבועיים.
 
  
−
==שאלה בהגדרת הסדרה==
+
(זה לא כותב השאלה) אפשר פשוט לומר שהגבול באפס לא קיים, לכן הפונקציה לא רבמ"ש ב- <math>(0,1)</math> וכמובן שהיא לא רבמ"ש ב- <math>(0,\infty)</math> , לא?
−
נתונה לי סדרה כלשהי {an}, ויש לי טענה שאני רוצה להפריך. אני יכול להגדיר an=0 לכל n טבעי? כי למדנו בכיתה ט' שסדרה קבועה אינה מוגדרת כסדרה, אבל אני לא יודע אם זה תקף גם באוניברסיטה או רק בתיכון....
+
:(זה לא ארז) אני חושב שאסור, כי אז לפי מה שאתה אומר בגלל שלא קיים לsin x גבול באינסוף אז היא לא רבמ"ש...
 +
 
 +
::בכל מקרה, הדרך היחידה להוכיח שהגבול אינה קיים היא באמצעות הסדרות, כך שלא חסכת עבודה. באופן כללי, אפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש. זה נכון כי יש 2 אופציות: או שיש 2 סדרות ששואפות לצד הסופי (נגיד a) והפונקציה שואפת עליהן לגבולות שונים (וזה אוטומטית יוצר סתירה לרציפות במ"ש), או שיש סדרה ששואפת לאינסוף ואז הפונקציה אינה חסומה על קטע חסום, ולכן אינה רציפה במ"ש. אבל כמו שאמרתי, כך או כך זה דורש את בניית הסדרות.
 +
 
 +
:לאדע, לא עולה לי כל כך מהר הדוגמאות להפרכה. תודה בכל מקרה! יש לי עוד שאלה ממש קטנה, אני מנסה להוכיח שכשX שואף ל0, אז ln sin x / ln x שואף ל1.
 +
:האם מותר לי להגיע לזה באמצעות המשפט של sin x / x =1 ? כי אז אני מכפיל בX, מפעיל LN על שני האגפים, מחלק בLN X ומקבל את הדרוש... תודה לעונה!
 +
 
 +
אסור. אין משפט שsinx/x=1 יש משפט שאומר שזה שואף לאחד... אבל לכפול בx זה כמו לכפול באפס וזה בוודאי אסור (אריתמטיקה של גבולות לא עוזרת פה). אפשר לפתור באמצעות כלל לופיטל, כמו שאמרתי אני לא יודע אם זה בחומר או לא.
 +
 
 +
זה לא בחומר, תודה בכל מקרה.!
 +
 
 +
==שאלה==
 +
יש משהו שנורא מבלבל אותי.
 +
נניח שיש לי את הפונקציה: <math>f(x)=e^{lnx}</math>
 +
 
 +
מצד אחד הנגזרת שלה היא 1, כי היא שווה ל-X
 +
 
 +
מצד שני, אם אני מתעלם מהעובדה שהדבר הזה הוא X ואני גוזר רגיל אני מקבל שהגזרת היא 1 חלקי X.
 +
מה עושים???
 +
 
 +
דרך אגב, ארז כתבתי לך בחזרה משהו בשאלה של ה- <math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(\pi x)}{\pi x}</math>
 +
אז בבקשה תענה לי.
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
הסדרה הקבועה היא אכן סדרה
+
לומדים לגזור!
 +
<math>[e^{lnx}]' =e^{lnx} \cdot \frac{1}{x}=\frac{x}{x}=1</math>
  
−
==תרגיל 4 שאלה 6 סעיף ב'==
+
חח אופס, סליחה.
−
קיימת אפשרות לפיה L=אינסוף, או שהתכוונו L=/=0 וממשי?
+
  
−
==תרגיל 3, שאלה 2==
+
==שאלה - רבמ"ש==
−
האם הסדרות יכולות להיות חסומות מצד אחד בלבד? או שלא חסומות הכוונה ללא חסומות משני הצדדים, כלומר אין להן לא חסם מלעיל ולא חסם מלרע?
+
נכון, חפרנו על הנושא למרות שתהיה מקסימום שאלה אחת על זה במבחן, ובכל זאת:
 +
נניח שאני רוצה להוכיח ש- f(x)=xsinx רבמ"ש. האם מותר לי לקחת x,y שמקיימים <math>|x-y|<d</math> ולומר :
 +
<math>
 +
|xsinx-ysiny| \le |2x-2y| < 2d
 +
</math>
 +
(מהסיבה שפונק' הסינוס חסומה ע"י 1 ו-1-) ?
  
 +
===תשובה===
 +
בוודאי שלא. למשל <math>x=2000\pi, y=2000\pi + \pi/2, d = \pi/2</math> אז יוצא ש<math>|xsinx-ysiny|= 2000\pi + \pi/2</math>
  
−
== תשובה ==
 
  
 +
הטריק הוא בגדול לקחת <math>x_1=x,x_2=x+h</math> ולפתח לפי נוסחאות טריגונומטריות.
  
−
לא חסומות אומר שאין להם חסם עליון וגם חסם תחתון. יכול להיות שהם "חסומות" רק מצד אחד.
+
==שאלה - טורים==
 +
ישבתי על זה הרבה ולא הצלחתי X:
 +
:נתון שיש טור המוגדר ע"י סכום הסדרה an ובדומה סכום המוגדר ע"י סכום הסדרה bn
 +
:ידוע שסיגמא AN זה A וסיגמא BN זה B
 +
:מגדירים סדרה חדשה, CN שבמקומות האי זוגיים היא מקבלת את b1,b3,b5.... ובמקומות הזוגיים היא מקבלת את a1,a2,a3,...
 +
:האם סיגמא CN מתכנס?
  
−
==מישהו יכול להסביר מה עושים בשאלה 3 בשתי הסעיפים?==
+
===תשובה===
 +
לא של ארז:
 +
מקווה שזה נכון:
 +
סכום האי זוגיים של הסדרה b מתכנס לפי קריטריון ההשוואה, הסכום של a כמובן מתכנס לפני הנתון
 +
ולכן סכום טורים מתכנסים הוא מתכנס.
  
−
==שאלה 12 סעיף ג'==
 
−
מישהו יכול לעזור?
 
  
−
==שאלה כללית==
+
:מבחן ההשוואה נכון לטורים חיוביים בלבד. והתשובה היא בוודאי לא, אם לא נתון שהטורים חיוביים. לוקחים את הטור הקלאסי להתכנסות בתנאי <math>b_n=(-1)^n/n</math> ולוקחים כל טור מתכנס אחר להיות a_n...
−
האם אמור להיות מפורסם עוד תרגיל השבוע (27.11)?
+
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
אם בקבוצה יש אינסוף איברים ששואפים לאינסוף, האם ניתן להגיד שהקבוצה לא חסומה מלעיל בלי להוכיח?
+
שאלה מהמבחן של ראובן שנה שעברה שלא הצלחתי:
−
ואיך ניתן להוכיח זאת?
+
 
 +
תהי an סדרה מתכנסת כך ש: <math>s={an: n - belong - to - N}</math> כאשר N זה המספרים הטבעיים. ואומרים ש-s  היא קבוצה סופית.
 +
צריך להוכיח שהחל מ-N מסויים, לכל n,m שגדולים ממנו, an=am.
  
 +
זה נראה לי נכון אבל אני לא יודע איך לכתוב את זה בצורה מתמטית.
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
יש טעות בתוך השאלה עצמה. מה הכוונה אינסוף איברים ששואפים לאינסוף? הרי איבר אחד לא יכול לשאוף לאינסוף, רק סדרה. אם הכוונה שיש בקבוצה סדרה של איברים שהיא שואפת לאינסוף (כלומר מתכנסת במובן הרחב) אזי הקבוצה לא חסומה מלעיל. ההוכחה ממש מתבקשת מההגדרות. רשום אותן ותבין.
+
 
−
'''טקסט מודגש'''
+
S הינה קבוצת כל האיברים בסדרה, והיא סופית. כלומר איבר בסדרה יכול להיות אחד מתוך מספר סופי של איברים (איבר מתוך S).
 +
 
 +
כעת, נגדיר את קבוצת ההפרשים <math>D=\{|s_1-s_2| : s_1,s_2 \in S, s_1\neq s_2\}</math> מכיוון שS סופית גם D סופית ולכן יש לה מינימום. נגדיר <math>\epsilon = Min(D)/2>0</math>. כעת, לפי תנאי קושי, קיים <math>n_0</math> כך שלכל <math>n,m>n_0</math> מתקיים <math>|a_m-a_n| < \epsilon</math>
 +
אבל אם <math>a_n \neq a_m </math> אזי <math>|a_m-a_n| \in D</math> אבל
 +
 
 +
<math>|a_n-a_m|<\epsilon < Min(d)</math> וזו סתירה.
 +
 
 +
:סבבה תודה!
 +
 
 +
 
 +
===מבחן של ראובן===
 +
איפה יש את המבחן שלו משנה שעברה?
 +
 
 +
באתר של גיל
 +
 
 +
איפה זה, אפשר קישור?
 +
 
 +
http://math.ipnet.co.il
 +
 
 +
תודה
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
אם קבוצה עולה היא מתכנסת, הsup שלה הוא בהכרח הגבול שלה נכון..?
+
באחת משאלות האתגר שנתתם (זאת עם הגבולות החלקיים שכוללים את כל הממשיים), מותר לי פשוט להגיד ש-an היא הספירה של Q?
 +
אנחנו יודעים שאפשר לספור את Q אבל האם זה מספיק להסתמך על זה שקיימת ספירה כזאת ואז לרשום שנק' ההצטברות של Q הן כל R ולכן אלו הם הג"חים?
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
נכון. נניח <math>m</math> הוא החסם העליון של קבוצת איברי הסדרה <math>A=\{a_1,a_2,...\}</math>, אזי לכל <math>\epsilon > 0</math> קיים איבר <math>a_{n_0}</math> ב<math>A</math> כך ש <math>a_{n_0}>m-\epsilon</math> (זו תכונה של חסם עליון).  
+
השאלה היא האם משם אתה יכול להוכיח שכל מספר ממשי הוא גבול חלקי של הסדרה הנ"ל. אין משפט על הקשר שבין נקודת הצטברות של קבוצה, לבין הגבולות החלקיים של סדרה המכילה את איברי הקבוצה. האם הסדר לפי תבנה את הסדרה משנה?
  
−
מכיוון ש<math>m</math> חסם עליון אז בוודאי הוא חסם מלעיל ולכן <math>a_{n_0}\leq m<m+\epsilon</math> ולכן <math>m-\epsilon<a_{n_0}<m+\epsilon</math>, ולכן <math>|a_{n_0}-m|<\epsilon</math>.  
+
:אוקיי.. יש לי סדרה אחרת שנראה לי שהיא תעבוד. את כל שאר תרגילי האתגר הצלחתי לפתור (חוץ מזה שדורש שימוש בקורס אחר שאין לי מושג מה לעשות שם חוץ מזה שאני בטוח כמעט לגמרי שזו הפרכה..)
  
−
אבל מכיוון שהסדרה עולה, לכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>a_n>a_{n_0}</math> ולכן <math>a_n>a_{n_0}>m-\epsilon</math> וכמובן <math>a_n\leq m<m+\epsilon</math> ולכן <math>|a_n-m|<\epsilon</math> וזו בדיוק הגדרת גבול.
+
::תשלח לי למייל בקצרה, אני אגיד לך אם צדקת. אגב, מתי המבחן שלכם?
  
 +
:::המבחן שלנו מחר :S
  
−
רק טעות בשאלה, קבוצה לא מתכנסת, סדרה מתכנסת. כלומר המשפט הנכון הוא: סדרה מונוטונית עולה מתכנסת לחסם העליון של קבוצת האיברים שלה.
+
::::הא, בהצלחה.. יכול להיות שאני אהיה מחר באוניברסיטה.. אבל זה כבר לא יעזור לאף אחד :)
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
בתרגיל 5, שאלה 3: "השתמשו במבחן ההשוואה ומבחן ד'למאבר על מנת לבדוק אם הטורים הבאים מתכנסים". אני יכולה להשתמש בחלק מהסעיפים בדרכים אחרות לבדיקה אם טורים מתכנסים? למשל, להוכיח שהגבול של הסדרה הוא בהכרח לא 0?
+
הוכח שאם f גזירה ב-(a,b), ונגזרתה חסומה בקטע, אזי f רבמ"ש שם.
−
חג שמח!
+
(WTF?!)
−
* המתרגל רועי בן-ארי אמר שמותר להשתמש בכל מבחני ההשוואות שאנחנו מכירים, אם הם עוזרים לנו לפתור את התרגיל.
+
 
 +
===תשובה===
 +
נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש, לכן קיים אפסילון, כך שלכל דלתא קיים זוג x,y כך שהמרחק בינהם קטן מדלתא, אבל המרחק בין f(x) לf(y) גדול מאפסילון. ולכן <math>\frac{f(x)-f(y)}{x-y} > \frac{\epsilon}{\delta}</math>. ניקח <math>\delta_n = \frac{1}{n}</math> וניקח את הזוגות המתאימים <math>x_n,y_n</math>. אלה סדרות חסומות ולכן ניתן לקחת תת סדרה של <math>x_n</math> שמתכנסת, ואז תת-תת סדרה של y_n שמתכנסת וביחד נקבל שתי סדרות מתכנסות <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> ומכיוון שהמרחק ביניהן הולך וקטן הן מתכנסות לאותו הגבול, נקרא לו L. אבל אז
 +
<math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{|x_{n_k}-y_{n_k}|} > \frac{\epsilon}{\delta_{n_k}}</math> כלומר שואף לאינסוף, אבל זה חסום על ידי קבוע כפול הנגזרת (לפי תרגיל אחר שנתנו לכם) וזו סתירה.
  
−
==עזרה==
+
:: אתה יכול בבקשה להסביר למה הכוונה ב"זוגות המתאימים Xn Yn" - הכוונה היא לאותן סדרות שעזרו לך להוכיח או להפריך משהו בהרבה תרגילים אחרים בעמוד זה?
−
מישהו יכול לתת כיוון איך להראות שהטור: סיגמה של sin(1/n) מתבדר/מתכנס..?
+
:: ועוד משהו, למה הכוונה חסום ע"י קבוע כפול הנגזרת?
−
* רמז: תראה באינדוקציה ש: <math>sin(\frac{1}{n})<\frac{1}{n^2}</math>.
+
−
::הטענה הזו לא נכונה, תבדוק במחשבון ותראה (תציב, למשל, n=1000)
+
−
:::בדקתי בתוכנת מתמטיקה מתקדמת, הטור בכלל מתבדר (היא אמרה לי מפורשות וגם לפי המבחן האינטגרלי - שמוציא אינטגרל מאד מסובך - אבל שואף לאינסוף).
+
−
::::אז איך אפשר להוכיח שהטור מתבדר? כל מבחן נותן בדיוק את 'תוצאת הביניים' (למשל 1 במבחן השורש של קושי, וכ'ו...)
+
  
  
−
==שאלה - יום ראשון הקרוב==
+
"... כך שלכל דלתא קיים זוג x,y..." הזוג הזה.
−
האם ביום ראשון הקרוב, 27.12, יתקיימו הרצאה ותרגיל? (צום י' בטבת)
+
  
−
==בעיה==
+
חסום ע"י הכוונה "קטן מ.."
−
*השיעורים באינפי (תרגיל 5) הם למחר? (לקבוצה של רועי) כי אם כן, אז יש כמה בעיות - חוץ מזה שהבוחן בלינארית ביום שלישי, השיעורים שהוא נתן כוללים גם טורים לא חיוביים שבכלל לא למדנו - מה אנחנו אמורים לעשות?
+
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
בשאלה 3, האם צריך להראות שהטורים חיוביים לפני שמשתמשים במבחן ההשוואה וד'אלמבר?
+
נניח שאנחנו מקבלים פונקצייה כמו:  
−
:יש טעות בתרגיל - יש שמה טורים שלא כל איבריהם חיוביים!
+
<math>cos\frac{1}{ln(x^2)}</math> . האם מצפים מאתנו להתייחס אליה כמוגדרת גם ב-x<0 (כפי שהיא כתובה), או ללכת צעד אחד קדימה ולהפוך את זה ל: <math>cos\frac{1}{2lnx}</math> ?
  
−
==שאלה של הבנה==
+
שאלה נוספת - כדי להוכיח שלא קיים גבול בנק' x=1, במקרה זה, האם מותר לי להשתמש בנימוק המילולי הבא (?): הפונקצייה מבצעת אינסוף מחזורים בכל סביבה של x=1, לכן הגבול לא קיים.
−
בתרגיל 5 בשאלה 3 איך אני פותר את הסעיפים שם- צריך להראות את שתי השיטות או שמספיק לבחור אחת מהן?
+
אם לא, איך אחרת אפשר לנמק את אי-קיום הגבול בנק', בלי פשוט לומר שהפונק' שבתוך ה-cos שואפת לאינסוף?
  
−
==תרגיל 6 באינפי==
 
−
רועי העלה לאתר תרגיל 6 אתמול בערב (ביום חמישי). האם הוא התכוון שנעשה אותו ליום ראשון הקרוב (מחרתיים)?
 
  
−
בכל מקרה, יש שם 8 שאלות: שתי שאלות על טורים עם סימנים מתחלפים, ורק שאלה אחת על הנושא שתרגלנו בכל התרגיל האחרון שלנו - גבולות של פונקציות. יש שם 5 שאלות עוסקות בנושא שבכלל לא הגענו אליו - רציפות של פונקציות, וכוללות גם הוכחות שקשורות לנושא.
+
===תשובה===
 +
כמובן שהיא מוגדרת באפס. לא עושים שום צעדים קדימה או אחורה. זה כמו שx/x אינה מוגדרת באפס.
 +
 
 +
לא, תקרא את הדוגמאות האחרות (כמעט זהות) בנושא. בונים 2 סדרות ששואפות ל1 אבל הפונקציה עליהן הולכת לפלוס אחד או מינוס אחד ולכן אין גבול לפי היינה.
 +
 
 +
==שאלה==
 +
האם זהו משפט נכון? M = SUP A אם"ם לכל e>0 קיים a ששייך לA כך ש M-e<a
  
−
==הערה==
 
−
הפורום הזה יבש .. לא מקבלים תשובה על כלום ובנוסף לכך לא מקבלים חזרה שיעורי בית .. זה ממש לא בסדר .. שלא נדבר על אי התאמה בין הרצאות לתירגולים ולשיעורי הבית .. \=
 
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
* הפורום הזה הוא שלכם, ובאמת חבל שאתם לא עונים אחד לשני יותר.
 
−
* שנית, אתם לא שואלים שאלות על אינפי כמעט, אלא בלבד שאלות טכניות על מתי צריך להגיש וכולה. אם יש נושא מתמטי לא ברור ותשאלו, אני אענה עליו (תסתכל על סוג השאלות שנשאלו, ואילו שאלות קיבלו מענה).
 
  
 +
לא מדוייק
 +
 +
M=supA אם"ם '''M חסם עליון''' וגם e>0 קיים a ששייך לA כך ש M-e<a
 +
 +
M חסם עליון אומר M גדול מכל האיברים בקבוצה, והתנאי עם האפסילון נותן את המינימליות של M. אם הוא לא היה מתקיים, אז M-e היה חסם עליון קטן יותר.
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
מישהו יכול לעזור לי בשאלה 6?
+
האם הפו' 1 חלקי n רציפה בקטע [0,1) ? ורבמ"ש?
−
(להוכיח או להפריך שאין פונקציה רציפה בקטע סגור שמקבלת כל ערך בדיוק פעמיים)
+
  
−
:רמז - תנסה לקחת דוגמא הכי פשוט שאמורה לעשות את זה x^2 ותנסה להבין אם היא מקיימת או לא ולהכליל את הבעייה אם היא לא מקיימת
+
===תשובה===
 +
רציפה שם, ברור, זה פונקציה רציפה חלקי רציפה, כאשר הפונקצה במכנה שונה מאפס.
  
−
==תרגיל 7==
+
היא אינה רציפה שם במ"ש כי היא אינה חסומה שם. ופונקציה שרציפה במ"ש על קטע <s>סגור</s> חסומה בו.
 +
:אבל זה לא קטע סגור, הוא חצי פתוח O:
 +
::שגיאה שלי, הכוונה הייתה לקטע '''חסום''' ולא סגור. פונקציה רציפה במ"ש על קטע '''חסום''' חסומה בו.
 +
:::זאת אומרת שהפעם היחידה שאנחנו צריכים ממש להפריך את הרבמ"ש שלא ע"י משפט, זה כשהיא רציפה והגבול באינסוף או מינוס אינסוף אינו קיים?
 +
::::לא. לפני שנייה הייתה דוגמא של coslogx
  
−
==שאלה 2==
+
תודה רבה :)
−
השאלה מנוסחת כך:
+
−
f(x)={<math>\sqrt{x}</math>},{t} := t-[t] <-wtf
+
  
−
מה הולך כאן? וחוץ מזה, בהנחה ש-t קבוע קבלנו שלכל x נקבל את אותו t. בכל מקרה, ממתי אפשר להציג שתי קבוצות שמופרדות בפסיקים, ולומר שהן שוות לביטוי כלשהו?
+
==הוכחת משפט ערך הביניים==
 +
במייזלר יש הוכחה שמשתמשת בטענת עזר שקשורה בחיתוך עם ציר ה-x של הפונקצייה. למה לא לפשט את זה להוכחה כזו (האם היא תקינה?):
 +
תהי f רציפה ב-[a,b], אזי אם <math>f(a)<y<f(b)</math> נבנה סדרת קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך ש- <math>f(a_n) \le y \le f(b_n)</math> , כאשר <math>I_1=[a,b], I_n=[a_n,b_n]</math>, ו-<math>c_n</math> מוגדרת: <math>c_n=0.5(a_n+b_n)</math>, כך שאם <math>f(c_n)\le y</math> נגדיר <math>I_{n+1}=[c_n,b_n]</math>, ואחרת <math>I_{n+1}=[a_n,c_n]</math> . לפי קנטור קיימת נק' יחידה <math>x_0</math> באמצע כך ש- <math>lim(a_n)=lim(b_n)=x_0</math> , ובגלל הרציפות של f נקבל ש- <math>f(a_n)</math> ו- <math>f(b_n)</math> שואפים להיות y.
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
לא שאני בטוח בזה, אבל מסקנה שהגעתי אליה עם כמה תלמידים היא שכוונת השאלה היא:
+
זו הוכחה נכונה, אמנם חסרת כמה פרטים, אבל נכונה.
  
−
<math>f(x)=g(\sqrt(x))</math>
+
==שאלה==
 +
ארז באחת השאלות למעלה אמרת:
 +
"אפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש."
  
−
<math>g(x):= x-[x]</math>
+
אבל כפי שמישהו מעלייך אמר, אז sin רציפה במידה שווה בכל R ואין לה גבול באין-סוף
  
−
יענו הסוגריים המסולסלים הם פונקציה.
+
:באיזה מובן אינסוף הינו "צד סופי"??
 +
 
 +
::אופס, הלחץ מהמבחן עושה את שלו..
 +
 
 +
:: אם כבר הגענו לנושא הזה:
 +
:: א) אין אריתמטיקה בין פונקציות רבמ"ש נכון?, לדוגמא כפל פונ' שהן רבמ"ש (נגיד בקטע [a,b]) לא יהיה בהכרח רבמ"ש נכון?
 +
:: ב) איך מוכיחים ש-sin רבמ"ש ע"פ הגדרה (בלשון דלתא ואפסילון)? (מה הטריק השם, איזה איקסים לוקחים?)
  
−
==שאלה 4==
 
−
מישהו יודע מה זה הסימון של 3 קווים?
 
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
אם אתה מתכוון לסימן הזה: <math>f\equiv 0</math> הכוונה היא לשקילות, או שיוויון פונקציות. כאן זה אומר שf הינה הפונקציה הקבועה אפס. מטרת הסימון היא להפריד בין משוואה f=0 שלה יכולים להיות שורשים, לבין להגיד שf הינה הפונקציה הקבועה אפס.
+
א. יש חצי אריתמטיקה. כפל אין (x כפול x) אבל חיבור יש כמובן. בנוסף יש הרכבה, הרכבה של רציפות במ"ש הינה רציפה במ"ש
  
 +
ב. תרגיל כללי הוא להוכיח שכל פונקציה שרציפה על כל הממשיים ומחזורית הינה רציפה במ"ש. סינוס זה מקרה פרטי של המשפט הגדול הזה. בצורה דומה <math>e^{(sinx)^2}</math> הינה רציפה במ"ש למשל..
  
−
==תרגיל==
+
:: ב-ב' זה בגלל ש-sin רציפה בקטע סגור, ואז היא רבמ"ש בו, ובעצם בגלל שהיא מחזורית אז זה מעיין איחוד אין סופי של אותו הקטע נכון?
−
<math>\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} 2xtg(x)-\frac{\pi}{cos(x)}</math>
+
  
−
'''[[תרגיל באינפי דוגמא 28.1.10|פתרון]]'''
+
ובדוגמא שנתת - איך מוכיחים שהפונ' הזאת מחזורית?
  
−
==שאלה==
 
−
ארז - מה זו מתקפת האינפי הזו פתאום? נכון שאינפי זה רצח, אבל האם לא יכלת לחכות עד שנתגבר על לינארית :) ?
 
  
−
:בגלל זה את האתגר מחקתי עד המבחן בלינארית. את זה כתבתי לסטודנט שלי באינפי
+
:::לכל פונקציה מחזורית זה נכון. צ"ל להוכיח את זה במדויק, אבל מה שציינת זו אכן הדרך.
 +
::: פשוט מציבים <math>x+2\pi k</math> ורואים מיידים שזה שווה לערך של x לכל x
  
 +
::::אוקי, תודה :)
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
איך אני מראה שלמשוואה tg x = x יש אינסוף פתרונות ממשיים?
+
שני דברים:
 +
א) צריך להוכיח במבחן שפונקציה רציפה ומחזורית היא רבמ"ש בכל פעם שמסתמכים על זה? אפשר לתת כאן הוכחה ליתר ביטחון?
 +
ב) ארז, אתה יכול להעלות פתרונות לשאלות אתגר? מחר (חמישי) המבחן ומעניין אותי לדעת איך לפתור את השאלה שקשורה לקורסים אחרים...
  
−
=שאלה=
 
−
מישהו שם לב לתרגיל החדש שרועי בן ארי שם באתר שלו? למתי צריך להגיש אותו?
 
  
−
:קודם שיחזירו את הששת תרגילים הקודמים אחרי זה שיעלו עוד תרגילים .. הקורס הזה לא רציני ..
+
===תשובה===
 +
אני לא יודע על מה מותר או אסור לכם להסתמך. אבל ההוכחה הולכת ככה: אתה מחלק את כל הממשיים לקטעים באורך המחזוריות, על כל קטע סגור וחסום הפונקציה רציפה במ"ש. עכשיו, כל שתי נקודות מספיק קרובות יכולות להיות במצב אחד מבין שניים: או ששתיהן באותו קטע, או שהן בקטעים חופפים. לכן נחלק גם את הממשיים לקטעים באורך פעמיים המחזוריות, וגם שם הפונקציה רציפה במ"ש. ולכן ניקח את הדלתא המינימלי בין זה של פעמים הקטע וזה של הקטע, וכל שתי נקודות שקרובות עד כדי הדלתא הזה, יהיה קרובות עד כדי האפסילון.
  
−
::זה קצת מפחיד, נראה שחלק (די גדול) מהתרגילים שהגשנו נאבד בדרך, ורועי לא עונה באימייל.
+
אני אשתדל להעלות פתרונות, לא בטוח שאני אספיק מלאים, אבל לפחות אני אתן את העיקר
−
:::נכון, וזה כולל גם את הבחנים. הבחנים עדיין לא הוחזרו לנו ורועי לא עונה במייל, זה באמת לא רציני. מלבד זאת, יש אפשרות להגיש את הש.ב (תרגילים 7+8)ביום של השיעור חזרה במקום מחרתיים? קודם כל כי חלק גדול מאיתנו רוצה ללמוד את החומר לפי הסדר שהוא לומד, ופונקציות הן לקראת הסוף, ובנוסף לא כולנו יוכלו להגיע באופן עצמאי לבר אילן ביום שלישי.
+
  
−
=נו מי פותר את האתגרים=
+
== שאלה ==
−
בטח מישהו מכם יכול לפתור משהו
+
  
−
:יפה מאד זה נכון :).
+
ארז איך מוכיחים ש <math>\frac{x}{e^x+1}</math> רבמ"ש?
−
:אבל עדיף לשלוח לי תשובות למייל, וככה לתת לאנשים אחרים גם הזדמנות. מתישהו אני אכתוב את התשובות.
+
:היא לא רבמ"ש, אמנם כשהיא שואפת לאינסוף יש לה גבול והוא 0, אבל כשתשאיף אותה למינוס אינסוף היא תשאף למינוס אינסוף.
 +
::המשפט בבדיקת אינסוף ומינוס אינסוף הוא לא אם"ם, אלא רק כיוון אחד. היא אפילו כן רבמ"ש, כי היא רבמ"ש בצד החיובי של ציר הx, ובצד השלילי הוא מתנהג כמו x שהוא לינארי ולכן רבמ"ש. (לא הוכחה פורמלית)
 +
:::אפשר בבקשה הוכחה פורמלית
 +
::::צודק ברעיון של הבדיקה של האינסוף, אבל לא הבנתי למה אתה אומר שבצד השלילי הוא מתנהג כמו x לינארי - הוא הרי שואף למינוס אינסוף בצורה קיצונית, יותר מהר מכל פונקצייה אחרת (אם לא הייתי יודע שזה מוגדר הייתי בטוח שזו אסימפטוטה).
 +
:::::לא, כי במינוס אינסוף המכנה שואף ל1 והמונה הוא x. כלומר ככל שהוא מתקרב למינוס אינסוף, הוא מתקרב (שואף) לx.
 +
:::::בנוסף, ההוכחה הפורמלית רק אפשרית ישירות מההגדרה עם אפסילון ודלטא.
 +
:::::: רגע, אז אפשר לחלק את זה לשני קטעים אפס עד איןסוף ומינוס אינסוף עד אפס ולהגיד שבראשון היא רציפה במ"ש בגלל גבולות בקצוות, ובשני היא מתנהגת כמו הגרף של X, ואז רק נותר להראות מה קורה אם לוקחים X1 מקטע אחד ו-X2 מהקטע השני?
 +
:::::::בעקרון כן, אבל זה לא כל כך פורמלי. הכל מסתמך על זה שאם פונקציה רבמ"ש בשתי קטעים אז היא רבמ"ש באיחוד שלהם. זה נראה נכון הגיונית, אבל אני לא בטוח שמותר להשתמש בזה במבחן.
 +
::::::::אבל בגלל זה אמרתי שרק צריך לבדוק מה קורה אם X1 מהקע הראשון וX2 מהקטע השני -זאת הבדיקה של האיחוד. אבל האם יש "מבחן השוואה" לרציפות במ"ש? כי אם לא אז איך אני יכול להגיד שמתחת ל-0 הפונ' מתנהגת כמו X? הרי היא מתנהגת בין X/2 ל-X (אמנם שתיהן רציפות, אבל בגלל זה שאלתי על מבחן ההשוואה)...
  
 +
::::::::: (מישהו אחר) ארז קראתי את מה שנכתב פה, אתה יכול להגיד בקצרה מהי הדרך לומר שזה אכן רבמ"ש (או להפריך את זה..)?
 +
:::::::::: אני לא ארז, אבל שוב: אפשר להוכיח ישירות לפי הגדרה עם אפסילון ודלטא.
  
−
סתם שאלה, עדיין לא התחלתי להסתכל עליהם בצורה רצינית, אבל אתה בטוח שבראשונה הכוונה היא למספרים הממשיים? כי ממבט ראשון לא נראה לי הגיוני לתהיה סדרה (ש"יש" לה א0 איברים תתין לך קבוצה של א איברים.. אבל יכול להיות שזו סתם שטות שלי (אני מניח שיש לי בטח איזו בעיה באינטואינציה או משהו, אבל זה עדיין מוזר לי...)
 
  
 +
::::::::::: אני שוב לא בטוח איך הכוונה לפתור את השאלה, כי יש דרכים בעזרת נגזרות (כמו ששאלו באתר, אם הנגזרת חסומה הפונקציה רציפה במ"ש) אבל לא למדנו את המשפטים האלה, לכן אני לא יודע מאיפה השאלה ובאיזה שיטה צריך לפתור...
  
−
===תשובה===
+
== תודה! ==
−
זה בדיוק היופי של השאלה, אם תחשוב קצת בכיוון הזה אולי גם תגיע לתשובה. בכל אופן, אני לא טועה ויש סדרה כך שהגבולות החלקיים שלה הם כל הממשיים.
+
ארז, אמרנו את זה כבר בלינארית, אבל אתה ממש בן אדם מדהים! לא הייתי מצפה מהמתרגל הכי טוב שיעזור לקבוצה בקורס שהוא לא מלמד, ובטח ובטח לא בכל כך מסירות! תודה רבה על כל העזרה והתמיכה (והאתגרים :P) והלימוד המצויין! בבקשה תתרגל אותנו אינפי 2! אין לי (ולכולנו) מילים להודות לך!
  
−
קצת הסבר אינטואיטיבי: הרי מה זה גבול חלקי? גבול של תת סדרה. כמה תתי סדרה ניתן לקחת מתוך סדרה? זה דומה לקבוצת החזקה. וידוע שהעוצמה של קבוצת החזקה גדולה מזו של הקבוצה עצמה, ולכן זה בכלל ייתכן.
+
איך להגיד את זה שיינר, אם היית וקטור, לא היה אפשר לנרמל אותך כי אתה פשוט לא נורמלי!
 +
אם היית פונקציה, היית שואף לאינסוף בכל סביבה של כל נקודה
 +
אם היית קטע, היית כל הישר.
  
−
=שאלה=
+
אם היית מצחיק אחי אולי ההיתי צוחק
 +
*ואם לא היה לך כזה קטן אולי לא היית צריך לרדת על אחרים בשביל לצאת גבר, אחי ;)
 +
בוא בוא תסביר את עצמך כי וואלה לא הבנתי ..
 +
*עזוב, עזוב, אי הבנה, זה הכל
  
−
אני לא מצליח לחשב את הגבול :
+
:: ארז כל הכבוד! אבסורד שאתה המתרגל שהכי עזר לנו בקורס הזה
 +
:: אני גם מעדיף שתתרגל אותנו באינפי 2
 +
:: בסופו של דבר הוא כן מתרגל (של קבוצה א') :)
  
−
<math>\lim_{x\rightarrow 3}\frac{|5-2x|-|x-2|}{|x-5|-|3x-7|}</math>
+
== הכרזה ==
 +
יש ציונים!!!
  
  
−
תשובה:
 
−
בסביבה מספיק קרובה ל3 אתה יכול להפטר מכל הערכים המוחלטים באופן הבא:
 
  
−
<math>\lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x-5-x+2}{5-x-3x+7}=\frac{x-3}{12-4x}= -\frac{1}{4}</math>
+
== שאלה ברציפות במידה שווה ==
 +
שלום, רציתי הוכחה בבקשה לתרגיל ברציפות במידה שווה.
  
−
למה -1/4? הרי זה לא שואף לאינסוף בשורה האחרונה.. זה לא אמור לשאוף ל-0?
+
האם איקס כפול סינוס איקס, רציפה במ"ש בקטע בין מינוס אינסוף לאינסוף..
  
−
למה אפס? מה אינסוף בשורה האחרונה? צימצמנו בx-3 במונה ובמכנה.
+
תודה רבה!!
 +
 
 +
===תשובה===
 +
קח 2 סדרות
 +
<math>x_n = 2\pi n</math> ו <math>y_n = \frac{1}{n} + 2\pi n</math>. ברור שההפרש בינהן שואף לאפס, אבל <math>f(y_n) - f(x_n) = (\frac{1}{n} + 2\pi n)sin(\frac{1}{n})</math> אבל הביטוי הזה שואף ל<math>2\pi</math> ולכן בוודאי גדול מקבוע שגדול מאפס (למשל אחד) החל משלב מסויים...
 +
 
 +
::תודה רבה ארז! אתה תותח!
 +
 
 +
== שאלה בקשר למשפט על רציפות במידה שווה ==
 +
קראתי כאן וגם בהרצאה משפט שמדבר על:
 +
פונקציה שרציפה בקטע (a,b) (כאשר a ,b או שניהם הם אינסוף או מינוס אינסוף), אז אם הגבולות בהם קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במידה שווה.
 +
אם יש לי קטע פתוח בין 0 לאינסוף, ופונקציה של (סינוס של איקס) חלקי איקס בריבוע, ראיתי שהוא בודק את הגבולות באינסוף וב0 מימין, אבל בדוגמא אחרת, של סינוס של אחד חלקי איקס, בין אחד לאינסוף, הוא בדק רק את הגבול כשאיקס שואף לאינסוף.
 +
למה הוא לא בדק את הגבול כשאיקס שואף לאחד מימין? כי הפונקציה מוגדרת באחד ולכן לא צריך לבדוק את זה? (ולעומת זאת בדוגמא הראשונה, כשאיקס שווה לאפס אז זה תחום ההגדרה ולכן צריך כן לבדוק?).
 +
ושאלה אחרונה בקשר למשפט שאמרתי, בהרצאה הוא לא ציין שa או b חייבים להיות אינסוף, האם זה נכון גם כשהם מספרים ממשיים?
 +
תודה רבה!!
  
−
==שאלה - נגזרות==
 
−
כדי להפריך קיום של נגזרת בנקודה כאשר ידוע שהפונק' רציפה באותה נקודה - נותר רק להראות שהנגזרת הימנית בנק' שונה מהנגזרת השמאלית בנק'.
 
−
יש לי את הפונק' : <math>f(x)=xcos\frac{1}{x}
 
−
</math>
 
−
כאשר (לא ידעתי איך לכתוב את זה) בנק' x=0 נגדיר f(x)=0 (כלומר הפונק' רציפה כי הגבול של הפונק' בנק' 0 הוא 0, ועכשיו גם הגדרנו את ערך הפונק' בנקודה זו)
 
−
אני רוצה להראות שהנק' אינה גזירה בנק' x=0, אבל אחרי חישובים אני מקבל שהנגזרת הימנית שווה לגבול מימין של הביטוי: <math>cos\frac{1}{dx}</math>, כאשר dx שואף ל-0, וכן הנגזרת משמאל שווה לגבול משמאל של ביטוי זה. אחרי הצבה במחשבון של מס' קטנים, קבלתי ששניהם שווים (בערך ל: 0.95215- כשהמחשבון ברדיאנים), כלומר הנגזרת מימין שווה לנגזרת משמאל. איפה הטעות שלי?
 
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
במחשבון. מה הטענה שלך, שיש גבול ל<math>cos(\frac{1}{x})</math> כאשר איקס הולך לאפס? הרי ברור שזה לא נכון (מאף צד...)
+
<math>sin(1/x)</math> רציפה באחד ולכן ברור שהגבול שם קיים ואין צורך בבדיקה נוספת. כאשר היא לא רציפה (מסיבה של תחום הגדרה או כל סיבה אחרת, אז יש לבדוק מה הגבול.
  
−
קח את הסדרה <math>\frac{1}{0 + 2\pi k}</math> והסדרה <math>\frac{1}{\pi+ 2\pi k}</math>.
+
כן, כי אם f רציפה בקטע הפתוח (a,b) ויש לה גבולות חד צדדים בקצות הקטע, אזי '''לפי הגדרה''' f רציפה בקטע הסגור [a,b]. ואז '''לפי משפט''' f רציפה בו במ"ש.
  
−
אלה סדרות ששואפות לאפס ואם תשים את הסדרות האלה בתוך הקוסינוס תקבל 1 או מינוס אחד בהתאמה (ולכן אין גבול). אם אתה רוצה לראות את זה במחשבון תציב איברים מהסדרות במחשבון...
+
* הבנתי לגמרי עכשיו, תודה ענקית!! :]
  
−
:אוי, איך לא חשבתי על זה ככה - לפונק' מחזורית שתשאיף אותה לאינסוף (נהפוך ל-cos(x) כאשר x שואף לאינסוף, למשל) לא יהיה גבול. אז בעצם, מספיק להראות שהנגזרת לא קיימת, בלי קשר ל'נגזרת מימין' וה'נגזרת משמאל', לא? כי בין כה וכה, אם הנגזרת הייתה קיימת, היא הייתה סופית ומוגדרת.
+
== שאלה בנושא רציפות במידה שווה ==
 +
רציתי לדעת בבקשה איך מוכיחים שהפונקציה קוסינוס של שורש של ערך מוחלט של X רציפה במידה שווה בR. אולי להפריד ל2 מקרים כשX>0 וכשX<0.. תודה רבה!!!!
  
−
=שאלה=
+
===תשובה===
−
האם פונ' חח"ע ועל היא מונוטונית?
+
כן להפריד למקרים, ואז זו הרכבה של רציפות במ"ש. את שורש איקס אפשר להוכיח לפי ההגדרה באמצעת כפל בצמוד.
  
−
==שאלה==
+
* הבנתי, תודה שוב ושיהיה לך לילה טוב..
−
איפה אפשר למצוא מבחנים באינפי? :)
+
  
−
==שאלה - גזירה==
+
== משפט הערך הממוצע ==
−
נניח שיש לי פונקצייה שהנגזרת שלה בנק' x כלשהו היא 0, האם אני יכול להסיק שהיא גזירה גם פעמיים, ואף יותר, ושגם כל הנגזרות האחרות שלה באותה נקודה שוות ל-0?
+
שלום, רציתי לדעת בבקשה אם נלמד משפט הערך הממוצע בכיתה..? תודה רבה :]
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
בשום פנים ואופן לא. דוגמאות:
+
בהתחשב בעובדה שאינפי 2 כבר התחיל ובמסגרתו למדנו המשפט הזה, השאלה הזו קצת מפתיעה.
−
* x^2, הנגזרת הראשונה 2x והנגזרת השנייה 2
+
−
* פונקצית דיריכלייה (0 על רציונאליים, x^2 על אי רציונאליים). נגזרת ראשונה באפס הינה אפס, ואין לה נגזרת נוספות כי הנגזרת הראשונה לא רציפה, היא מוגדרת רק בנקודה אחת.
+
  
−
:אז איך אני יכול להוכיח שפונקצייה כלשהי גזירה אינסוף פעמים בנקודה מסוימת?
+
משפט הערך הממוצע הינו משפט לגרנז' ולמדנו אותו בתחילת סימסטר ב' (ולא כחלק מסמיסטר א'...)
  
−
::לא יודע, באיזה הקשר? e באיקס גזירה אינסוף פעמים כי הנגזרת שלה היא עצמה למשל. כל שאלה והתשובה שלה.
+
* לא הסברתי טוב, אני יודע שהוא נלמד, השאלה אם הוא יכול להיות במבחן מועד ב' באינפי 1 אבל הבנתי שלא.. תודה על התשובה..
  
−
:::יש לי את הפונקצייה <math>f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}</math> כאשר x שונה מ-0, וכן f(0)=0. הפונק' רציפה גם באפס. כדי להוכיח שהיא גזירה באפס, משתמשים בנוסחא לחישוב הנגזרת, ומקבלים:
 
−
<math>f'(0)=lim\frac{f(dx)}{dx} = lim \frac{1}{dxe^\frac{1}{(dx)^2}}</math>, וכן dx שואף ל-0.
 
−
אפשר לראות שהנגזרת שווה ל-0, מפני שהביטוי הנ"ל שואף לאפס, מהסיבה ש:
 
−
<math>lim\frac{1}{xe^\frac{1}{x^2}}</math> קטן או שווה ל-<math>lim\frac{1}{x^2e^\frac{1}{x^2}}</math> כאשר x שואף ל-0, והגבול האחרון שווה ממש לגבול: <math>lim\frac{t}{e^t}</math> כאשר <math>t=\frac{1}{x^2}</math>, ו-t שואף לפלוס אינסוף. אפשר לראות שהגבול האחרון שווה ל-0 מפני ש-<math>e^t</math> גדל "מהר יותר" מ-t לכל t>0.
 
  
−
בכל מקרה, היה עליי להוכיח שהפונקצייה גזירה ב-0 אינסוף פעמים. הראיתי ש-<math>f'(0)=0</math> (האם זה היה נחוץ בכלל?). איך אני יכול להמשיך מכאן? תודה רבה ארז!!!
+
== תרגיל ברציפות במידה שווה ==
 +
שלום ארז, יש לי תרגיל שלא הצלחתי לפתור ואני ישמח אם תעזור לי
 +
לבדוק רציפות במידה שווה של (x*cos(1/x^2 בקטע שבין (אינסוף, 0).
 +
לעניות דעתי צריך להפריך.
 +
ועוד שאלה קטנה בקשר להפרכה: צריך לקחת שתי סדרות כך שאחד התנאים הוא שהחיסור ביניהן כשמשאיפים לאינסוף ישאף ל-0. אם הוא שווה ל-0 ולא שואף ל-0, האם התנאי הזה התקיים? (כמובן שצריך לבדוק מה קורה כשמציבים את הסדרות בפונקציה אך אני מדבר רק על התנאי הראשון).
 +
אודה לך על תשובתך!
 +
 
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
שים לב שידעתי שזה e עוד לפני ששמעתי את השאלה. צריך להשתמש בעובדה שe גזירה אינסוף פעמים. תחשב את '''כל''' הנגזרת (לא רק באפס). מה הפונקציה שקיבלת? תוכיח באינדוקציה...
+
אם החיסור בינהן שווה אפס אז זה אותה סדרה, ואז בוודאי שהתנאי על כך שההפרש בין הפונקציות מופעלות על הסדרות צריך להיות גדול מקבוע, לא יתקיים.
  
−
:בכל פעם שאני גוזר מתווסף לי עוד איבר לחבר, כאשר בכל האיברים יש מספר במונה ובמכנה x בחזקת מספר מסוים. לכל האיברים יש גורם משותף <math>e^{\frac{-1}{x^2}}</math>, אבל עדיין אין לי את ה'זכות' להוציא גורם משותף ולומר שהוא שווה ל-f(x) ששווה לאפס בנק' x=0. עצם העובדה שהגבול שלו כאשר x שואף לאפס היא 0 הוא דבר אחר, לא?
+
ודווקא נראה לי שצריך להוכיח, כי הנגזרת חסומה. אני אנסה לפתור את זה מחר.
 +
= תודה מקרב לב
  
 +
==2 הגדרות ו2 שאלות ברבמ"ש==
 +
היי ארז מה נשמע? יש לי בבקשה כמה שאלות..
  
−
:אני חושב שהרעיון הוא שe שואף הרבה יותר מהר לאפס מאשר פולינום מכל חזקה שלא תהיה. ולכן הגבול תמיד יהיה אפס (לא כי הוא בהתחלה אפס, כמו שהראתי יש דוגמאות נגדיות לזה)
+
1) בהגדרת היינה בורל במבחן, מספיק לרשום: "S קומפקטית אם ורק אם היא חסומה וסגורה", זה מספיק או שצריך להסביר גם מה זה קומפקטית..?
  
−
::הממ אבל רגע - אם לכל X ששואף לאפס יש ערך (ששואף להיות ערך מסוים - למשל במקרה הזה 0) לנגזרת ה-n-ית שלו, מי אמר שגם ל-x=0 יש את אותו ערך בנגזרת ה-n-ית שלו? ז"א, אנחנו יודעים ש-f רציפה כפי שהגדרנו אותה, אבל מי אמר שגם f', או f'', וכ'ו רציפות גם הן?
+
2) אם יש שאלה לנסח את משפט בולצ'אנו ויירשטראס, איזה מהם? עבור סדרות, קבוצות או פונקציות? או מה שאני בוחר?
  
−
:::גזירות אתה מתכוון. כמו שאמרתי באינדוקציה. הרי הנגזרת בכל נקודה שונה מאפס קלה לחישוב. ואת הגבול של f(h)/h קל לחשב. מה עוד נשאר?
+
3) רבמ"ש: איקס כפול קוסינוס של איקס בין מינוס אינסוף לאינסוף.. (בטח להפריך)
−
::::אבל אני לא יודע לבטא נגזרת n-ית לפי הנוסחא עם הדלתא-x , הכוונה לנוסחת חישוב ערך הנגזרת בנקודה: <math>f'(x)=lim\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}</math>, כאשר dx שואף לאפס.
+
  
−
:::::למה לחשב עם הנוסחא? תחשב פשוט את הנגזרת. <math>[e^{-\frac{1}{x^2}}]' = e^{-\frac{1}{x^2}}[-\frac{2}{x^3}]</math>
+
4) רבמ"ש: איקס כפול לוג של איקס בין אפס לאינסוף (לפי דעתי צריך להפריך כי מבחינת אינטואיציה, לוג איקס שואף ממינוס אינסוף ואם נכפיל באיקס אז זה עוד יותר מינוס אינסוף..)
  
−
::::::כי אנחנו רוצים להסתכל גם על המקרה של x=0, לא? וזוהי הנגזרת הראשונה - מה אם צריך לחשב את הנגזרת ה-n-ית?
+
אלה השאלות האחרונות שאני אשאל.. מקווה שיהיה לך זמן.. תודה רבה רבה רבה, אם נצליח זה רק בזכותך תאמין לי.. ואם להגיד את האמת אז חבל שלא הבנתי את זה בתחילת סמסטר א', העיקר שעכשיו אני מבין.. תודה שוב :]
 +
 
 +
===תשובה===
 +
1,2 אלה שאלות למרצה.
  
−
:::::: א-י-נ-ד-ו-ק-צ-י-ה. המקרה של אפס הוא הגבול של f(h)/h. אם אתה יודע את הנגזרת בכל מקום פרט לאפס, אתה יכול לחשב את הגבול שלה חלקי h בנקודה h ולכן את הנגזרת של הנגזרת באפס.
+
3. זה בדיוק כמו xsinx שעניתי עליו
  
−
:::::::אני מצטער, אבל אני לא מצליח להבין - הרעיון הוא להוכיח באינדוקמיה ש-f גזירה n פעמים ב-0 לכל n טבעי. ז"א שאחרי שבדקתי על הנגזרת הראשונה, והשנייה, אני צריך גם לבטא את הנגזרת ה-nית באיזשהי צורה, לא?
+
4. זה להפריך, אפשר עם שתי הסדרות <math>n + \frac{1}{n}</math> ו <math>n</math>. צריך לשחק קצת עם הlog ובעיקר לשים לב שזו הפונקציה <math>xlogx = log(x^x)</math> וההפרש בין שני לוגים הוא לוג של החלוקה.
 +
* * תודה רבה!! אני אנסה את מה שאמרת.. שיהיה בהצלחה לכל מי שניגש.. וארז, תודה על הכל!!
  
−
כן, תבטא את הנגזרת הn-ית בכל נקודה שאינה אפס. את זה אתה יכול לעשות באינדוקציה? אחרי שיש לך ביטוי לנגזרת המ-ית בסביבה של אפס (לא כולל אפס), אתה יודע שהנגזרת הn+1 היא הגבול של הנגזרת בn-ית בh חלקי h כאשר h שואף לאפס. אבל בגלל שהנגזרת הn-ית תמיד מהצורה של e כפול וחלקי פולינום, היא חייבת לשאוף לאפס והאז הנגזרת הn+1 יוצאת אפס.
 
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
 +
במועד ב' באינפי 1, ניתן להשתמש בכלל לופיטל?
  
−
אני לא בטוח במשהו: במבחן ד'אלמבר , כתוב במייזלר שהטור מתבדר אם החלוקה גדולה או שווה ל 1. אני זוכר שהמתרגל פעם קיבל שהחלוקה שווה ל 1 אבל אמר שזה לא אומר כלום. אז מה נכון?
+
לא בטוח באיזה קורס, אבל אם לא למדתם את זה באינפי 1 לא ניתן להשתמש בזה במבחן

גרסה אחרונה מ־11:06, 22 בספטמבר 2016

אינפי' 1 לתיכוניסטים

כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1. אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס אינפי' 1 - סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן.

ארכיון

ארכיון 1

ארכיון 2

תרגילי אתגר באינפי'

  • מצא סדרה כך שקבוצת הגבולות החלקיים שלה היא כל הממשיים
  • מצא פונקציה רציפה בקטע (0,1] שאינה חסומה בו מלעיל ואינה חסומה בו מלרע
  • מצא פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף סביבה של 0
  • מצא פונקציה שאם תגזור אותה תקבל \tan
  • הוכח/הפרך: הגבול של הסדרה \sin(n) אינו קיים

תרגיל אתגר מאתגר במיוחד

תרגילי האתגר הנ"ל מאתגרים וטריקיים אך ניתן לפתור אותם בעזרה הידע שלכם מקורס אינפי' בלבד. את האתגר הבא צריך לפתור בעזרת ידע מקורסים אחרים שלמדתם בנוסף: (קרדיט ללואי שפתרה את זה)

  • האם קיימת פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף נקודה בקטע [0,1] ? אם כן מצא אותה, אם לא הוכח שלא.

(שוב, זה תרגיל מאד קשה, אל תרגישו רע אם אתם לא מצליחים לפתור אותו)

פתרונות לאתגרים

פתרונות

שאלות

מהבוחן

מישהו זוכר איך מראים שגבול הסדרה \sqrt[n]{\sqrt[n]{n}-1} הוא 1? כאשר (\sqrt[n]{x} זהו השורש ה- n-י של x . ובלינארית (מתוך מבחן של רון עדין), איך מראים שלמטריצות מתחלפות A,B (ז"א ש- AB=BA) קיים ו"ע משותף...?

שאלה

יש לי שאלה על גבול שאני מנסה למצוא אבל משום מה יש שלב אחד שלכאורה נראה לי נכון אבל הוא לא. נתונה הפונקציה:

\frac{p\sin(x)-\sin(px)}{x(\cos(x)-\cos(px))}

כאשר x שואף ל-0

כאשר p=\pi .

פירקתי את השבר לשני שברים בצורה הבאה: כל מחובר של המונה לבדו עם המכנה (חיבור שברים עם אותו מכנה הוא שבר עם אותו מכנה כמו של השניים המקוריים כאשר מחברים את המונים שלהם, אם עדיין לא הבנת את כוונתי)

ואז בצד אחד היה לי \frac{\sin(x)}{x} וזה שואף ל-1. בצד שני היה לי \frac{\sin(px)}{x} אז פשוט כפלתי וחילקתי ב- p ואז בגלל ש- x שואף ל-0, גם px שואף ל-0 מה שאומר שגם \frac{\sin(px)}{px} שואף ל-1.

ואז כביכול היה יוצא 0 כי שני השברים מצמצמים אחד את השני.

הבעיה היא במה שאמרתי על \sin(px) ו- px כי בדקתי במחשבון ושם זה נתן תוצאה אחרת.

לכן רציתי לדעת איך לפתור את זה באמת.

תודה

תשובה

\frac{\sin(px)}{px}\xrightarrow[x\to0]{}1 . קל לראות את זה לפי היינה. אם x_n סדרה ששואפת ל-0 אזי גם \frac{x_n}{p} סדרה ששואפת ל-0, פשוט תציב בפונקציה ותקבל שבזכות ש- \frac{\sin(x)}{x} שואף ל-1, שגם הפונקציה הזו על הסדרה הנ"ל שואפת ל-1. (לא ניסחתי מדויק, אני אשאיר לך לתקן את הפערים).


מצטער אבל לא ממש הבנתי איך התשובה שלך קשורה לשאלה שלי.

במחשבון יוצא שהפונ' שואפת ל-1.047 (וממש המספר הזה, לא 1)

אני אכתוב לך את מה שעשיתי ואני מקווה שתצליח להסביר לי מה היה לא נכון:

\lim\limits_{x\to0}\left[\frac{\pi\sin(x)-\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]

זה שווה ל:

\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi\sin(x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}-\frac{\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]

ששווה ל:

\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi}{\cos(x)-\cos(\pi x)}-\frac{\pi\sin(\pi x)}{\pi x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]

ששווה ל:

\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi}{\cos(x)-\cos(\pi x)}-\frac{\pi}{(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]=0

וזה אמור להיות 0 זהותית (כלומר ממש 0, לא שואף ל-0...)

תשובה

דבר ראשון, אסור בתכלית האיסור, להחליף באמצע התרגיל את חלק מהגבולות למספר אליו הם שואפים. אחרת 1^\infty תמיד שווה 1 למרות שאנחנו יודעים שהוא יכול להיות e. ושוב, הייתי פותר את זה באמצעות כלל לופיטל, ולא בטוח איך אפשר אחרת.

אוקי, אז נניח שהייתי מכניס את ה- \lim גם לשבר השני..

אני עדיין לא מבין למה זה לא היה עובד

(ותודה שאתה ממשיך לענות לי למרות החפירה..)

מה הכוונה מכניס \lim לשבר השני? אסור לך להחליף במספר, אתה נשאר עם אינסוף פחות אינסוף ולא מצליח לחשב. לא יהיה לך זהותית 0. אסור לך למחוק את \frac{\sin(x)}{x}

אז זה מה שאני לא מבין, למה אסור למחוק את \frac{\sin(x)}{x} הרי זה אמור להיות 1 כש- x\to0

כמו שאמרתי, לפי ההגיון הזה, גם \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1 כי 1+\frac{1}{n}\to1 . במקרה זה, יש לך 1\cdot\infty-\infty אסור להשתמש באריתמטיקה של גבולות במקרה זה. דוגמא נגדית פשוטה יותר: \frac{n+1}{n}\cdot n-\frac{n-1}{n}\cdot n בשיטה שלך זה 0 זהותית. במציאות, זה שווה בדיוק 2.

הבנתי. תודה רבה! (וסליחה על החפירה הארוכה, שוב)

שאלה

רציתי לבדוק אם אני צודק: דורשים למצוא נקודות אי-רציפות וסיווגן בפונקציות הבאות:

1) \frac{\cos(x)}{|\cos(x)|}

2) \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{2+\sin\left(\tfrac{2}{x}\right)}

בשתיהן יצא לי 0 אי-רציפות סליקה. זה נכון?

תשובה

בראשון 0 אינה נקודת אי-רציפות בכלל... יש כמובן נקודות אי-רציפות אחרות, והן תמיד ממין ראשון. שים לב שהפונקציה הזו היא פשוט 1, 1- או לא מוגדרת.


בשני זה נכון, וזו אכן נקודת אי-הרציפות היחידה.

כן, בראשון התבלבלתי.. תודה רבה!

שאלה

אפשר בבקשה עזרה בתרגיל? צריך לבדוק האם y=\cos\big(\log(x)\big) רבמ"ש בקטע הפתוח (0,-\infty) . אני לא ממש רואה את זה... (אין גבול בשאיפה ל- 0^+ , אז ניסיתי להראות ע"י שתי סדרות שואפות ל-0 שאין רבמ"ש, לא ממש הולך לי...)


תשובה

מה לא הולך? x_n=e^{\pi-2\pi n}\ ,\ y_n=e^{-2\pi n} . שתי הסדרות שואפות ל-0, ולכן המרחק ביניהן שואף ל-0. אבל הפונקציה עליהן שווה 1 או 1-.


(זה לא כותב השאלה) אפשר פשוט לומר שהגבול באפס לא קיים, לכן הפונקציה לא רבמ"ש ב- (0,1) וכמובן שהיא לא רבמ"ש ב- (0,\infty) , לא?

(זה לא ארז) אני חושב שאסור, כי אז לפי מה שאתה אומר בגלל שלא קיים לsin x גבול באינסוף אז היא לא רבמ"ש...
בכל מקרה, הדרך היחידה להוכיח שהגבול אינה קיים היא באמצעות הסדרות, כך שלא חסכת עבודה. באופן כללי, אפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש. זה נכון כי יש 2 אופציות: או שיש 2 סדרות ששואפות לצד הסופי (נגיד a) והפונקציה שואפת עליהן לגבולות שונים (וזה אוטומטית יוצר סתירה לרציפות במ"ש), או שיש סדרה ששואפת לאינסוף ואז הפונקציה אינה חסומה על קטע חסום, ולכן אינה רציפה במ"ש. אבל כמו שאמרתי, כך או כך זה דורש את בניית הסדרות.
לאדע, לא עולה לי כל כך מהר הדוגמאות להפרכה. תודה בכל מקרה! יש לי עוד שאלה ממש קטנה, אני מנסה להוכיח שכשX שואף ל0, אז ln sin x / ln x שואף ל1.
האם מותר לי להגיע לזה באמצעות המשפט של sin x / x =1 ? כי אז אני מכפיל בX, מפעיל LN על שני האגפים, מחלק בLN X ומקבל את הדרוש... תודה לעונה!

אסור. אין משפט שsinx/x=1 יש משפט שאומר שזה שואף לאחד... אבל לכפול בx זה כמו לכפול באפס וזה בוודאי אסור (אריתמטיקה של גבולות לא עוזרת פה). אפשר לפתור באמצעות כלל לופיטל, כמו שאמרתי אני לא יודע אם זה בחומר או לא.

זה לא בחומר, תודה בכל מקרה.!

שאלה

יש משהו שנורא מבלבל אותי. נניח שיש לי את הפונקציה: f(x)=e^{lnx}

מצד אחד הנגזרת שלה היא 1, כי היא שווה ל-X

מצד שני, אם אני מתעלם מהעובדה שהדבר הזה הוא X ואני גוזר רגיל אני מקבל שהגזרת היא 1 חלקי X. מה עושים???

דרך אגב, ארז כתבתי לך בחזרה משהו בשאלה של ה- \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(\pi x)}{\pi x} אז בבקשה תענה לי.

תשובה

לומדים לגזור! [e^{lnx}]' =e^{lnx} \cdot \frac{1}{x}=\frac{x}{x}=1

חח אופס, סליחה.

שאלה - רבמ"ש

נכון, חפרנו על הנושא למרות שתהיה מקסימום שאלה אחת על זה במבחן, ובכל זאת: נניח שאני רוצה להוכיח ש- f(x)=xsinx רבמ"ש. האם מותר לי לקחת x,y שמקיימים |x-y|<d ולומר : |xsinx-ysiny| \le |2x-2y| < 2d (מהסיבה שפונק' הסינוס חסומה ע"י 1 ו-1-) ?

תשובה

בוודאי שלא. למשל x=2000\pi, y=2000\pi + \pi/2, d = \pi/2 אז יוצא ש|xsinx-ysiny|= 2000\pi + \pi/2


הטריק הוא בגדול לקחת x_1=x,x_2=x+h ולפתח לפי נוסחאות טריגונומטריות.

שאלה - טורים

ישבתי על זה הרבה ולא הצלחתי X:

נתון שיש טור המוגדר ע"י סכום הסדרה an ובדומה סכום המוגדר ע"י סכום הסדרה bn
ידוע שסיגמא AN זה A וסיגמא BN זה B
מגדירים סדרה חדשה, CN שבמקומות האי זוגיים היא מקבלת את b1,b3,b5.... ובמקומות הזוגיים היא מקבלת את a1,a2,a3,...
האם סיגמא CN מתכנס?

תשובה

לא של ארז: מקווה שזה נכון: סכום האי זוגיים של הסדרה b מתכנס לפי קריטריון ההשוואה, הסכום של a כמובן מתכנס לפני הנתון ולכן סכום טורים מתכנסים הוא מתכנס.


מבחן ההשוואה נכון לטורים חיוביים בלבד. והתשובה היא בוודאי לא, אם לא נתון שהטורים חיוביים. לוקחים את הטור הקלאסי להתכנסות בתנאי b_n=(-1)^n/n ולוקחים כל טור מתכנס אחר להיות a_n...

שאלה

שאלה מהמבחן של ראובן שנה שעברה שלא הצלחתי:

תהי an סדרה מתכנסת כך ש: s={an: n - belong - to - N} כאשר N זה המספרים הטבעיים. ואומרים ש-s היא קבוצה סופית. צריך להוכיח שהחל מ-N מסויים, לכל n,m שגדולים ממנו, an=am.

זה נראה לי נכון אבל אני לא יודע איך לכתוב את זה בצורה מתמטית.

תשובה

S הינה קבוצת כל האיברים בסדרה, והיא סופית. כלומר איבר בסדרה יכול להיות אחד מתוך מספר סופי של איברים (איבר מתוך S).

כעת, נגדיר את קבוצת ההפרשים D=\{|s_1-s_2| : s_1,s_2 \in S, s_1\neq s_2\} מכיוון שS סופית גם D סופית ולכן יש לה מינימום. נגדיר \epsilon = Min(D)/2>0. כעת, לפי תנאי קושי, קיים n_0 כך שלכל n,m>n_0 מתקיים |a_m-a_n| < \epsilon אבל אם a_n \neq a_m אזי |a_m-a_n| \in D אבל

|a_n-a_m|<\epsilon < Min(d) וזו סתירה.

סבבה תודה!


מבחן של ראובן

איפה יש את המבחן שלו משנה שעברה?

באתר של גיל

איפה זה, אפשר קישור?

http://math.ipnet.co.il

תודה

שאלה

באחת משאלות האתגר שנתתם (זאת עם הגבולות החלקיים שכוללים את כל הממשיים), מותר לי פשוט להגיד ש-an היא הספירה של Q? אנחנו יודעים שאפשר לספור את Q אבל האם זה מספיק להסתמך על זה שקיימת ספירה כזאת ואז לרשום שנק' ההצטברות של Q הן כל R ולכן אלו הם הג"חים?

תשובה

השאלה היא האם משם אתה יכול להוכיח שכל מספר ממשי הוא גבול חלקי של הסדרה הנ"ל. אין משפט על הקשר שבין נקודת הצטברות של קבוצה, לבין הגבולות החלקיים של סדרה המכילה את איברי הקבוצה. האם הסדר לפי תבנה את הסדרה משנה?

אוקיי.. יש לי סדרה אחרת שנראה לי שהיא תעבוד. את כל שאר תרגילי האתגר הצלחתי לפתור (חוץ מזה שדורש שימוש בקורס אחר שאין לי מושג מה לעשות שם חוץ מזה שאני בטוח כמעט לגמרי שזו הפרכה..)
תשלח לי למייל בקצרה, אני אגיד לך אם צדקת. אגב, מתי המבחן שלכם?
המבחן שלנו מחר :S
הא, בהצלחה.. יכול להיות שאני אהיה מחר באוניברסיטה.. אבל זה כבר לא יעזור לאף אחד :)

שאלה

הוכח שאם f גזירה ב-(a,b), ונגזרתה חסומה בקטע, אזי f רבמ"ש שם. (WTF?!)

תשובה

נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש, לכן קיים אפסילון, כך שלכל דלתא קיים זוג x,y כך שהמרחק בינהם קטן מדלתא, אבל המרחק בין f(x) לf(y) גדול מאפסילון. ולכן \frac{f(x)-f(y)}{x-y} > \frac{\epsilon}{\delta}. ניקח \delta_n = \frac{1}{n} וניקח את הזוגות המתאימים x_n,y_n. אלה סדרות חסומות ולכן ניתן לקחת תת סדרה של x_n שמתכנסת, ואז תת-תת סדרה של y_n שמתכנסת וביחד נקבל שתי סדרות מתכנסות x_{n_k},y_{n_k} ומכיוון שהמרחק ביניהן הולך וקטן הן מתכנסות לאותו הגבול, נקרא לו L. אבל אז \frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{|x_{n_k}-y_{n_k}|} > \frac{\epsilon}{\delta_{n_k}} כלומר שואף לאינסוף, אבל זה חסום על ידי קבוע כפול הנגזרת (לפי תרגיל אחר שנתנו לכם) וזו סתירה.

אתה יכול בבקשה להסביר למה הכוונה ב"זוגות המתאימים Xn Yn" - הכוונה היא לאותן סדרות שעזרו לך להוכיח או להפריך משהו בהרבה תרגילים אחרים בעמוד זה?
ועוד משהו, למה הכוונה חסום ע"י קבוע כפול הנגזרת?


"... כך שלכל דלתא קיים זוג x,y..." הזוג הזה.

חסום ע"י הכוונה "קטן מ.."

שאלה

נניח שאנחנו מקבלים פונקצייה כמו: cos\frac{1}{ln(x^2)} . האם מצפים מאתנו להתייחס אליה כמוגדרת גם ב-x<0 (כפי שהיא כתובה), או ללכת צעד אחד קדימה ולהפוך את זה ל: cos\frac{1}{2lnx} ?

שאלה נוספת - כדי להוכיח שלא קיים גבול בנק' x=1, במקרה זה, האם מותר לי להשתמש בנימוק המילולי הבא (?): הפונקצייה מבצעת אינסוף מחזורים בכל סביבה של x=1, לכן הגבול לא קיים. אם לא, איך אחרת אפשר לנמק את אי-קיום הגבול בנק', בלי פשוט לומר שהפונק' שבתוך ה-cos שואפת לאינסוף?


תשובה

כמובן שהיא מוגדרת באפס. לא עושים שום צעדים קדימה או אחורה. זה כמו שx/x אינה מוגדרת באפס.

לא, תקרא את הדוגמאות האחרות (כמעט זהות) בנושא. בונים 2 סדרות ששואפות ל1 אבל הפונקציה עליהן הולכת לפלוס אחד או מינוס אחד ולכן אין גבול לפי היינה.

שאלה

האם זהו משפט נכון? M = SUP A אם"ם לכל e>0 קיים a ששייך לA כך ש M-e<a


תשובה

לא מדוייק

M=supA אם"ם M חסם עליון וגם e>0 קיים a ששייך לA כך ש M-e<a

M חסם עליון אומר M גדול מכל האיברים בקבוצה, והתנאי עם האפסילון נותן את המינימליות של M. אם הוא לא היה מתקיים, אז M-e היה חסם עליון קטן יותר.

שאלה

האם הפו' 1 חלקי n רציפה בקטע [0,1) ? ורבמ"ש?

תשובה

רציפה שם, ברור, זה פונקציה רציפה חלקי רציפה, כאשר הפונקצה במכנה שונה מאפס.

היא אינה רציפה שם במ"ש כי היא אינה חסומה שם. ופונקציה שרציפה במ"ש על קטע סגור חסומה בו.

אבל זה לא קטע סגור, הוא חצי פתוח O:
שגיאה שלי, הכוונה הייתה לקטע חסום ולא סגור. פונקציה רציפה במ"ש על קטע חסום חסומה בו.
זאת אומרת שהפעם היחידה שאנחנו צריכים ממש להפריך את הרבמ"ש שלא ע"י משפט, זה כשהיא רציפה והגבול באינסוף או מינוס אינסוף אינו קיים?
לא. לפני שנייה הייתה דוגמא של coslogx

תודה רבה :)

הוכחת משפט ערך הביניים

במייזלר יש הוכחה שמשתמשת בטענת עזר שקשורה בחיתוך עם ציר ה-x של הפונקצייה. למה לא לפשט את זה להוכחה כזו (האם היא תקינה?): תהי f רציפה ב-[a,b], אזי אם f(a)<y<f(b) נבנה סדרת קטעים I_n=[a_n,b_n] כך ש- f(a_n) \le y \le f(b_n) , כאשר I_1=[a,b], I_n=[a_n,b_n], ו-c_n מוגדרת: c_n=0.5(a_n+b_n), כך שאם f(c_n)\le y נגדיר I_{n+1}=[c_n,b_n], ואחרת I_{n+1}=[a_n,c_n] . לפי קנטור קיימת נק' יחידה x_0 באמצע כך ש- lim(a_n)=lim(b_n)=x_0 , ובגלל הרציפות של f נקבל ש- f(a_n) ו- f(b_n) שואפים להיות y.

תשובה

זו הוכחה נכונה, אמנם חסרת כמה פרטים, אבל נכונה.

שאלה

ארז באחת השאלות למעלה אמרת: "אפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש."

אבל כפי שמישהו מעלייך אמר, אז sin רציפה במידה שווה בכל R ואין לה גבול באין-סוף

באיזה מובן אינסוף הינו "צד סופי"??
אופס, הלחץ מהמבחן עושה את שלו..
אם כבר הגענו לנושא הזה:
א) אין אריתמטיקה בין פונקציות רבמ"ש נכון?, לדוגמא כפל פונ' שהן רבמ"ש (נגיד בקטע [a,b]) לא יהיה בהכרח רבמ"ש נכון?
ב) איך מוכיחים ש-sin רבמ"ש ע"פ הגדרה (בלשון דלתא ואפסילון)? (מה הטריק השם, איזה איקסים לוקחים?)


תשובה

א. יש חצי אריתמטיקה. כפל אין (x כפול x) אבל חיבור יש כמובן. בנוסף יש הרכבה, הרכבה של רציפות במ"ש הינה רציפה במ"ש

ב. תרגיל כללי הוא להוכיח שכל פונקציה שרציפה על כל הממשיים ומחזורית הינה רציפה במ"ש. סינוס זה מקרה פרטי של המשפט הגדול הזה. בצורה דומה e^{(sinx)^2} הינה רציפה במ"ש למשל..

ב-ב' זה בגלל ש-sin רציפה בקטע סגור, ואז היא רבמ"ש בו, ובעצם בגלל שהיא מחזורית אז זה מעיין איחוד אין סופי של אותו הקטע נכון?

ובדוגמא שנתת - איך מוכיחים שהפונ' הזאת מחזורית?


לכל פונקציה מחזורית זה נכון. צ"ל להוכיח את זה במדויק, אבל מה שציינת זו אכן הדרך.
פשוט מציבים x+2\pi k ורואים מיידים שזה שווה לערך של x לכל x
אוקי, תודה :)

שאלה

שני דברים: א) צריך להוכיח במבחן שפונקציה רציפה ומחזורית היא רבמ"ש בכל פעם שמסתמכים על זה? אפשר לתת כאן הוכחה ליתר ביטחון? ב) ארז, אתה יכול להעלות פתרונות לשאלות אתגר? מחר (חמישי) המבחן ומעניין אותי לדעת איך לפתור את השאלה שקשורה לקורסים אחרים...


תשובה

אני לא יודע על מה מותר או אסור לכם להסתמך. אבל ההוכחה הולכת ככה: אתה מחלק את כל הממשיים לקטעים באורך המחזוריות, על כל קטע סגור וחסום הפונקציה רציפה במ"ש. עכשיו, כל שתי נקודות מספיק קרובות יכולות להיות במצב אחד מבין שניים: או ששתיהן באותו קטע, או שהן בקטעים חופפים. לכן נחלק גם את הממשיים לקטעים באורך פעמיים המחזוריות, וגם שם הפונקציה רציפה במ"ש. ולכן ניקח את הדלתא המינימלי בין זה של פעמים הקטע וזה של הקטע, וכל שתי נקודות שקרובות עד כדי הדלתא הזה, יהיה קרובות עד כדי האפסילון.

אני אשתדל להעלות פתרונות, לא בטוח שאני אספיק מלאים, אבל לפחות אני אתן את העיקר

שאלה

ארז איך מוכיחים ש \frac{x}{e^x+1} רבמ"ש?

היא לא רבמ"ש, אמנם כשהיא שואפת לאינסוף יש לה גבול והוא 0, אבל כשתשאיף אותה למינוס אינסוף היא תשאף למינוס אינסוף.
המשפט בבדיקת אינסוף ומינוס אינסוף הוא לא אם"ם, אלא רק כיוון אחד. היא אפילו כן רבמ"ש, כי היא רבמ"ש בצד החיובי של ציר הx, ובצד השלילי הוא מתנהג כמו x שהוא לינארי ולכן רבמ"ש. (לא הוכחה פורמלית)
אפשר בבקשה הוכחה פורמלית
צודק ברעיון של הבדיקה של האינסוף, אבל לא הבנתי למה אתה אומר שבצד השלילי הוא מתנהג כמו x לינארי - הוא הרי שואף למינוס אינסוף בצורה קיצונית, יותר מהר מכל פונקצייה אחרת (אם לא הייתי יודע שזה מוגדר הייתי בטוח שזו אסימפטוטה).
לא, כי במינוס אינסוף המכנה שואף ל1 והמונה הוא x. כלומר ככל שהוא מתקרב למינוס אינסוף, הוא מתקרב (שואף) לx.
בנוסף, ההוכחה הפורמלית רק אפשרית ישירות מההגדרה עם אפסילון ודלטא.
רגע, אז אפשר לחלק את זה לשני קטעים אפס עד איןסוף ומינוס אינסוף עד אפס ולהגיד שבראשון היא רציפה במ"ש בגלל גבולות בקצוות, ובשני היא מתנהגת כמו הגרף של X, ואז רק נותר להראות מה קורה אם לוקחים X1 מקטע אחד ו-X2 מהקטע השני?
בעקרון כן, אבל זה לא כל כך פורמלי. הכל מסתמך על זה שאם פונקציה רבמ"ש בשתי קטעים אז היא רבמ"ש באיחוד שלהם. זה נראה נכון הגיונית, אבל אני לא בטוח שמותר להשתמש בזה במבחן.
אבל בגלל זה אמרתי שרק צריך לבדוק מה קורה אם X1 מהקע הראשון וX2 מהקטע השני -זאת הבדיקה של האיחוד. אבל האם יש "מבחן השוואה" לרציפות במ"ש? כי אם לא אז איך אני יכול להגיד שמתחת ל-0 הפונ' מתנהגת כמו X? הרי היא מתנהגת בין X/2 ל-X (אמנם שתיהן רציפות, אבל בגלל זה שאלתי על מבחן ההשוואה)...
(מישהו אחר) ארז קראתי את מה שנכתב פה, אתה יכול להגיד בקצרה מהי הדרך לומר שזה אכן רבמ"ש (או להפריך את זה..)?
אני לא ארז, אבל שוב: אפשר להוכיח ישירות לפי הגדרה עם אפסילון ודלטא.


אני שוב לא בטוח איך הכוונה לפתור את השאלה, כי יש דרכים בעזרת נגזרות (כמו ששאלו באתר, אם הנגזרת חסומה הפונקציה רציפה במ"ש) אבל לא למדנו את המשפטים האלה, לכן אני לא יודע מאיפה השאלה ובאיזה שיטה צריך לפתור...

תודה!

ארז, אמרנו את זה כבר בלינארית, אבל אתה ממש בן אדם מדהים! לא הייתי מצפה מהמתרגל הכי טוב שיעזור לקבוצה בקורס שהוא לא מלמד, ובטח ובטח לא בכל כך מסירות! תודה רבה על כל העזרה והתמיכה (והאתגרים :P) והלימוד המצויין! בבקשה תתרגל אותנו אינפי 2! אין לי (ולכולנו) מילים להודות לך!

איך להגיד את זה שיינר, אם היית וקטור, לא היה אפשר לנרמל אותך כי אתה פשוט לא נורמלי! אם היית פונקציה, היית שואף לאינסוף בכל סביבה של כל נקודה אם היית קטע, היית כל הישר.

אם היית מצחיק אחי אולי ההיתי צוחק

  • ואם לא היה לך כזה קטן אולי לא היית צריך לרדת על אחרים בשביל לצאת גבר, אחי ;)

בוא בוא תסביר את עצמך כי וואלה לא הבנתי ..

  • עזוב, עזוב, אי הבנה, זה הכל
ארז כל הכבוד! אבסורד שאתה המתרגל שהכי עזר לנו בקורס הזה
אני גם מעדיף שתתרגל אותנו באינפי 2
בסופו של דבר הוא כן מתרגל (של קבוצה א') :)

הכרזה

יש ציונים!!!


שאלה ברציפות במידה שווה

שלום, רציתי הוכחה בבקשה לתרגיל ברציפות במידה שווה.

האם איקס כפול סינוס איקס, רציפה במ"ש בקטע בין מינוס אינסוף לאינסוף..

תודה רבה!!

תשובה

קח 2 סדרות x_n = 2\pi n ו y_n = \frac{1}{n} + 2\pi n. ברור שההפרש בינהן שואף לאפס, אבל f(y_n) - f(x_n) = (\frac{1}{n} + 2\pi n)sin(\frac{1}{n}) אבל הביטוי הזה שואף ל2\pi ולכן בוודאי גדול מקבוע שגדול מאפס (למשל אחד) החל משלב מסויים...

תודה רבה ארז! אתה תותח!

שאלה בקשר למשפט על רציפות במידה שווה

קראתי כאן וגם בהרצאה משפט שמדבר על: פונקציה שרציפה בקטע (a,b) (כאשר a ,b או שניהם הם אינסוף או מינוס אינסוף), אז אם הגבולות בהם קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במידה שווה. אם יש לי קטע פתוח בין 0 לאינסוף, ופונקציה של (סינוס של איקס) חלקי איקס בריבוע, ראיתי שהוא בודק את הגבולות באינסוף וב0 מימין, אבל בדוגמא אחרת, של סינוס של אחד חלקי איקס, בין אחד לאינסוף, הוא בדק רק את הגבול כשאיקס שואף לאינסוף. למה הוא לא בדק את הגבול כשאיקס שואף לאחד מימין? כי הפונקציה מוגדרת באחד ולכן לא צריך לבדוק את זה? (ולעומת זאת בדוגמא הראשונה, כשאיקס שווה לאפס אז זה תחום ההגדרה ולכן צריך כן לבדוק?). ושאלה אחרונה בקשר למשפט שאמרתי, בהרצאה הוא לא ציין שa או b חייבים להיות אינסוף, האם זה נכון גם כשהם מספרים ממשיים? תודה רבה!!


תשובה

sin(1/x) רציפה באחד ולכן ברור שהגבול שם קיים ואין צורך בבדיקה נוספת. כאשר היא לא רציפה (מסיבה של תחום הגדרה או כל סיבה אחרת, אז יש לבדוק מה הגבול.

כן, כי אם f רציפה בקטע הפתוח (a,b) ויש לה גבולות חד צדדים בקצות הקטע, אזי לפי הגדרה f רציפה בקטע הסגור [a,b]. ואז לפי משפט f רציפה בו במ"ש.

  • הבנתי לגמרי עכשיו, תודה ענקית!! :]

שאלה בנושא רציפות במידה שווה

רציתי לדעת בבקשה איך מוכיחים שהפונקציה קוסינוס של שורש של ערך מוחלט של X רציפה במידה שווה בR. אולי להפריד ל2 מקרים כשX>0 וכשX<0.. תודה רבה!!!!

תשובה

כן להפריד למקרים, ואז זו הרכבה של רציפות במ"ש. את שורש איקס אפשר להוכיח לפי ההגדרה באמצעת כפל בצמוד.

  • הבנתי, תודה שוב ושיהיה לך לילה טוב..

משפט הערך הממוצע

שלום, רציתי לדעת בבקשה אם נלמד משפט הערך הממוצע בכיתה..? תודה רבה :]

תשובה

בהתחשב בעובדה שאינפי 2 כבר התחיל ובמסגרתו למדנו המשפט הזה, השאלה הזו קצת מפתיעה.

משפט הערך הממוצע הינו משפט לגרנז' ולמדנו אותו בתחילת סימסטר ב' (ולא כחלק מסמיסטר א'...)

  • לא הסברתי טוב, אני יודע שהוא נלמד, השאלה אם הוא יכול להיות במבחן מועד ב' באינפי 1 אבל הבנתי שלא.. תודה על התשובה..


תרגיל ברציפות במידה שווה

שלום ארז, יש לי תרגיל שלא הצלחתי לפתור ואני ישמח אם תעזור לי לבדוק רציפות במידה שווה של (x*cos(1/x^2 בקטע שבין (אינסוף, 0). לעניות דעתי צריך להפריך. ועוד שאלה קטנה בקשר להפרכה: צריך לקחת שתי סדרות כך שאחד התנאים הוא שהחיסור ביניהן כשמשאיפים לאינסוף ישאף ל-0. אם הוא שווה ל-0 ולא שואף ל-0, האם התנאי הזה התקיים? (כמובן שצריך לבדוק מה קורה כשמציבים את הסדרות בפונקציה אך אני מדבר רק על התנאי הראשון). אודה לך על תשובתך!


תשובה

אם החיסור בינהן שווה אפס אז זה אותה סדרה, ואז בוודאי שהתנאי על כך שההפרש בין הפונקציות מופעלות על הסדרות צריך להיות גדול מקבוע, לא יתקיים.

ודווקא נראה לי שצריך להוכיח, כי הנגזרת חסומה. אני אנסה לפתור את זה מחר. = תודה מקרב לב

2 הגדרות ו2 שאלות ברבמ"ש

היי ארז מה נשמע? יש לי בבקשה כמה שאלות..

1) בהגדרת היינה בורל במבחן, מספיק לרשום: "S קומפקטית אם ורק אם היא חסומה וסגורה", זה מספיק או שצריך להסביר גם מה זה קומפקטית..?

2) אם יש שאלה לנסח את משפט בולצ'אנו ויירשטראס, איזה מהם? עבור סדרות, קבוצות או פונקציות? או מה שאני בוחר?

3) רבמ"ש: איקס כפול קוסינוס של איקס בין מינוס אינסוף לאינסוף.. (בטח להפריך)

4) רבמ"ש: איקס כפול לוג של איקס בין אפס לאינסוף (לפי דעתי צריך להפריך כי מבחינת אינטואיציה, לוג איקס שואף ממינוס אינסוף ואם נכפיל באיקס אז זה עוד יותר מינוס אינסוף..)

אלה השאלות האחרונות שאני אשאל.. מקווה שיהיה לך זמן.. תודה רבה רבה רבה, אם נצליח זה רק בזכותך תאמין לי.. ואם להגיד את האמת אז חבל שלא הבנתי את זה בתחילת סמסטר א', העיקר שעכשיו אני מבין.. תודה שוב :]

תשובה

1,2 אלה שאלות למרצה.

3. זה בדיוק כמו xsinx שעניתי עליו

4. זה להפריך, אפשר עם שתי הסדרות n + \frac{1}{n} ו n. צריך לשחק קצת עם הlog ובעיקר לשים לב שזו הפונקציה xlogx = log(x^x) וההפרש בין שני לוגים הוא לוג של החלוקה.

  • * תודה רבה!! אני אנסה את מה שאמרת.. שיהיה בהצלחה לכל מי שניגש.. וארז, תודה על הכל!!


שאלה

במועד ב' באינפי 1, ניתן להשתמש בכלל לופיטל?

לא בטוח באיזה קורס, אבל אם לא למדתם את זה באינפי 1 לא ניתן להשתמש בזה במבחן

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=אינפי_1_לתיכוניסטים_תש%22ע&oldid=67986