=אינפי ' 1 לתיכוניסטים= כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1. אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס אינפי ' 1 - סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן.
=ארכיון=
[[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 1|ארכיון 1]]
=תרגילים + פתרונות=[[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 2|ארכיון 2]]
=תרגילי אתגר באינפי'''[[מדיה:09Infi1_Sol1.pdf| תרגיל =*מצא סדרה כך שקבוצת הגבולות החלקיים שלה היא כל הממשיים*מצא פונקציה רציפה בקטע <math>(0,1]]'''</math> שאינה חסומה בו מלעיל ואינה חסומה בו מלרע*מצא פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף סביבה של 0*מצא פונקציה שאם תגזור אותה תקבל <math>\tan</math>*הוכח/הפרך: הגבול של הסדרה <math>\sin(n)</math> אינו קיים
===תרגיל אתגר מאתגר במיוחד===תרגילי האתגר הנ"ל מאתגרים וטריקיים אך ניתן לפתור אותם בעזרה הידע שלכם מקורס אינפי'''[[מדיהבלבד. את האתגר הבא צריך לפתור בעזרת ידע מקורסים אחרים שלמדתם בנוסף:09Infi1_Sol2.pdf| תרגיל 2]]'''(קרדיט ללואי שפתרה את זה)
'''*האם קיימת פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף נקודה בקטע <math>[[מדיה:09Infi1_Sol30,1]</math> ? אם כן מצא אותה, אם לא הוכח שלא.pdf| תרגיל 3]]'''
'''[[מדיה:09Infi1_Sol4.pdf| (שוב, זה תרגיל 4]]'''מאד קשה, אל תרגישו רע אם אתם לא מצליחים לפתור אותו)
===פתרונות לאתגרים==='''[[מדיה:09Infi1_Sol5.pdfפתרונות לאתגר אינפי 1 תיכוניסטים תש"ע| תרגיל 5פתרונות]]'''
'''=שאלות===מהבוחן==מישהו זוכר איך מראים שגבול הסדרה <math>\sqrt[n]{\sqrt[מדיה:09Infi1_Sol6.pdf| תרגיל 6n]{n}-1}</math> הוא 1? כאשר (<math>\sqrt[n]'''{x}</math> זהו השורש ה- <math>n</math>-י של <math>x</math> . ובלינארית (מתוך מבחן של רון עדין), איך מראים שלמטריצות מתחלפות <math>A,B</math> (ז"א ש- <math>AB=BA</math>) קיים ו"ע משותף...?
'''[[מדיה:09Infi1_Sol7==שאלה==יש לי שאלה על גבול שאני מנסה למצוא אבל משום מה יש שלב אחד שלכאורה נראה לי נכון אבל הוא לא.pdf| תרגיל 7]]'''נתונה הפונקציה::<math>\frac{p\sin(x)-\sin(px)}{x(\cos(x)-\cos(px))}</math>כאשר <math>x</math> שואף ל-0
'''[[מדיה:09Infi1_Sol8כאשר <math>p=\pi</math> .pdf| תרגיל 8]]'''
'''[[מדיהפירקתי את השבר לשני שברים בצורה הבאה:09Infi1_Sol9.pdf| תרגיל 9]]'''כל מחובר של המונה לבדו עם המכנה (חיבור שברים עם אותו מכנה הוא שבר עם אותו מכנה כמו של השניים המקוריים כאשר מחברים את המונים שלהם, אם עדיין לא הבנת את כוונתי)
=שאלות=ואז בצד אחד היה לי <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> וזה שואף ל-1. בצד שני היה לי <math>\frac{\sin(px)}{x}</math> אז פשוט כפלתי וחילקתי ב- <math>p</math> ואז בגלל ש- <math>x</math> שואף ל-0, גם <math>px</math> שואף ל-0 מה שאומר שגם <math>\frac{\sin(px)}{px}</math> שואף ל-1.
ואז כביכול היה יוצא 0 כי שני השברים מצמצמים אחד את השני.
==שאלה==הבעיה היא במה שאמרתי על <math>\sin(px)</math> ו- <math>px</math> כי בדקתי במחשבון ושם זה נתן תוצאה אחרת.
אני לא בטוח במשהו: במבחן ד'אלמבר , כתוב במייזלר שהטור מתבדר אם החלוקה גדולה או שווה ל 1לכן רציתי לדעת איך לפתור את זה באמת. אני זוכר שהמתרגל פעם קיבל שהחלוקה שווה ל 1 אבל אמר שזה לא אומר כלום. אז מה נכון? תודה
===תשובה===
אני אסביר. אם <math>\forall n : \frac{a_{n+1}\sin(px)}{a_npx}\geq xrightarrow[x\to0]{}1</math> . קל לראות את זה אומר שהסדרה מונוטונית עולהלפי היינה. מכיוון שהיא חיוביתאם <math>x_n</math> סדרה ששואפת ל-0 אזי גם <math>\frac{x_n}{p}</math> סדרה ששואפת ל-0, זה אומר שהיא בהכרח לא פשוט תציב בפונקציה ותקבל שבזכות ש- <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> שואף ל-1, שגם הפונקציה הזו על הסדרה הנ"ל שואפת לאפס ולכן הטור מתבדרל-1. (לא ניסחתי מדויק, אני אשאיר לך לתקן את הפערים).
לעומת זאת, אם <math>\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1</math> מצטער אבל לא ניתן לדעת אם הטור מתכנס, משמע יש דוגמאות לשני הכיווניםממש הבנתי איך התשובה שלך קשורה לשאלה שלי. הטור ההרמוני <math>\sum \frac{1}{n}</math> מקיים את התכונה הזו ומתבדר, ואילו הטור <math>\sum \frac{1}{n^2}</math> מקיים את התכונה הזו ומתכנס (<math>\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}=1</math>)
==שאלה==איך אני מראה שלמשוואה tg x = x יש אינסוף פתרונות ממשיים?===תשובה===<math>\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2} +\pi k}tgx במחשבון יוצא שהפונ' שואפת ל- x= \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2} +\pi k}\frac{sinx}{cosx} - x = \pm \infty</math>1.047 (וממש המספר הזה, לא 1)
ולכן לפי משפט ערך הביניים כל ערך ממשי מתקבל בין השאיפה לאינסוף ומינוס אינסוף, וזה קורה אינסוף פעמים (לכל k). בפרט, 0 מתקבל אינסוף פעמים, ולכן אני אכתוב לך את מה שעשיתי ואני מקווה שתצליח להסביר לי מה היה לא נכון::<math>tgx=\lim\limits_{x\to0}\left[\frac{\pi\sin(x)-\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math> אינסוף פעמים.
==שאלה==זה שווה ל:האם פונ' חח"ע ועל היא מונוטונית?:<math>\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi\sin(x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}-\frac{\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math>
===תשובה===ששווה ל:רציפה או לא? קח את :<math>\lim_{x על הרציונליים, ו2x על האי רציונליים, חח"ע ועל ואינה מונוטונית. \to0}\left[\frac{\pi}{\cos(x)-\cos(\pi x)}-\frac{\pi\sin(\pi x)}{\pi x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math>
אם היא רציפה, היא חייבת להיות מונוטונית לפי משפט ערך הביניים ששווה ל::<math>\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi}{\cos(תרגילx) ואפילו לא צריך את העל.-\cos(\pi x)}-\frac{\pi}{(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]=0</math>
==שאלה==נניח שיש לי פונקצייה שמוגדרת בתחום x>aוזה אמור להיות 0 זהותית (כלומר ממש 0, ובדיוק בנק' x=a יש אילא שואף ל-רציפות בצורה של 'אסימפטוטה' - האם זו אי רציפות מסוג ראשון, או שני?0...)
===תשובה===
מה דבר ראשון, אסור בתכלית האיסור, להחליף באמצע התרגיל את חלק מהגבולות למספר אליו הם שואפים. אחרת <math>1^\infty</math> תמיד שווה 1 למרות שאנחנו יודעים שהוא יכול להיות e. ושוב, הייתי פותר את זה צורה של אסימפטוטהבאמצעות כלל לופיטל, ולא בטוח איך אפשר אחרת. ההגדרה מאד מאד פשוטה:
אי רציפות סליקה: קיים גבול סופי בנקודהאוקי, אז נניח שהייתי מכניס את ה- <math>\lim</math> גם לשבר השני..
אי רציפות ממין ראשון: קיימים גבולות חד צדדיים סופיים בנקודהאני עדיין לא מבין למה זה לא היה עובד
אי רציפות ממין שני: כל מצב אחר(ותודה שאתה ממשיך לענות לי למרות החפירה..)
:מה הכוונה מכניס <math>\lim</math> לשבר השני? אסור לך להחליף במספר, אתה נשאר עם אינסוף פחות אינסוף ולא מצליח לחשב. לא יהיה לך זהותית 0. אסור לך למחוק את <math>\frac{\sin(x)}{x}</math>
אז זה מה שאני לא מבין, למה אסור למחוק את <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> הרי זה אמור להיות 1 כש- <math>x\to0</math>
הדבר היחיד שאני לא בטוח לגביו:כמו שאמרתי, באמת בהקשר השאלה שלךלפי ההגיון הזה, הוא מה קורה כאשר מדברים על פונקציה בתחום הגדרה מסויםגם <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1</math> כי <math>1+\frac{1}{n}\to1</math> . כלומרבמקרה זה, מה היא האי רציפות יש לך <math>1\cdot\infty-\infty</math> אסור להשתמש באריתמטיקה של פונקציה גבולות במקרה זה. דוגמא נגדית פשוטה יותר: <math>\frac{xn+1}{n}\sqrtcdot n-\frac{xn-1}{n}\cdot n</math> בנקודה אפס. מצד אחד לפי ההגדרה שרשמתי למעלה בשיטה שלך זה מין שני כי לא קיים הגבול החד צדדי משמאל0 זהותית. מצד שניבמציאות, אם נחליף את הנקודה ב0 נקבל פונקציה רציפה ב(אינסוף,0], אז זה נשמע כמו סליקהשווה בדיוק 2. אז אני באמת לא בטוח מה ההגדרה במקרה כזה הבנתי.תודה רבה! (וסליחה על החפירה הארוכה, שוב)
==שאלה==
איך אפשר להוכיח שאם יש לי סדרה רציתי לבדוק אם אני צודק: <math>a_n</math> המתכנסת לדורשים למצוא נקודות אי-0, אזי רציפות וסיווגן בפונקציות הבאות: <math>\frac{\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}}{n} = 0</math> (כלומר הוכחה לפי הגדרת הגבול) ?
===תשובה===יש טעות בשאלה. הרי הטור בוודאי לא חייב להתכנס, ולכן אין הגדרה כלל לחלוקה הנ"ל, ובפרט אין גבול.1) <math>\frac{\cos(x)}{|\cos(x)|}</math>
===תשובה===לא הבנתי איך זה קשור שהטור לא מתכנס...בכל מקרה מה שרשמת זה ההממוצע החשבוני של 2) <math>\ a_n </math>,והוכחנו בהרצאה שהממוצע החשבוני של <math>\ a_n </math> מתכנס לאותו גבול כמו <math>\left\frac{e^{a_n-\right\}_frac{n=1}{x^2}}}{2+\infty}</math> לכן אם הגבול של <math>sin\left(\tfrac{a_n\right\2}_{n=1x}^{\inftyright)}</math> הוא 0 זה גם הגבול של הממוצע החשבוני :)
בשתיהן יצא לי 0 אי-רציפות סליקה. זה נכון?
מוכיחים את המשפט של השוויון בין הגבולות (בצורה כללית) בעזרת משפט שטולץ.===תשובה=== http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%A9%D7%98%D7%95%D7%9C%D7%A5#.D7.A0.D7.99.D7.A1.D7.95.D7.97_.D7.94.D7.9E.D7בראשון 0 '''אינה''' נקודת אי-רציפות בכלל.A9.D7.A4יש כמובן נקודות אי-רציפות אחרות, והן תמיד ממין ראשון.D7שים לב שהפונקציה הזו היא פשוט 1, 1- או לא מוגדרת.98
הטעות היא שלפי מה שכתבת, זה נראה כאילו דיברת על סכום של הטור האינסופי עד אינסוף (כאיבר אחד) נחלק ל-n (שהוא מה שרץ) ואז כמו שנאמר, זה לא ממש מוגדר. וכמו שאמרו, ההוכחה בעזרת שטולץ היא די פשוטה
:אפשר גם להוכיח בעזרת סנדוויץ'? לומר שהביטוי גדול שווה מסדרת המינימומים וקטן שווה מסדרת המקסימומים, שהם תתי סדרה של an ולכן הגבול שלהם הוא 0, ולכן גם הביטוי שואף ל0?
==שאלה==בתחילת הקורס נאמר שיש חובת הגשה של 80 אחוז. לא הגשתי את התרגילים 7בשני זה נכון,8 מפני שלא יכלתי להגיע לאוניברסיטה בזמן חופשת הסמסטר. האם וזו אכן נקודת אי הגשת שני תרגילים אלה יורד לי ציון?-הרציפות היחידה. :אפשר להגיש אותם גם ביום ראשוןכן, בראשון התבלבלתי..תודה רבה!
==שאלה==
תהי סדרה anאפשר בבקשה עזרה בתרגיל? צריך לבדוק האם <math>y=\cos\big(\log(x)\big)</math> רבמ"ש בקטע הפתוח <math>(0,-\infty)</math> . אם הגבול של anאני לא ממש רואה את זה... (אין גבול בשאיפה ל- <math>0^2 קיים ושווה למס' ממשי כלשהו+</math> , מה זה אומר לי לגבי הגבול של an? הוא לא חייב להיות קיים, נכון? אבל במידה וכן: הוא יכול להיות פלוס מינוס השורש של הגבול הנאז ניסיתי להראות ע"י שתי סדרות שואפות ל-0 שאין רבמ"ש, ואלו האפשרויות היחידות, נכון?לא ממש הולך לי...)
===תשובה===
בדיוק. תמיד התת סדרה המורכבת מהשליליים של an תתכנס למינוס השורשמה לא הולך? <math>x_n=e^{\pi-2\pi n}\ , ותת הסדרה של החיוביים תתכנס לשורש\ y_n=e^{-2\pi n}</math> . אם המספר הינו אפסשתי הסדרות שואפות ל-0, אז גם an תתכנס בהכרח לאפסולכן המרחק ביניהן שואף ל-0.:מגניבאבל הפונקציה עליהן שווה 1 או 1-. אבל שוב, זה לא דורש שיהיה קיים גבול לan נכון?
::אם יש סדרות חלקיות שמתכנסות לגבולות שונים ברור שאין גבול. וכמו שאמרתי, אם הגבול המקורי הוא אפס אז כן חייב להיות הגבול אפס גם של an.
== שאלה ==מה המשמעות האינטואיטיבית(זה לא כותב השאלה) אפשר פשוט לומר שהגבול באפס לא קיים, לכן הפונקציה לא רבמ"ש ב- <math>(0,1)</גאומטרית של רציפות במידה שווהmath> וכמובן שהיא לא רבמ"ש ב- <math>(0,\infty)</math> , לא?:(זה לא ארז) אני חושב שאסור, כי אז לפי מה שאתה אומר בגלל שלא קיים לsin x גבול באינסוף אז היא לא רבמ"ש...
===תשובה===מה ::בכל מקרה, הדרך היחידה להוכיח שהגבול אינה קיים היא רציפות? פונקציה הינה רציפה אם באמצעות הסדרות, כך שלא חסכת עבודה. באופן כללי, אפשר להוכיח שאם הגבול שלה בנקודה הוא הערך שלה בנקודהאינו קיים בצד הסופי, כלומר שבכל נקודה היא אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש. זה נכון כי יש 2 אופציות: או שיש 2 סדרות ששואפות לצד הסופי (נגיד a) והפונקציה שואפת לערך שלה בנקודהעליהן לגבולות שונים (וזה אוטומטית יוצר סתירה לרציפות במ"ש), או שיש סדרה ששואפת לאינסוף ואז הפונקציה אינה חסומה על קטע חסום, ולכן אינה רציפה במ"ש. אבל כמו שאמרתי, כך או כך זה דורש את בניית הסדרות.
מידה שווה יכולה לדבר על גבולות באופן כללי:לאדע, לא עולה לי כל כך מהר הדוגמאות להפרכה. המילה "מידה" מתכוונת למהירות ההתכנסותתודה בכל מקרה! יש לי עוד שאלה ממש קטנה, אני מנסה להוכיח שכשX שואף ל0, אז ln sin x / ln x שואף ל1. כלומר כמה מהר הפונקציה מגיעה לגבול שלה בנקודה. ואיך ניתן למדוד מהירות התכנסות:האם מותר לי להגיע לזה באמצעות המשפט של sin x / x =1 ? כי אז אני מכפיל בX, מפעיל LN על ידי כמה קטן הדלתא שנדרש על מנת שהפונקציה תהיה במרחק אפסילון מסויים מהגבולשני האגפים, מחלק בLN X ומקבל את הדרוש...תודה לעונה!
כעת, המילה "שווה" אומרת שה"מידה" כלומר מהירות ההתכנסות שווה בכל נקודה בקטע בו יש רציפות במידה שווהאסור. כלומר, לכל אפסילון, קיים דלתא, כך שאם ניקח מסדרון באורך דלתא איפשהו על ציר אין משפט שsinx/x, הפונקציה =1 יש משפט שאומר שזה שואף לאחד... אבל לכפול בx זה כמו לכפול באפס וזה בוודאי אסור (אריתמטיקה של גבולות לא תצא בתוכו ממסדרון באורך אפסילון בציר yעוזרת פה). ובמיליםאפשר לפתור באמצעות כלל לופיטל, הפונקציה מתכנסת פחות כמו שאמרתי אני לא יודע אם זה בחומר או יותר באותה מהירות לגבול שלה לא. זה לא בחומר, תודה בכל נקודה בקטעמקרה.!
==שאלה==
האם יש דרך למדוד למה מתכנס הטור משהו שנורא מבלבל אותי.נניח שיש לי את הפונקציה: <math>f(-1x)=e^n*1/n{lnx}</math>?
ועוד שאלה לא קשורה: זה ארז שעוזר לנו כאן בכל השאלות או המתרגלים האחרים באינפי?מצד אחד הנגזרת שלה היא 1, כי היא שווה ל-X
יש לי דה ז'ה וו שמישהו עונה לי ואומר לי כן אבל לא אומר לי איךמצד שני, אז בבקשה תגידו גם איך :)אם אני מתעלם מהעובדה שהדבר הזה הוא X ואני גוזר רגיל אני מקבל שהגזרת היא 1 חלקי X.מה עושים???
:כן. (זה שארז עונה. ואני באמת לא יודע איך הוא עושה את זה D: ). במחשבון אני מקבל שהוא שווה ל-(-0.69)דרך אגב, ::כן אבל התכוונתי לתשובה ממש עם נוסחאות ומשפטים.. ==שאלה ארז כתבתי לך בחזרה משהו בשאלה של ה- קיום גבול חד-צדדי==איך אפשר להפריך קיומו של גבול חד צדדי? למשל, בפונקצייה sin(1/<math>\lim_{x) : האם מותר לי לומר שהגבול החד צדדי של \rightarrow 0 מימין שווה ממש לגבול של }\frac{sin(\pi x) כאשר }{\pi x שואף לאינסוף, אם קיים?}</math>אז בבקשה תענה לי.
===תשובה===
עושים את זה באלגנטיות באמצעות סדרות והגדרת הגבול לפי היינה.לומדים לגזור!<math>[e^{lnx}]' =e^{lnx} \cdot \frac{1}{x}=\frac{x}{x}=1</math>
לוקחים שתי סדרות <math>0\leq x_nחח אופס,y_n \rightarrow 0</math>. אם היה גבול חד צדדי מימין, לפי היינה <math>f(x_n),f(y_n) \rightarrow L</math> כאשר L הינו הגבול. אבל אנחנו נבנה סדרות כך שאחרי הפעלת הפונקציה עליהן נגיע לגבולות '''שונים''' בסתירה להגדרה הגבול לפי היינהסליחה.
הסדרות במקרה ==שאלה - רבמ"ש==נכון, חפרנו על הנושא למרות שתהיה מקסימום שאלה אחת על זה הינן במבחן, ובכל זאת:נניח שאני רוצה להוכיח ש- f(x)=xsinx רבמ"ש. האם מותר לי לקחת x,y שמקיימים <math>|x-y|<d</math> ולומר :<math>|xsinx-ysiny| \le |2x-2y| < 2d</math>(מהסיבה שפונק' הסינוס חסומה ע"י 1 ו-1-) ?
===תשובה===בוודאי שלא. למשל <math>x_n x= 2000\frac{1}{pi, y=2000\frac{pi + \pi}{/2}+, d = \pi/2 </math> אז יוצא ש<math>|xsinx-ysiny|= 2000\pi n}+ \pi/2</math>
<math>y_n = \frac{1}{-\frac{\pi}{2}+2 \pi n}</math>
וכמובן ש הטריק הוא בגדול לקחת <math>\forall n: f(x_n)x_1=1x,f(y_n)=-1</math> עבור <math>fx_2=sin(\frac{1}{x})+h</math>ולפתח לפי נוסחאות טריגונומטריות.
==שאלה - רציפות במידה שווהטורים==היום בתרגול עם ראובן הוזכר משפט ישבתי על רציפות במידה שווה שמעולם לא שמעתי עליו, לא מצאתי אותו בהרצאות או בספר זה הרבה ולא הצלחתי X: אם f רציפה, וקיים עבורה גבול סופי כש-x שואף לפלוס\מינוס אינסוף (שניהם קיימים), אזי f רציפה במידה שווה.מאיפה הגיע המשפט הזה? ולמה הוא נכון?:נתון שיש טור המוגדר ע"י סכום הסדרה an ובדומה סכום המוגדר ע"י סכום הסדרה bn:תיקון - מצאתי אותו, והוא מנוסח כך ידוע שסיגמא AN זה A וסיגמא BN זה B: f רבמ"ש בקטע (aמגדירים סדרה חדשה,b) <==> הפונק' f רציפה בקטע זהCN שבמקומות האי זוגיים היא מקבלת את b1,b3, וקיימים גבולות חד צדיים ל-a ו-bb5. השאלה שלי ... ובמקומות הזוגיים היא : הוא גם עובד עבור a או b שהם אינסופייםמקבלת את a1, נכון? ודבר שניa2, אם קיים גבול שהוא אינסוף לפונק' כאשר היא שואפת ל-ba3, למשל (לאחד מהם) - ...:האם זה בהכרח סותר את רבמ"שיות הפונקצייהסיגמא CN מתכנס?
===תשובה===
לא של ארז:
מקווה שזה נכון:
סכום האי זוגיים של הסדרה b מתכנס לפי קריטריון ההשוואה, הסכום של a כמובן מתכנס לפני הנתון
ולכן סכום טורים מתכנסים הוא מתכנס.
1. אם פונקציה רציפה ב(a,b) ואחד מהם או שניהם הוא אינסוף אבל יש לה גבולות בקצות הקטע היא רציפה במ"ש. בצד הסופי, נניח a, זה אומר שניתן להשלים אותה לפונקציה רציפה בקטע (a,b]. בצד האינסופי, אם לפונקציה יש גבול זה אומר שהחל ממקום מסוים M המרחק שלה מהגבול קטן מאפסילון, ובפרט המרחק בין כל שני <math>f(x_1),f(x_2)</math> קטן מפעמים אפסילון, ללא תלות כלל במרחק בין <math>x_1,x_2</math>. לכן מפרידים את הפונקציה ל<math>[a,M]</math> שזה קטע סגור וחסום לכן הפונקציה רציפה בו במ"ש ולכן יש דלתא לאפסילון ו<math>[M,\infty)</math> שם ראינו שהמרחק קטן מפעמים אפסילון בלי שום קשר לדלתא, ולכן הפונקציה רציפה באיחוד הקטעים במ"ש. אם שני הצדדים אינסופיים מחלקים את הפונקציה לשלוש וההוכחה דומה.
:מבחן ההשוואה נכון לטורים חיוביים בלבד. והתשובה היא בוודאי לא, אם לא נתון שהטורים חיוביים. לוקחים את הטור הקלאסי להתכנסות בתנאי <math>b_n=(-1)^n/n</math> ולוקחים כל טור מתכנס אחר להיות a_n...
2. אם בצד הסופי הגבול הינו אינסוף הפונקציה אינה רציפה במ"ש, מכיוון שלפי משפט אם f אינה חסומה בקטע חסום אזי היא אינה רציפה שם במ"ש. אם הגבול הוא אינסוף באינסוף אי אפשר לדעת כי <math>x</math> הינה כזו, והיא רציפה במ"ש, ואילו <math>x^2</math> אינה רציפה במ"ש.==שאלה==שאלה מהמבחן של ראובן שנה שעברה שלא הצלחתי:
תהי an סדרה מתכנסת כך ש:תודה רבה, הבהרת לי את העניין בצורה מלאה <math>s={an: n - עכשיו הצלחתי לטפל בכ"כ הרבה תרגילים שלא הצלחתי קודם, ואיכשהו באותם תרגילים שיוצא ששואף לאינסוף באינסוף belong - ההוכחה צריכה להיות בצורה פורמלית והיא מסתדרת בקלות!to - N}</math> כאשר N זה המספרים הטבעיים. ואומרים ש-s היא קבוצה סופית.צריך להוכיח שהחל מ-N מסויים, לכל n,m שגדולים ממנו, an=am.
זה נראה לי נכון אבל אני לא יודע איך לכתוב את זה בצורה מתמטית.
===תשובה===
::בשמחהS הינה קבוצת כל האיברים בסדרה, והיא סופית. שים לב רק לנקודה חשובה כלומר איבר בסדרה יכול להיות אחד מתוך מספר סופי של איברים (זלצמן מטעה בה בכוונה תמידאיבר מתוך S) אם הפונקציה אינה רציפה בקטע היא בוודאי אינה רציפה בו במ"ש גם אם הגבולות קיימים בקצוות. למשל <math>sin(1/x)</math> יש לה גבולות בפלוס מינוס אינסוף אבל בוודאי היא אינה רציפה במ"ש כי יש לה אי רציפות ב0. (היא גם לא רציפה במ"ש בקטע (0,אינסוף)
==שאלות גבוליות על מקרי-קיצון==*נניח שיש לי פונקצייהכעת, כמו logx. ידוע שהיא מוגדרת רק עבור xנגדיר את קבוצת ההפרשים <math>0, אז האם אי-הרציפות ב-x=0 נחשבת לרציפות מסוג שני? (מפני שהגבול השמאלי לא קיים)*אם יש לי פונקצייה כמו f(x)D=\frac{1}{|xs_1-s_2|: s_1,s_2 \in S, s_1\neq s_2\} (כלומר, </math> מכיוון שS סופית גם D סופית ולכן יש לה 'אסימפטוטה' ב-xמינימום. נגדיר <math>\epsilon =Min(D)/2>0 ששואפת לפלוס-אינסוף משני הצדדים)</math>. כעת, האם מדובר באי-רציפות מסוג שני? (הגבול השמאלי והימני לא סופייםלפי תנאי קושי, ולכן כביכול לא קיימים?) או שאולי באיקיים <math>n_0</math> כך שלכל <math>n,m>n_0</math> מתקיים <math>|a_m-רציפות סליקה (מה שממש לא נראה לי - למרות ששני הגבולות שווים)a_n| < \epsilon</math> *אבל אם בשאלה השנייה שלי התשובה הנכונה היא הראשונה, אז האם אפשר להסיק שבכל מקרה בו אומרים "אם קיים הגבול", בלי לומר מילה על 'גבול במובן הרחב', בכל הקשור לפונקציות<math>a_n \גבולותneq a_m </math> אזי <math>|a_m-a_n| \רציפות\רבמ"ש, מתכוונים לגבול סופי?in D</math> אבל
<math>|a_n-a_m|<\epsilon < Min(d)</math> וזו סתירה.
===תשובה===יש תשובה בדיוק על השאלות האלה בדף הזה.:סבבה תודה!
*לא יודע
*הגבולות חייבים להיות קיימים וסופיים.
*תלוי בהקשר ובניסוח ובכוונת המשורר
== הלצה =מבחן של ראובן=חשבתי שכולנו גם זקוקים לקצת צחוק בכל הלחץ מההתכוננות לאינפי. סרטון מאוד מצחיק ומומלץ :)[http://www.youtube.com/watch#playnext=1&playnext_from=TL&videos=OWkvcRg0vkI&v=uqwC41RDPyg לחץ כאן]:מצחיק מאוד, אהבתי איפה יש את הביצוע D: !המבחן שלו משנה שעברה?
==גבול באתר של פונקצייה==כדי להוכיח גבול של פונקצייה בנקודה, לא מספיק להראות ש''קיימת'' סדרה <math>a_n</math> ששואפת לאותה נק' וקיים גבול לסדרה המוגדרת ע"י <math>f(a_n)</math>, נכון? בעיקרון המשפט אומר ש''לכל'' סדרה התנאי צריך להתקיים. מה שכן, זה עוזר להפריך, ובדיוק בשביל זה יש לי את השאלה הבאה:גיל
*תהי <math>f(x)=(cos(2x))^{\frac{1}{x^2}}</math> . האם קיים גבול ב-x שואף ל-0איפה זה, ומהואפשר קישור?*ד"א, אם אני רוצה להפריך קיום של גבול, האם אני יכול לעשות זאת לא באמצעות סדרות? *נניח שיש לי פונקצייה כמו <math>xsin\frac{1}{x}</math>, שאמנם מבצעת אינסוף מחזורים בסביבת אפס, אבל כולם שואפים ל-0 - ניתן לומר שהגבול הוא 0, נכון? (באופן כללי חייב להיות גבול, כי רציפות בנק' גוררת קיום של גבול בה)
http://math.ipnet.co.il
ניתן גם להוכיח באמצעות סדרות, ואני אוכיח מיד:תודה
* מאיפה השאלה? אחד התלמידים שלי פתר משהו דומה בשיטות פשוטות, אבל אני רואה את השאלה וישר חושב לפתור אותה באמצעות כלל לופיטל ==שאלה==באחת משאלות האתגר שנתתם (אני לא חושב שלמדתםזאת עם הגבולות החלקיים שכוללים את כל הממשיים). לכן השאלה , מותר לי פשוט להגיד ש-an היא אם הספירה של Q?אנחנו יודעים שאפשר לספור את Q אבל האם זה בכלל בחומר שלכם או לא.מספיק להסתמך על זה שקיימת ספירה כזאת ואז לרשום שנק' ההצטברות של Q הן כל R ולכן אלו הם הג"חים?
*כן, אפשר לפריך לפי קושי, פשוט זה נראה לי יותר מסובך===תשובה===השאלה היא האם משם אתה יכול להוכיח שכל מספר ממשי הוא גבול חלקי של הסדרה הנ"ל. למצוא סדרות ששואפות למספרים שוניםאין משפט על הקשר שבין נקודת הצטברות של קבוצה, או לבין הגבולות החלקיים של סדרה שואפת לאינסוף הרבה יותר קלהמכילה את איברי הקבוצה.האם הסדר לפי תבנה את הסדרה משנה?
* אבל '''אין''' רציפות באפס, אז בוודאי זה לא גורר קיום גבול! אבל, הגבול אכן קיים:אוקיי. קח סדרה ששואפת לאפס <math>x_n \rightarrow 0</math>. אזי <math>x_n \cdot sin\frac{1}{x_n}</math> הינה יש לי סדרה המורכבת מסדרה השואפת לאפס כפול חסומה! ולפי משפט מסדרות זה אומר שהגבול הינו אפס ללא תלות בסדרה (רק בעזרת העובדה אחרת שנראה לי שהיא שואפת לאפס) וזו הוכחה לפי היינה שהגבול הינו אפסתעבוד.את כל שאר תרגילי האתגר הצלחתי לפתור (חוץ מזה שדורש שימוש בקורס אחר שאין לי מושג מה לעשות שם חוץ מזה שאני בטוח כמעט לגמרי שזו הפרכה..)
==תת-סדרה של תת סדרה==*תהי <math>a_n</math> סדרה. הוכח שהיא שואפת לאפס <==> לכל תת סדרה <math>a_{n_k}</math> קיימת תת סדרה <math>a_{n_{k_j}}</math> כך שהטור <math>\sum{a_{n_{k_j}}}</math> מתכנס בהחלט::תשלח לי למייל בקצרה, אני אגיד לך אם צדקת.אגב, מתי המבחן שלכם?
*הוכח או הפרך : הסדרה <math>x_n</math> מתכנסת ל-<math>x_0</math> <==> לכל תת סדרה <math>x_{n_k}</math> יש תת סדרה <math>x_{n_{k_j}}</math> שמתכנסת ל-<math>x_0</math>.::המבחן שלנו מחר :S
::::הא, בהצלחה.. יכול להיות שאני אהיה מחר באוניברסיטה.. אבל זה כבר לא יעזור לאף אחד :)
אני אפילו לא יודע איך לגשת לתרגילים מהסוג הזה ==שאלה==הוכח שאם f גזירה ב- באילו כלים אני צריך להשתמש כאן?(a,b), ונגזרתה חסומה בקטע, אזי f רבמ"ש שם.(WTF?!)
===תשובה===
נתחיל מהראשון. הכיוון הפשוט יותר הינו שאם לכל תת סדרה יש תת סדרה שעבורה הטור מתכנסנניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש, לכן לכל תת סדרה יש תת סדרה ששואפת לאפס קיים אפסילון, כך שלכל דלתא קיים זוג x,y כך שהמרחק בינהם קטן מדלתא, אבל המרחק בין f(טור מתכנס -x) לf(y) גדול מאפסילון. ולכן <math> סדרה שואפת לאפס\frac{f(x)-f(y)}{x-y} > \frac{\epsilon}{\delta}</math>. אבל מזה נובע שכל הגבולות החלקיים הם אפסניקח <math>\delta_n = \frac{1}{n}</math> וניקח את הזוגות המתאימים <math>x_n, אחרת יש גבול חלקי שונה מאפס, יש y_n</math>. אלה סדרות חסומות ולכן ניתן לקחת תת סדרה ששואפת אליושל <math>x_n</math> שמתכנסת, וכל ואז תת-תת סדרה שלה גם תשאף אליו בסתירה לכך שאחת מהן שואפת לאפס. של y_n שמתכנסת וביחד נקבל שתי סדרות מתכנסות <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> ומכיוון שכל הגבולות החלקיים הינם אפסשהמרחק ביניהן הולך וקטן הן מתכנסות לאותו הגבול, גבול הסדרה הינו בהכרח אפס נקרא לו L. אבל אז <math>\frac{f(limsup=liminfx_{n_k})-f(y_{n_k})}{|x_{n_k}-y_{n_k}|} > \frac{\epsilon}{\delta_{n_k}}</math> כלומר שואף לאינסוף, אבל זה חסום על ידי קבוע כפול הנגזרת (לפי תרגיל אחר שנתנו לכם)וזו סתירה.
:: אתה יכול בבקשה להסביר למה הכוונה ב"זוגות המתאימים Xn Yn" - הכוונה היא לאותן סדרות שעזרו לך להוכיח או להפריך משהו בהרבה תרגילים אחרים בעמוד זה?
:: ועוד משהו, למה הכוונה חסום ע"י קבוע כפול הנגזרת?
בכיוון השני, מספיק להוכיח את המשפט הבא: אם סדרה שואפת לאפס, יש לה תת סדרה שהטור שלה מתכנס (קל לראות לוגית שהמשפט הזה מספיק)". ומה הטריק פה? לדלל את הסדרה המקורית..כך שלכל דלתא קיים זוג x,y. נניח הסדרה המקורית הינה <math>\frac{1}{n}</math> ברור ש<math>\frac{1}{n^2}</math> הינה תת סדרה שלה.האלגוריתם המדויק הוא כזה. ניקח את הסדרה <math>\epsilon_n</math> כך ש <math>0<\epsilon_n < \frac{1}{n^2}</math>. כעת, לכל <math>\epsilon_n</math> קיים <math>n_{\epsilon_n}</math> כך שהחל ממנו והלאה הסדרה קטנה מ<math>\epsilon_n</math>. ניקח את האיברים המתאימים לאפסילונים לפי הסדר (לכל אפסילון נבחר את האיבר הראשון שקטן ממנו) וקל לראות לפי מבחן ההשוואה שהטור של תת הסדרה הנ"ל יתכנסהזוג הזה.
מתוך הדברים שאמרתי, קל להוכיח את התרגיל השניחסום ע"י הכוונה "קטן מ.."
==שאלה==
אני נתקל בבעיה הזו הרבה פעמיםנניח שאנחנו מקבלים פונקצייה כמו: איך אומים שהסדרה לוג איקס חלקי איקס היא מונוטונית יורדת? ואיך אומרים שלוג איקס חלקי איקס שואפת לאפס?? תודה..:עבור סדרות <math>cos\frac{1}{ln(n טבעיx^2) זה טרוויאלי - אפשר להראות את זה באינדוקציה}</math> . באופן כללי, בגלל שהאם מצפים מאתנו להתייחס אליה כמוגדרת גם ב-e^x שואפת לכל גבול מהר יותר מכל פולינום, אז ln<0 (xכפי שהיא כתובה) שהוא הפעולה ההפוכה שואף לכל גבול לאט יותר מכל פולינום., או ללכת צעד אחד קדימה ולהפוך את זה ל: <math>cos\frac{1}{2lnx}</math> ?
מה אני אומר במבחןשאלה נוספת - כדי להוכיח שלא קיים גבול בנק' x=1, במקרה זה, האם מותר לי להשתמש בנימוק המילולי הבא (? שלוג איקס חלקי איקס מונוטונית ושואפת לאפס כי): הפונקצייה מבצעת אינסוף מחזורים בכל סביבה של x=1, לכן הגבול לא קיים...? אני יודע שזה נכון אבל כל הקורס הזה בנוי על פורמליותאם לא, איך אחרת אפשר לנמק את אי-קיום הגבול בנק', בלי פשוט לומר שהפונק' שבתוך ה- אני יכול להגיד להם שהיא cos שואפת מהר יותר מכל פולינוםלאינסוף? יקבלו את זה? אתה יכול לרשום בבקשה הוכחה פורמלית? תודה.:-)
::כמו שכותב התשובה אמר, באינדוקציה. אתה מעלה הכל בחזקת e (ידוע שe מונוטונית, ולכן אם מעלים בחזקת e המונוטוניות נשמרת). נותר להוכיח ש<math>e^{\frac{logn}{n} }= \frac{n}{e^n} \rightarrow 0</math>. מוכיחים באינדוקציה ש<math>\frac{n}{e^n} < \frac{1}{n}</math> כלומר <math>\frac{n^2}{e^n}<1</math> וזו לא אינדוקציה מסובכת מידי... ואז נובעת השאיפה לאפס לפי מבחן הסנדביץ, או כפי שהורוביץ מכנה אותו "כריך פריך"
מצטער שאני משגע- הבנתי למה אן חלקי אי בחזקת אן שואף לאפס===תשובה===כמובן שהיא מוגדרת באפס. לא עושים שום צעדים קדימה או אחורה. אבל איך זה אומר לי שלוג איקס חלקי איקס מונוטונית יורדת ושואפת לאפס לאיקס טבעי בפרט ולאיקס חיובי בכלל. תודה..כמו שx/x אינה מוגדרת באפס.
:זה לא אומר , תקרא את זההדוגמאות האחרות (כמעט זהות) בנושא. זה רק אומר שזה שואף לאפס. לגבי מספר טבעי את המונוטוניות צריך להוכיח באינדוקציה מאד דומה, אני משאיר לך לחשוב על זה. לגבי איקס חיובי כללי זה לא עונה על זהבונים 2 סדרות ששואפות ל1 אבל הפונקציה עליהן הולכת לפלוס אחד או מינוס אחד ולכן אין גבול לפי היינה.
==שאלה - רציפות במידה שווה==נניח שיש לי פונקצייה כמו arctan(x) (ההופכית ל-tan) - האם היא מוגדרת כאשר x שואף לאינסוףזהו משפט נכון? למשל, בשאלה: האם arctan(M = SUP A אם"ם לכל e^x) רבמ">0 קיים a ששייך לA כך ש בתחום (0, אינסוף), רציתי לומר שכן, כי יש לה גבולות סופיים (רבע פאי בM-0, חצי פאי באינסוף), אבל מצד שני tan של חצי פאי לא מוגדר.e<a
:(arctan(e^x היא אכן רציפה במ"ש כי היא רציפה על כל R ויש לה גבולות סופיים בקצוות. למי אכפת מה קורה לtan? שכן arctan הינה פונקציה רציפה על כל R לתוך הקבוצה <math>(-\pi/2,\pi/2)</math>. השאלה עצמה מוטעית "האם היא מוגדרת כאשר איקס שואף לאינסוף" ההגדרה לשאיפת גבול לאינסוף הינה אחת לפי קושי (או היינה, אבל הן שקולות). קל מאד לראות שכאשר איקס גדול, arctanx מתקרב לחצי פאי. בעזרת זה ניתן להוכיח שהגבול הינו חצי פאי.
::(עוד שאלה, ===תשובה=== לא משואל השאלה הקודמת..)ונניח שיש לי שאלה לגבי רציפות בממדוייק M=supA אם"ם '''M חסם עליון''' וגם e>0 קיים a ששייך לA כך ש עם tan. היא לא תהיה רציפה במ"ש בכל תחום שכולל את פאי חלקי 2, נכון? כי בפרט היא לא רציפה שם (כי אין לה גבול), ולכן היא בוודאי לא רציפה במ"ש..? (תנאי הכרחי אבל לא מספיק של רציפות במ"ש הוא רציפות)M-e<a
::: תלוי בשאלה הספציפיתM חסם עליון אומר M גדול מכל האיברים בקבוצה, והתנאי עם האפסילון נותן את המינימליות של M. אם הוא לא היה מתקיים, אז M-e היה חסם עליון קטן יותר. זה נכון למשל לגבי <math>tg(\frac{10}{1+x^2})</math> שאינה רציפה במ"ש אבל הפונקציה <math>tg(\frac{1}{1+x^2})</math> כן רציפה במ"ש
==שאלה==
לגבי רבמ"שהאם הפו' 1 חלקי n רציפה בקטע [0, יש משפט שאומר שפונקציה רבמ"ש ב(a,b1) אם היא רציפה בו ויש לה גבולות בצדדים. הכוונה היא לגבולות חד צדדים נכון? כלומר צורבמ"ל שיש גבול בa+ וb-ש?
===תשובה===
ראה שאלה 4.11 (זהה) ושאלות דומות בדף... לפי ההוכחה רציפה שם אפשר אכן להסיק שאם זה צד סופי אז , ברור, זה גבול חד צדדיפונקציה רציפה חלקי רציפה, למשל הפונקציה שורש x שאין לה גבול שמאלי כלל באפסכאשר הפונקצה במכנה שונה מאפס.
היא אינה רציפה שם במ"ש כי היא אינה חסומה שם. ופונקציה שרציפה במ"ש על קטע <s>סגור</s> חסומה בו.:אבל זה לא קטע סגור, הוא חצי פתוח O:::שגיאה שלי, הכוונה הייתה לקטע '''חסום''' ולא סגור. פונקציה רציפה במ"ש על קטע '''חסום''' חסומה בו.:::זאת אומרת שהפעם היחידה שאנחנו צריכים ממש להפריך את הרבמ"ש שלא ע"י משפט, זה כשהיא רציפה והגבול באינסוף או מינוס אינסוף אינו קיים?::::לא. לפני שנייה הייתה דוגמא של coslogx תודה רבה :) ===שאלה=הוכחת משפט ערך הביניים==במייזלר יש הוכחה שמשתמשת בטענת עזר שקשורה בחיתוך עם ציר ה-x של הפונקצייה. למה לא לפשט את זה להוכחה כזו (האם היא תקינה?):תהי an סדרה f רציפה ב-[a,b], אזי אם <math>f(a)<y<f(b)</math> נבנה סדרת קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך שקיים אפסילוןש- <math>f(a_n) \le y \le f(b_n)</math> , כאשר <math>I_1=[a,b], I_n=[a_n,b_n]</math>, ו-<math>c_n</math> מוגדרת: <math>c_n=0 עבורו קיים n0 כל .5(a_n+b_n)</math>, כך שאם m<math>f(c_n)\le y</math> נגדיר <math>I_{n+1}=[c_n,b_n]</math>, ואחרת <math>I_{n+1}=[a_n,c_n]</math>n0 אזי . לפי קנטור קיימת נק' יחידה <ammath>x_0</math> באמצע כך ש-an<math> גדול שווה אפסילון. lim(הסימן הזה מייצג ערך מוחלטa_n).צ"ל כל תת סדרה =lim(b_n)=x_0</math> , ובגלל הרציפות של an מתבדרת.זה לא בדיוק קריטריון קושי להתכנסות f נקבל ש- <math>f(בצורת השלילהa_n)</math> ו- כאילו- לפי הנתון ולפי קריטריון קושי an מתבדרת, ולכן כל תת סדרה שלה שואפת לאותו גבול ולכן גם מתבדרת<math>f(b_n)</math> שואפים להיות y. אבל זה נראה לי קל מידי. איפה הקאצ'?
===תשובה===
שאין אף משפט שאומר שאם סדרה מתבדרת כל תת סדרה שלה "שואפת לאותו גבול". הרי זה דבר והיפוכו... אם היה נתון מתכנסת במובן הרחב זה היה סיפור אחרזו הוכחה נכונה, אמנם חסרת כמה פרטים, אבל זה לא נתוןנכונה.
בוודאי סדרות שיש להן גבולות חלקיים שונים מתבדרות ואילו יש להן תתי סדרות מתכנסות ממש מההגדרה של גבול חלקי==שאלה==ארז באחת השאלות למעלה אמרת:"אפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש."
דבר נוסףאבל כפי שמישהו מעלייך אמר, השלילה של קושי אומרת קיים אפסילון, כך ש'''לכל''' n0 קיימים זוג m,n>n0 כך השמרחק בינהם גדול אז sin רציפה במידה שווה אפסילון. הניסוח למעלה הוא שונה, ויש להתייחס לכך בהתאם.בכל R ואין לה גבול באין-סוף
==רציפות במ:באיזה מובן אינסוף הינו "ש==*אני יודע ש- <math>xsin\frac{1}{x}</math> אינה רציפה במצד סופי"ש (כי היא אינה רציפה - היא לא מוגדרת ב-x=0), אבל אם למשל הייתי מגדיר את אותה פונקצייה עבור x שונה מאפס, וכאשר x=0 ערך הפונקצייה יהיה 0 - היא כן הייתה במ"ש, נכון? כי גבול הפונק' מימין ומשמאל ב-x שואף ל-0 הוא אפס, וכן הגבולות שלה באינסוף ובמינוס אינסוף קיימים וסופיים - f=1.?
*איך מוכיחים / מפריכים רציפות במידה שווה של : <math>f(x)=x^\frac{1}{3}</math>:אופס, הלחץ מהמבחן עושה את שלו..
===תשובה===:: אם כבר הגענו לנושא הזה::: א) אין אריתמטיקה בין פונקציות רבמ"ש נכון?, זו אי רציפות סליקה ולכן ניתן להפוך אותה לנקודת רציפות עלדוגמא כפל פונ' שהן רבמ"י החלפת הערך בנקודה לגבול שלה בנקודה ש (במקרה זה אפס). ואז המחליפה הינה פונקציה רציפה על כל הממשייםנגיד בקטע [a, עם גבולות בפלוס מינוס אינסוף ולכן היא רציפה במb]) לא יהיה בהכרח רבמ"ש.נכון?:: ב) איך מוכיחים ש-sin רבמ"ש ע"פ הגדרה (בלשון דלתא ואפסילון)? (מה הטריק השם, איזה איקסים לוקחים?)
:ארז, הפונקציה הנ"ל רציפה במ"ש בקטע הפתוח (0,אינסוף) נכון?.. כי קיים גבול מימין ב0.. (אם מדובר בקטע סגור כמובן שלא כי לא ניתן לדבר על רציפות כשהפונק' לא מוגדרת..)
זו פונקציה רציפה במ"ש. ניתן להוכיח את זה באמצעות הנוסחא <math>a^3-b^3 = ==תשובה===א. יש חצי אריתמטיקה. כפל אין (a-bx כפול x)(a^2+2ab+b^2)</math> תחשבו לבד איךאבל חיבור יש כמובן.:תודה רבה :)!בנוסף יש הרכבה, הרכבה של רציפות במ"ש הינה רציפה במ"ש
==שאלה==תהי f פונק' מונוטונית ב-(a,b), ו-<math>x_0</math> נק' אי רציפות של f בתחום זה. הוכח ש- <math>x_0</math> היא נק' אי רציפות מהסוג הראשון.הרעיון תרגיל כללי הוא שפתרתי את התרגיל (עבור מונוטוניות חלשה, הנחתי בהלהוכיח שכל פונקציה שרציפה על כל הממשיים ומחזורית הינה רציפה במ"כ שהיא מונוטונית עולה), וקבלתי שהיא נקודת אי רציפות סליקה, כלומר שהגבול הימני שווה לשמאליש. (הראיתי את סינוס זה לפי זה שלקחתי סדרה שואפת לאפס <math>x_n</math>, והראיתי שאם לכל <math>x_1>x_2</math> מתקיים <math>f(x_1)</math> גדול או שווה ל- <math>f(x_2(</math>, ולכן לכל x גדול מאפס בתחום ההגדרה מקרה פרטי של הפונק' מתקיים: <math>f(x_0+x)</math> גדול או שווה ל- <math>f(x_0-x)</math>, בפרט עבור סדרה מונוטונית יורדת וחיובית השואפת לאפס שנציב במקום xהמשפט הגדול הזה. קבלנו ש:בצורה דומה <math>fe^{(x_0-x_nsinx)\le f(x_0-x_{n+1^2})\le f(x_0+x_{n+1})\le f(x_0+x_n)</math>, ולכן לפי הלמה של קנטור קיימת נק' יחידה ביניהם ששניהם שואפים אליה (הכוונה ל- <math>f(x_0-x_n), f(x_0+x_n)</math>), ולכן קיים גבול מימין וגבול משמאל לפי היינה שהוא c, וזו נק' אי רציפות סליקההינה רציפה במ"ש למשל..
מה לא נכון בהוכחה שלי? דרך אגב:: ב-ב' זה בגלל ש-sin רציפה בקטע סגור, האם השתמשתי נכון בלמה ואז היא רבמ"ש בו, ובעצם בגלל שהיא מחזורית אז זה מעיין איחוד אין סופי של קנטוראותו הקטע נכון?
===תשובה===מה שלא נכון, והוא נקודה קריטית כמובן בלמה של קנטור, מדובר על סדרה של קטעים סגורים מוכלים זה בזה שובדוגמא שנתת - איך מוכיחים שהפונ'''אורכם שואף לאפס'''. אחרת, לפי ההוכחה שלך, גם 3=4 כי 3 קטן שווה ל4, אזי לפי הלמה של קנטור הם שווים (תסתכל על ההוכחה שלך ותראה שזה אותו דבר...).הזאת מחזורית?
אי הרציפות '''יכולה''' להיות סליקה, למשל קח את הפונקציה x^2/x היא מונוטונית עם נקודת אי רציפות סליקה. אבל היא בהחלט יכולה להיות מהמין השני, לדוגמא <math>\frac{x}{|x|}</math>.
:::לכל פונקציה מחזורית זה נכון. צ"ל להוכיח את זה במדויק, אבל מה שציינת זו אכן הדרך.
::: פשוט מציבים <math>x+2\pi k</math> ורואים מיידים שזה שווה לערך של x לכל x
רמז להוכחה הנכונה: סדרה מונוטונית וחסומה:::אוקי, תודה :)==שאלה==שני דברים:א) צריך להוכיח במבחן שפונקציה רציפה ומחזורית היא רבמ"ש בכל פעם שמסתמכים על זה? אפשר לתת כאן הוכחה ליתר ביטחון?ב) ארז, מה ניתן לומר עליהאתה יכול להעלות פתרונות לשאלות אתגר?מחר (חמישי) המבחן ומעניין אותי לדעת איך לפתור את השאלה שקשורה לקורסים אחרים...
:אני מכיר את הגרסא הזו של הלמה של קנטור (הגרסא לקטעים סגורים), אבל יש גם גרסא לסדרות, שעליה הסתמכתי: אם a_n, b_n סדרות מונוטוניות המקיימות:
<math>a_n \le a_{n+1} \le b_{n+1} \le b_n</math> וכן הגבול של <math>a_n-b_n</math> שווה לאפס, אזי קיים מספר יחיד בין שתי הסדרות ששתיהן שואפות אליו.
הבנתי את רעיון ===תשובה===אני לא יודע על מה מותר או אסור לכם להסתמך. אבל ההוכחה של התרגיל, הרעיון הוא להראות שקיים גבול מימיןהולכת ככה: אתה מחלק את כל הממשיים לקטעים באורך המחזוריות, וקיים גבול משמאל, וברור שהגבול מימין גדול או שווה לגבול משמאל (לפי הרעיון שלסדרה מונוטונית וחסומה יש גבול)על כל קטע סגור וחסום הפונקציה רציפה במ"ש. עכשיו אני , כל שתי נקודות מספיק קרובות יכולות להיות במצב אחד מבין שזו אי רציפות סליקה שניים: או אי רציפות ממין ראשון (תלוי אם הגבולות שווים ששתיהן באותו קטע, או לא)שהן בקטעים חופפים. לכן נחלק גם את הממשיים לקטעים באורך פעמיים המחזוריות, אבל עכשיו רק מעניין אותי לדעת איפה הטעות שלי בהבנת הלמה וגם שם הפונקציה רציפה במ"ש. ולכן ניקח את הדלתא המינימלי בין זה של קנטור לסדרותפעמים הקטע וזה של הקטע, וכל שתי נקודות שקרובות עד כדי הדלתא הזה, יהיה קרובות עד כדי האפסילון. תודה!!!
:ציטוט שלך '''"וכן הגבול של <math>a_n-b_n</math> שווה לאפס"''' זה מה שאתה אני אשתדל להעלות פתרונות, לא מוכיח ב"הוכחה" שלך למעלה.בטוח שאני אספיק מלאים, אבל לפחות אני אתן את העיקר
==שאלה==סדרה חיובית שהגבול שלה הוא 0 היא לאו דווקא מונוטונית, נכון?נכון. תסתכל על גרף שהוא כמו המכשיר שבודק דופק בבית חולים, רק תעשה שהקווים ישאפו לאפס...:קח סדרה כזו: <math>a_n=\frac{1}{n}</math> עבור n שלא מתחלק ב-3, ו- <math>a_n=\frac{2}{n}</math> עבור n שכן מתחלק ב-3.
==שאלה==ארז איך מוכיחים ש <math>\frac{x}{e^x+1}</math> רבמ"ש?:היא לא רבמ"ש, אמנם כשהיא שואפת לאינסוף יש לי שאלה על לה גבול שאני מנסה למצוא אבל משום מה יש שלב אחד שלכאורה נראה לי נכון והוא 0, אבל כשתשאיף אותה למינוס אינסוף היא תשאף למינוס אינסוף.::המשפט בבדיקת אינסוף ומינוס אינסוף הוא לאאם"ם, אלא רק כיוון אחד.היא אפילו כן רבמ"ש, כי היא רבמ"ש בצד החיובי של ציר הx, ובצד השלילי הוא מתנהג כמו x שהוא לינארי ולכן רבמ"ש. (לא הוכחה פורמלית)נתונה הפונקציה:::אפשר בבקשה הוכחה פורמלית<math>(p*sin(::::צודק ברעיון של הבדיקה של האינסוף, אבל לא הבנתי למה אתה אומר שבצד השלילי הוא מתנהג כמו x)לינארי -sinהוא הרי שואף למינוס אינסוף בצורה קיצונית, יותר מהר מכל פונקצייה אחרת (p*xאם לא הייתי יודע שזה מוגדר הייתי בטוח שזו אסימפטוטה))/.:::::לא, כי במינוס אינסוף המכנה שואף ל1 והמונה הוא x. כלומר ככל שהוא מתקרב למינוס אינסוף, הוא מתקרב (cos(xשואף)לx.:::::בנוסף, ההוכחה הפורמלית רק אפשרית ישירות מההגדרה עם אפסילון ודלטא.:::::: רגע, אז אפשר לחלק את זה לשני קטעים אפס עד איןסוף ומינוס אינסוף עד אפס ולהגיד שבראשון היא רציפה במ"ש בגלל גבולות בקצוות, ובשני היא מתנהגת כמו הגרף של X, ואז רק נותר להראות מה קורה אם לוקחים X1 מקטע אחד ו-cosX2 מהקטע השני?:::::::בעקרון כן, אבל זה לא כל כך פורמלי. הכל מסתמך על זה שאם פונקציה רבמ"ש בשתי קטעים אז היא רבמ"ש באיחוד שלהם. זה נראה נכון הגיונית, אבל אני לא בטוח שמותר להשתמש בזה במבחן.::::::::אבל בגלל זה אמרתי שרק צריך לבדוק מה קורה אם X1 מהקע הראשון וX2 מהקטע השני -זאת הבדיקה של האיחוד. אבל האם יש "מבחן השוואה" לרציפות במ"ש? כי אם לא אז איך אני יכול להגיד שמתחת ל-0 הפונ' מתנהגת כמו X? הרי היא מתנהגת בין X/2 ל-X (p*xאמנם שתיהן רציפות, אבל בגלל זה שאלתי על מבחן ההשוואה))</math>...
כאשר X שואף ל-0::::::::: (מישהו אחר) ארז קראתי את מה שנכתב פה, אתה יכול להגיד בקצרה מהי הדרך לומר שזה אכן רבמ"ש (או להפריך את זה..)?:::::::::: אני לא ארז, אבל שוב: אפשר להוכיח ישירות לפי הגדרה עם אפסילון ודלטא.
כאשר p הוא פאי, פשוט לא ידעתי איך לכתוב את זה.
פירקתי את השבר לשני שברים בצורה הבאה: כל מחובר של המונה לבדו עם המכנה :::::::::: אני שוב לא בטוח איך הכוונה לפתור את השאלה, כי יש דרכים בעזרת נגזרות (חיבור שברים עם אותו מכנה הוא שבר עם אותו מכנה כמו של השניים המקוריים כאשר מחברים את המונים שלהםששאלו באתר, אם עדיין הנגזרת חסומה הפונקציה רציפה במ"ש) אבל לא הבנת למדנו את כוונתי)המשפטים האלה, לכן אני לא יודע מאיפה השאלה ובאיזה שיטה צריך לפתור...
ואז בצד אחד היה לי sinx חלקי X וזה שווה 1.== תודה! ==בצד שני היה לי sinpx חלקי X אז פשוט כפלתי וחילקתי ב-P ואז בגלל ש-X שואף ל-0ארז, גם PX שואף לאפס מה שאומר שגם sinPX חלקי PX שואף ל-1.אמרנו את זה כבר בלינארית, אבל אתה ממש בן אדם מדהים! לא הייתי מצפה מהמתרגל הכי טוב שיעזור לקבוצה בקורס שהוא לא מלמד, ובטח ובטח לא בכל כך מסירות! תודה רבה על כל העזרה והתמיכה (והאתגרים :P) והלימוד המצויין! בבקשה תתרגל אותנו אינפי 2! אין לי (ולכולנו) מילים להודות לך!
ואז כביכול איך להגיד את זה שיינר, אם היית וקטור, לא היה יוצא 0 אפשר לנרמל אותך כי שני השברים מצמצמים אחד את השניאתה פשוט לא נורמלי!אם היית פונקציה, היית שואף לאינסוף בכל סביבה של כל נקודהאם היית קטע, היית כל הישר.
הבעיה היא במה שאמרתי אם היית מצחיק אחי אולי ההיתי צוחק*ואם לא היה לך כזה קטן אולי לא היית צריך לרדת על sinpx ו-PX אחרים בשביל לצאת גבר, אחי ;)בוא בוא תסביר את עצמך כי בדקתי במחשבון ושם זה נתן תוצאה אחרתוואלה לא הבנתי ..*עזוב, עזוב, אי הבנה, זה הכל
לכן רציתי לדעת איך לפתור את זה באמת. :: ארז כל הכבוד! אבסורד שאתה המתרגל שהכי עזר לנו בקורס הזה:: אני גם מעדיף שתתרגל אותנו באינפי 2:: בסופו של דבר הוא כן מתרגל (של קבוצה א') :)
תודה== הכרזה ==יש ציונים!!!
===תשובה===
sinpx/px אכן שואף לאחד כאשר x שואף לאפס. קל לראות את זה לפי היינה. אם x_n סדרה ששואפת לאפס אזי גם x_n/p סדרה ששואפת לאפס, פשוט תציב בפונקציה ותקבל שבזכות שsinx/x שואף לאחד, שגם הפונקציה הזו על הסדרה הנ"ל שואפת לאחד. (לא ניסחתי מדויק, אני אשאיר לך לתקן את הפערים).
== שאלה ברציפות במידה שווה ==
שלום, רציתי הוכחה בבקשה לתרגיל ברציפות במידה שווה.
מצטער אבל לא ממש הבנתי איך התשובה שלך קשורה לשאלה שליהאם איקס כפול סינוס איקס, רציפה במ"ש בקטע בין מינוס אינסוף לאינסוף..
במחשבון יוצא שהפונ' שואפת ל-1.047 (וממש המספר הזה, לא 1)תודה רבה!!
אני אכתוב לך את מה שעשיתי ואני מקווה שתצליח להסביר לי מה היה לא נכון:===תשובה===קח 2 סדרות<math>x_n = 2\lim_{x\rightarrow 0}pi n</math> ו <math>y_n = \frac{1}{n} + 2\pi sinn</math>. ברור שההפרש בינהן שואף לאפס, אבל <math>f(xy_n)-sinf(x_n) = (\frac{1}{n} + 2\pi xn)sin(\frac{1}{x(cos(xn})-cos(</math> אבל הביטוי הזה שואף ל<math>2\pi x))}</math>ולכן בוודאי גדול מקבוע שגדול מאפס (למשל אחד) החל משלב מסויים...
::תודה רבה ארז! אתה תותח!
זה == שאלה בקשר למשפט על רציפות במידה שווה ל==קראתי כאן וגם בהרצאה משפט שמדבר על:פונקציה שרציפה בקטע (a,b) (כאשר a ,b או שניהם הם אינסוף או מינוס אינסוף), אז אם הגבולות בהם קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במידה שווה.אם יש לי קטע פתוח בין 0 לאינסוף, ופונקציה של (סינוס של איקס) חלקי איקס בריבוע, ראיתי שהוא בודק את הגבולות באינסוף וב0 מימין, אבל בדוגמא אחרת, של סינוס של אחד חלקי איקס, בין אחד לאינסוף, הוא בדק רק את הגבול כשאיקס שואף לאינסוף.למה הוא לא בדק את הגבול כשאיקס שואף לאחד מימין? כי הפונקציה מוגדרת באחד ולכן לא צריך לבדוק את זה? (ולעומת זאת בדוגמא הראשונה, כשאיקס שווה לאפס אז זה תחום ההגדרה ולכן צריך כן לבדוק?).ושאלה אחרונה בקשר למשפט שאמרתי, בהרצאה הוא לא ציין שa או b חייבים להיות אינסוף, האם זה נכון גם כשהם מספרים ממשיים?תודה רבה!!
<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\pi sin(x)}{x(cos(x)-cos(\pi x))}-\frac{sin(\pi x)}{x(cos(x)-cos(\pi x))}</math>
ששווה ל:===תשובה===<math>sin(1/x)</math> רציפה באחד ולכן ברור שהגבול שם קיים ואין צורך בבדיקה נוספת. כאשר היא לא רציפה (מסיבה של תחום הגדרה או כל סיבה אחרת, אז יש לבדוק מה הגבול.
כן, כי אם f רציפה בקטע הפתוח (a,b) ויש לה גבולות חד צדדים בקצות הקטע, אזי '''לפי הגדרה''' f רציפה בקטע הסגור [a,b]. ואז '''לפי משפט''' f רציפה בו במ"ש.
<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\pi}{cos(x)-cos(\pi x)}-\frac{\pi sin(\pi x)}{\pi x(cos(x)-cos(\pi x))}</math>* הבנתי לגמרי עכשיו, תודה ענקית!! :]
ששווה ל:== שאלה בנושא רציפות במידה שווה ==רציתי לדעת בבקשה איך מוכיחים שהפונקציה קוסינוס של שורש של ערך מוחלט של X רציפה במידה שווה בR. אולי להפריד ל2 מקרים כשX>0 וכשX<0.. תודה רבה!!!!
===תשובה===
כן להפריד למקרים, ואז זו הרכבה של רציפות במ"ש. את שורש איקס אפשר להוכיח לפי ההגדרה באמצעת כפל בצמוד.
* הבנתי, תודה שוב ושיהיה לך לילה טוב..
<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\pi}{cos(x)-cos(\pi x)}-\frac{\pi}{(cos(x)-cos(\pi x))}</math>== משפט הערך הממוצע ==שלום, רציתי לדעת בבקשה אם נלמד משפט הערך הממוצע בכיתה..? תודה רבה :]
===תשובה===
בהתחשב בעובדה שאינפי 2 כבר התחיל ובמסגרתו למדנו המשפט הזה, השאלה הזו קצת מפתיעה.
וזה אמור להיות 0 זהותית משפט הערך הממוצע הינו משפט לגרנז' ולמדנו אותו בתחילת סימסטר ב' (כלומר ממש 0, לא שואף ל-0ולא כחלק מסמיסטר א'...)
==שאלה==רציתי לבדוק אם * לא הסברתי טוב, אני צודק:דורשים למצוא נקודות אי רציפות וסיווגן בפונקציות הבאות:יודע שהוא נלמד, השאלה אם הוא יכול להיות במבחן מועד ב' באינפי 1 אבל הבנתי שלא.. תודה על התשובה..
1) <math>cos(x)/|cos(x)|</math>
2) <math>e^== תרגיל ברציפות במידה שווה ==שלום ארז, יש לי תרגיל שלא הצלחתי לפתור ואני ישמח אם תעזור לילבדוק רציפות במידה שווה של (x*cos(-1/x^2בקטע שבין (אינסוף, 0) / 2+sin.לעניות דעתי צריך להפריך.ועוד שאלה קטנה בקשר להפרכה: צריך לקחת שתי סדרות כך שאחד התנאים הוא שהחיסור ביניהן כשמשאיפים לאינסוף ישאף ל-0. אם הוא שווה ל-0 ולא שואף ל-0, האם התנאי הזה התקיים? (2/xכמובן שצריך לבדוק מה קורה כשמציבים את הסדרות בפונקציה אך אני מדבר רק על התנאי הראשון)</math>.אודה לך על תשובתך!
בשתיהן יצא לי שאפס היא אי רציפות סליקה.
זה נכון?
===תשובה=== בראשון אם החיסור בינהן שווה אפס '''אינה''' נקודת אי רציפות בכלל... יש כמובן נקודות אי רציפות אחרותאז זה אותה סדרה, והן תמיד ממין ראשון. שים לב שהפונקציה הזו היא פשוט אחדואז בוודאי שהתנאי על כך שההפרש בין הפונקציות מופעלות על הסדרות צריך להיות גדול מקבוע, מינוס אחד או לא מוגדרתיתקיים.
ודווקא נראה לי שצריך להוכיח, כי הנגזרת חסומה. אני אנסה לפתור את זה מחר.
= תודה מקרב לב
בשני זה נכון, וזו אכן נקודת אי הרציפות היחידה==2 הגדרות ו2 שאלות ברבמ"ש==היי ארז מה נשמע? יש לי בבקשה כמה שאלות..
כן1) בהגדרת היינה בורל במבחן, בראשון התבלבלתימספיק לרשום: "S קומפקטית אם ורק אם היא חסומה וסגורה", זה מספיק או שצריך להסביר גם מה זה קומפקטית..תודה רבה!?
2) אם יש שאלה לנסח את משפט בולצ'אנו ויירשטראס, איזה מהם? עבור סדרות, קבוצות או פונקציות? או מה שאני בוחר?
==שאלה==אפשר בבקשה עזרה בתרגיל? צריך לבדוק האם y=cos log x 3) רבמ"ש בקטע הפתוח שבין 0 : איקס כפול קוסינוס של איקס בין מינוס אינסוף לאינסוף.אני לא ממש רואה את זה... (אין גבול בשאיפה ל0+, אז ניסיתי להראות עבטח להפריך) 4) רבמ"י שתי סדרות שואפות ל0 שאין רבמשש: איקס כפול לוג של איקס בין אפס לאינסוף (לפי דעתי צריך להפריך כי מבחינת אינטואיציה, לא ממש הולך לי.לוג איקס שואף ממינוס אינסוף ואם נכפיל באיקס אז זה עוד יותר מינוס אינסוף..)
אלה השאלות האחרונות שאני אשאל.. מקווה שיהיה לך זמן.. תודה רבה רבה רבה, אם נצליח זה רק בזכותך תאמין לי.. ואם להגיד את האמת אז חבל שלא הבנתי את זה בתחילת סמסטר א', העיקר שעכשיו אני מבין.. תודה שוב :]
===תשובה===
מה לא הולך? <math>x_n= e^{\pi - 2\pi n}</math> 1, <math>y_n=e^{-2 \pi n}</math>. שתי הסדרות שואפות לאפס, ולכן המרחק ביניהן שואף לאפס. אבל הפונקציה עליהן שווה לאחד, או מינוס אחדאלה שאלות למרצה.
3. זה בדיוק כמו xsinx שעניתי עליו
(4. זה לא כותב השאלה) אפשר פשוט לומר שהגבול באפס לא קייםלהפריך, לכן הפונקציה לא רבמ"ש ב- אפשר עם שתי הסדרות <math>(0,n + \frac{1)}{n}</math> וכמובן שהיא לא רבמ"ש ב- ו <math>n</math>. צריך לשחק קצת עם הlog ובעיקר לשים לב שזו הפונקציה <math>xlogx = log(0,\inftyx^x)</math>, לא?וההפרש בין שני לוגים הוא לוג של החלוקה.:(זה לא ארז) * * תודה רבה!! אני חושב שאסור, כי אז לפי אנסה את מה שאתה אומר בגלל שלא קיים לsin x גבול באינסוף אז היא לא רבמששאמרת..שיהיה בהצלחה לכל מי שניגש.. וארז, תודה על הכל!!
::בכל מקרה, הדרך היחידה להוכיח שהגבול אינה קיים היא באמצעות הסדרות, כך שלא חסכת עבודה. באופן כללי, אפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש. זה נכון כי יש 2 אופציות: או שיש 2 סדרות ששואפות לצד הסופי (נגיד a) והפונקציה שואפת עליהן לגבולות שונים (וזה אוטומטית יוצר סתירה לרציפות במ"ש), או שיש סדרה ששואפת לאינסוף ואז הפונקציה אינה חסומה על קטע חסום, ולכן אינה רציפה במ"ש. אבל כמו שאמרתי, כך או כך זה דורש את בניית הסדרות.
:לאדע, לא עולה לי כל כך מהר הדוגמאות להפרכה. תודה בכל מקרה! יש לי עוד ==שאלה ממש קטנה, אני מנסה להוכיח שכשX שואף ל0, אז ln sin x / ln x שואף ל1. ==:האם מותר לי להגיע לזה באמצעות המשפט של sin x / x =במועד ב' באינפי 1 , ניתן להשתמש בכלל לופיטל? כי אז אני מכפיל בX, מפעיל LN על שני האגפים, מחלק בLN X ומקבל את הדרוש... תודה לעונה!
אסור. אין משפט שsinx/x=1 יש משפט שאומר שזה שואף לאחד... אבל לכפול בx זה כמו לכפול באפס וזה בוודאי אסור (אריתמטיקה של גבולות לא עוזרת פה). אפשר לפתור באמצעות כלל לופיטלבטוח באיזה קורס, כמו שאמרתי אני אבל אם לא יודע אם למדתם את זה בחומר או באינפי 1 לא.ניתן להשתמש בזה במבחן