=אינפי ' 1 לתיכוניסטים= כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1. אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס אינפי ' 1 - סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן.
=ארכיון=
[[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 2|ארכיון 2]]
=תרגילי אתגר באינפי'= * מצא סדרה כך שקבוצת הגבולות החלקיים שלה היא כל הממשיים* מצא פונקציה רציפה בקטע <math>(0,1]</math> שאינה חסומה בו מלעיל ואינה חסומה בו מלרע* מצא פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף סביבה של אפס0* מצא פונקציה שאם תגזור אותה תקבל tg<math>\tan</math>* הוכח/הפרך : הגבול של הסדרה <math>\sin(n)</math> אינו קיים
===תרגיל אתגר מאתגר במיוחד===
תרגילי האתגר הנ"ל מאתגרים וטריקיים אך ניתן לפתור אותם בעזרה הידע שלכם מקורס אינפי ' בלבד. את האתגר הבא צריך לפתור בעזרת ידע מקורסים אחרים שלמדתם בנוסף: (קרדיט ללואי שפתרה את זה)
*האם קיימת פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף נקודה בקטע <math>[0,1]</math> ? אם כן מצא אותה, אם לא הוכח שלא.
(שוב, זה תרגיל מאד קשה, אל תרגישו רע אם אתם לא מצליחים לפתור אותו)
===פתרונות לאתגרים===
'''[[פתרונות לאתגר אינפי 1 תיכוניסטים תש"ע|פתרונות]]'''
=תרגילים + פתרונות=
'''[[מדיה:09Infi1_Sol1.pdf| תרגיל 1]]'''
'''[[מדיה:09Infi1_Sol2.pdf| תרגיל 2]]'''
'''[[מדיה:09Infi1_Sol3.pdf| תרגיל 3]]'''
'''[[מדיה:09Infi1_Sol4.pdf| תרגיל 4]]'''
'''[[מדיה:09Infi1_Sol5.pdf| תרגיל 5]]'''
'''[[מדיה:09Infi1_Sol6.pdf| תרגיל 6]]'''
'''[[מדיה:09Infi1_Sol7.pdf| תרגיל 7]]'''
'''[[מדיה:09Infi1_Sol8.pdf| תרגיל 8]]'''
'''[[מדיה:09Infi1_Sol9.pdf| תרגיל 9]]'''
=שאלות=
==מהבוחן==
מישהו זוכר איך מראים שגבול הסדרה (<math>\sqrt[n]({\sqrt[n]({n)}-1 }</math> הוא 1 ...?כאשר (<math>\sqrt[n]({x }</math> זהו השורש ה-<math>n</math>-י של <math>x </math> .ובלינארית (מתוך מבחן של רון עדין), איך מראים שלמטריצות מתחלפות <math>A</math> ו- <math>,B</math> (ז"א ש-<math>AB=BA</math>) קיים ו"ע משותף...?
==שאלה==
יש לי שאלה על גבול שאני מנסה למצוא אבל משום מה יש שלב אחד שלכאורה נראה לי נכון אבל הוא לא.נתונה הפונקציה::<math>(\frac{p*\sin(x)-\sin(p*xpx))/}{x(\cos(x)-\cos(p*xpx))}</math>כאשר <math>x</math> שואף ל-0
כאשר X שואף ל-0 כאשר <math>p הוא פאי, פשוט לא ידעתי איך לכתוב את זה=\pi</math> .
פירקתי את השבר לשני שברים בצורה הבאה: כל מחובר של המונה לבדו עם המכנה (חיבור שברים עם אותו מכנה הוא שבר עם אותו מכנה כמו של השניים המקוריים כאשר מחברים את המונים שלהם, אם עדיין לא הבנת את כוונתי)
ואז בצד אחד היה לי sinx חלקי X <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> וזה שווה שואף ל-1.בצד שני היה לי sinpx חלקי X <math>\frac{\sin(px)}{x}</math> אז פשוט כפלתי וחילקתי ב-P <math>p</math> ואז בגלל ש-X <math>x</math> שואף ל-0, גם PX <math>px</math> שואף לאפס ל-0 מה שאומר שגם sinPX חלקי PX <math>\frac{\sin(px)}{px}</math> שואף ל-1.
ואז כביכול היה יוצא 0 כי שני השברים מצמצמים אחד את השני.
הבעיה היא במה שאמרתי על sinpx <math>\sin(px)</math> ו-PX <math>px</math> כי בדקתי במחשבון ושם זה נתן תוצאה אחרת.
לכן רציתי לדעת איך לפתור את זה באמת.
תודה
===תשובה===
sinpx/<math>\frac{\sin(px אכן שואף לאחד כאשר )}{px}\xrightarrow[x שואף לאפס\to0]{}1</math> . קל לראות את זה לפי היינה. אם <math>x_n </math> סדרה ששואפת לאפס ל-0 אזי גם <math>\frac{x_n/}{p }</math> סדרה ששואפת לאפסל-0, פשוט תציב בפונקציה ותקבל שבזכות שsinx/ש- <math>\frac{\sin(x )}{x}</math> שואף לאחדל-1, שגם הפונקציה הזו על הסדרה הנ"ל שואפת לאחדל-1. (לא ניסחתי מדויק, אני אשאיר לך לתקן את הפערים).
אני אכתוב לך את מה שעשיתי ואני מקווה שתצליח להסביר לי מה היה לא נכון:
:<math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow 0to0}\left[\frac{\pi \sin(x)-\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math>
זה שווה ל:
:<math>\lim_{x\rightarrow 0to0}\left[\frac{\pi \sin(x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}-\frac{\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math>
ששווה ל:
:<math>\lim_{x\rightarrow 0to0}\left[\frac{\pi}{\cos(x)-\cos(\pi x)}-\frac{\pi \sin(\pi x)}{\pi x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math>
ששווה ל:
:<math>\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi}{\cos(x)-\cos(\pi x)}-\frac{\pi}{(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]=0</math>
<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\pi}{cos(x)-cos(\pi x)}-\frac{\pi}{(cos(x)-cos(\pi x))}</math> וזה אמור להיות 0 זהותית (כלומר ממש 0, לא שואף ל-0...)
===תשובה===
דבר ראשון, אסור בתכלית האיסור, להחליף באמצע התרגיל את חלק מהגבולות למספר אליו הם שואפים. אחרת <math>1 בחזקת אינסוף ^\infty</math> תמיד שווה 1 למרות שאנחנו יודעים שהוא יכול להיות e. ושוב, הייתי פותר את זה באמצעות כלל לופיטל, ולא בטוח איך אפשר אחרת.
אוקי, אז נניח שהייתי מכניס את ה-<math>\lim </math> גם לשבר השני..
אני עדיין לא מבין למה זה לא היה עובד
(ותודה שאתה ממשיך לענות לי למרות החפירה..)
:מה הכוונה מכניס <math>\lim </math> לשבר השני? אסור לך להחליף במספר, אתה נשאר עם אינסוף פחות אינסוף ולא מצליח לחשב. לא יהיה לך זהותית אפס0. אסור לך למחוק את <math>sinx/\frac{\sin(x)}{x}</math>
אז זה מה שאני לא מבין, למה אסור למחוק את <math>sinx/\frac{\sin(x)}{x}</math> הרי זה אמור להיות 1 כש-X שואף ל-0<math>x\to0</math>
:כמו שאמרתי, לפי ההגיון הזה, גם <math>\left(1+\frac{1/}{n}\right)^n=1</math> כי <math>1+\frac{1/}{n }\rightarrow 1to1</math>. במקרה זה, יש לך <math>1\cdot \infty - \infty</math> אסור להשתמש באריתמטיקה של גבולות במקרה זה. דוגמא נגדית פשוטה יותר:<math>\frac{n+1}{n}\cdot n - \frac{n-1}{n}\cdot n</math> בשיטה שלך זה אפס 0 זהותית. במציאות, זה שווה בדיוק ל22.
הבנתי. תודה רבה! (וסליחה על החפירה הארוכה, שוב)
==שאלה==
רציתי לבדוק אם אני צודק:דורשים למצוא נקודות אי -רציפות וסיווגן בפונקציות הבאות:
1) <math>\frac{\cos(x)/}{|\cos(x)|}</math>
2) <math>\frac{e^({-\frac{1/}{x^2) / }}}{2+\sin\left(\tfrac{2/}{x}\right)}</math>
בשתיהן יצא לי שאפס היא 0 אי -רציפות סליקה.זה נכון?
===תשובה===
בראשון אפס 0 '''אינה''' נקודת אי -רציפות בכלל... יש כמובן נקודות אי -רציפות אחרות, והן תמיד ממין ראשון. שים לב שהפונקציה הזו היא פשוט אחד1, מינוס אחד 1- או לא מוגדרת.
בשני זה נכון, וזו אכן נקודת אי -הרציפות היחידה.
כן, בראשון התבלבלתי..
תודה רבה!
==שאלה==
אפשר בבקשה עזרה בתרגיל? צריך לבדוק האם <math>y=\cos \big(\log (x )\big)</math> רבמ"ש בקטע הפתוח שבין <math>(0 לאינסוף,-\infty)</math> .אני לא ממש רואה את זה... (אין גבול בשאיפה ל0ל- <math>0^+</math> , אז ניסיתי להראות ע"י שתי סדרות שואפות ל0 ל-0 שאין רבמשרבמ"ש, לא ממש הולך לי...)
===תשובה===
מה לא הולך? <math>x_n= e^{\pi - 2\pi n}</math> \ , <math>\ y_n=e^{-2 \pi n}</math>. שתי הסדרות שואפות לאפסל-0, ולכן המרחק ביניהן שואף לאפסל-0. אבל הפונקציה עליהן שווה לאחד, 1 או מינוס אחד1-.
(זה לא כותב השאלה) אפשר פשוט לומר שהגבול באפס לא קיים, לכן הפונקציה לא רבמ"ש ב- <math>(0,1)</math> וכמובן שהיא לא רבמ"ש ב- <math>(0,\infty)</math>, לא?:(זה לא ארז) אני חושב שאסור, כי אז לפי מה שאתה אומר בגלל שלא קיים לsin x גבול באינסוף אז היא לא רבמשרבמ"ש...
::בכל מקרה, הדרך היחידה להוכיח שהגבול אינה קיים היא באמצעות הסדרות, כך שלא חסכת עבודה. באופן כללי, אפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש. זה נכון כי יש 2 אופציות: או שיש 2 סדרות ששואפות לצד הסופי (נגיד a) והפונקציה שואפת עליהן לגבולות שונים (וזה אוטומטית יוצר סתירה לרציפות במ"ש), או שיש סדרה ששואפת לאינסוף ואז הפונקציה אינה חסומה על קטע חסום, ולכן אינה רציפה במ"ש. אבל כמו שאמרתי, כך או כך זה דורש את בניית הסדרות.
= תודה מקרב לב
==הגדרת היינה בורל ושאלה 2 הגדרות ו2 שאלות ברבמ"ש==היי ארז מה נשמע?יש לי בבקשה כמה שאלות..
1) בהגדרת היינה בורל במבחן, מספיק לרשום: "S קומפקטית אם ורק אם היא חסומה וסגורה", זה מספיק או שצריך להסביר גם מה זה קומפקטית..?
2) אם יש שאלה לנסח את משפט בולצ'אנו ויירשטראס, איזה מהם? עבור סדרות, קבוצות או פונקציות? או מה שאני בוחר?
3) רבמ"ש: איקס כפול קוסינוס של איקס בין מינוס אינסוף לאינסוף.. (בטח להפריך)
4) רבמ"ש: איקס כפול לוג של איקס בין אפס לאינסוף (לפי דעתי צריך להפריך כי מבחינת אינטואיציה, לוג איקס שואף ממינוס אינסוף ואם נכפיל באיקס אז זה עוד יותר מינוס אינסוף..)
אלה השאלות האחרונות שאני אשאל.. מקווה שיהיה לך זמן.. תודה רבה רבה רבה, אם נצליח זה רק בזכותך תאמין לי.. ואם להגיד את האמת אז חבל שלא הבנתי את זה בתחילת סמסטר א', העיקר שעכשיו אני מבין.. תודה שוב :]
===תשובה===
1,2 אלה שאלות למרצה.
3. זה בדיוק כמו xsinx שעניתי עליו
4. זה להפריך, אפשר עם שתי הסדרות <math>n + \frac{1}{n}</math> ו <math>n</math>. צריך לשחק קצת עם הlog ובעיקר לשים לב שזו הפונקציה <math>xlogx = log(x^x)</math> וההפרש בין שני לוגים הוא לוג של החלוקה.
* * תודה רבה!! אני אנסה את מה שאמרת.. שיהיה בהצלחה לכל מי שניגש.. וארז, תודה על הכל!!
==שאלה==
במועד ב' באינפי 1, ניתן להשתמש בכלל לופיטל?
לא בטוח באיזה קורס, אבל אם לא למדתם את זה באינפי 1 לא ניתן להשתמש בזה במבחן