=אינפי ' 1 לתיכוניסטים=כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1. אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס אינפי' 1 - סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן.
כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי =ארכיון=[[אינפי 1לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 1|ארכיון 1]] [[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 2|ארכיון 2]] =תרגילי אתגר באינפי'=*מצא סדרה כך שקבוצת הגבולות החלקיים שלה היא כל הממשיים*מצא פונקציה רציפה בקטע <math>(0,1]</math> שאינה חסומה בו מלעיל ואינה חסומה בו מלרע*מצא פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף סביבה של 0*מצא פונקציה שאם תגזור אותה תקבל <math>\tan</math>*הוכח/הפרך: הגבול של הסדרה <math>\sin(n)</math> אינו קיים ===תרגיל אתגר מאתגר במיוחד===תרגילי האתגר הנ"ל מאתגרים וטריקיים אך ניתן לפתור אותם בעזרה הידע שלכם מקורס אינפי' בלבד. את האתגר הבא צריך לפתור בעזרת ידע מקורסים אחרים שלמדתם בנוסף: (קרדיט ללואי שפתרה את זה) *האם קיימת פונקציה מונוטונית שאינה רציפה באף נקודה בקטע <math>[0,1]</math> ? אם כן מצא אותה, אם לא הוכח שלא. (שוב, זה תרגיל מאד קשה, אל תרגישו רע אם אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס לא מצליחים לפתור אותו) ===פתרונות לאתגרים==='''[[פתרונות לאתגר אינפי 1 תיכוניסטים תש"ע|פתרונות]]''' =שאלות===מהבוחן==מישהו זוכר איך מראים שגבול הסדרה <math>\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}- סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן1}</math> הוא 1? כאשר (<math>\sqrt[n]{x}</math> זהו השורש ה- <math>n</math>-י של <math>x</math> . ובלינארית (מתוך מבחן של רון עדין), איך מראים שלמטריצות מתחלפות <math>A,B</math> (ז"א ש- <math>AB=BA</math>) קיים ו"ע משותף...? ==שאלה==יש לי שאלה על גבול שאני מנסה למצוא אבל משום מה יש שלב אחד שלכאורה נראה לי נכון אבל הוא לא. נתונה הפונקציה::<math>\frac{p\sin(x)-\sin(px)}{x(\cos(x)-\cos(px))}</math>כאשר <math>x</math> שואף ל-0 כאשר <math>p=\pi</math> . פירקתי את השבר לשני שברים בצורה הבאה: כל מחובר של המונה לבדו עם המכנה (חיבור שברים עם אותו מכנה הוא שבר עם אותו מכנה כמו של השניים המקוריים כאשר מחברים את המונים שלהם, אם עדיין לא הבנת את כוונתי) ואז בצד אחד היה לי <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> וזה שואף ל-1. בצד שני היה לי <math>\frac{\sin(px)}{x}</math> אז פשוט כפלתי וחילקתי ב- <math>p</math> ואז בגלל ש- <math>x</math> שואף ל-0, גם <math>px</math> שואף ל-0 מה שאומר שגם <math>\frac{\sin(px)}{px}</math> שואף ל-1. ואז כביכול היה יוצא 0 כי שני השברים מצמצמים אחד את השני. הבעיה היא במה שאמרתי על <math>\sin(px)</math> ו- <math>px</math> כי בדקתי במחשבון ושם זה נתן תוצאה אחרת. לכן רציתי לדעת איך לפתור את זה באמת.
שאלה בקשר לשיעורי בית:
האם צריך להוכיח שמינוס שורש שתיים הוא אי רציונאלי וששתיים בחזקת חצי הוא שורש שתיים.
בשאלה 3, כאשר נותנים דוגמה נגדית, צריך להוכיח מהו החסם העליון?
תודה
* תשובה : לא, ידוע ששורש שתיים הוא אי רציונלי, ולכן גם הנגדי לו אי רציונלי. בנוסף, גם ידוע ששתיים בחצקת חצי הוא שורש שתיים (אחרת מהו שורש?!). בשאלה 3 - אני נתתי דוגמא נגדית שיהיה קל למצוא את החסם העליון. אם מדובר בחלק מההוכחה אז כן (לדעתי)
-
==תרגיל 4, שאלה 1=תשובה===* <math>\frac{\sin(px)}{px}\xrightarrow[x\to0]{}1</math> . קל לראות את זה לפי היינה. אם אני יכול למצוא ביטוי מפורש <math>x_n</math> סדרה ששואפת ל-0 אזי גם <math>\frac{x_n}{p}</math> סדרה ששואפת ל-0, פשוט תציב בפונקציה ותקבל שבזכות ש- <math>\frac{\sin(ולא רקורסיx) של איברי }{x}</math> שואף ל-1, שגם הפונקציה הזו על הסדרההנ"ל שואפת ל-1. (לא ניסחתי מדויק, האם מותר אני אשאיר לך לתקן את הפערים). מצטער אבל לא ממש הבנתי איך התשובה שלך קשורה לשאלה שלי. במחשבון יוצא שהפונ' שואפת ל-1.047 (וממש המספר הזה, לא 1) אני אכתוב לך את מה שעשיתי ואני מקווה שתצליח להסביר לי להשתמש בו?מה היה לא נכון:*האם הטענה הבאה נכונה: אם ביטוי א' קטן או <math>\lim\limits_{x\to0}\left[\frac{\pi\sin(x)-\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math> זה שווה לביטוי ב', אזי הגבול של ביטוי א' קטן או שווה לגבול של ביטוי ב'?ל:תודה רבה!!!:<math>\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi\sin(x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}-\frac{\sin(\pi x)}{x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math> ששווה ל::<math>\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi}{\cos(x)-\cos(\pi x)}-\frac{\pi\sin(\pi x)}{\pi x(\cos(x)-\cos(\pi x))}\right]</math>
==תרגיל 3, שאלה10==ששווה ל:בתור תלמיד בקבוצה של ראובן, אני לא למדתי גבולות של פונקציות טריגונומטריות. בכל זאת, אני לא חושב ש- :<math>n^2\lim_{x\to0}\left[\frac{\pi}{\cos(x)-81cos\cos(n!\pi x)</math> יכול לשאוף למינוס אינסוף. אם כבר, הכי נמוך שהוא מגיע זה 68.77379321867966}-\frac{\pi}{(הרצתי תוכנית ב\cos(x)-Java עד לערך המקסימלי של int, שהוא שתיים בחזקת 31 פחות אחד אם אני לא טועה, וזה הכי נמוך שקיבלתי\cos(\pi x). אז מדוע השאלה מבקשת שאוכיך עבור פלוס ומינוס אניסוף.)}\right]=0</math>
==סדרה חסומה?==אני וזה אמור להיות 0 זהותית (כלומר ממש 0, לא מוצא את ההגדרה המפורשת של קבוצה חסומהשואף ל-0. האם קובצה חסומה חסומה מלעיל ומלרע, או רק אחד מהם?..)
===תשובה===
לרוב הכוונה לחסומה גם מלעיל וגם מלרע (זו ההגדרה של חסומה)דבר ראשון, אסור בתכלית האיסור, להחליף באמצע התרגיל את חלק מהגבולות למספר אליו הם שואפים. אחרת <math>1^\infty</math> תמיד שווה 1 למרות שאנחנו יודעים שהוא יכול להיות e. ושוב, הייתי פותר את זה באמצעות כלל לופיטל, ולא בטוח איך אפשר אחרת.
==תרגיל 1 אוקי, אז נניח שהייתי מכניס את ה- שאלות==<math>\lim</math> גם לשבר השני..
*בשאלה 5 שצ"ל <math>A_n>=G_n</math> הצבתי לפי ההדרכה <math>b_i=\frac{a_i}{G}</math>, והגעתי למצב בו עליי להוכיח את אי השוויון הבא:<math>a_1+a_2+...+a_n>=G</math>איך אני מוכיח את הטענה? הנ"ל? האם מותר לי להעלות בחזקת n, מכיוון ששני האגפים בודאות חיוביים?עדיין לא מבין למה זה לא היה עובד
==תרגיל 2 - הודעה לתלמידי ד"ר ראובן כהן==תאריך הגשת התרגיל נדחה לשבוע הבא, יום ראשון ה-15/11(ותודה שאתה ממשיך לענות לי למרות החפירה..)
קצת מאוחר להודע :מה הכוונה מכניס <math>\lim</math> לשבר השני? אסור לך להחליף במספר, אתה נשאר עם אינסוף פחות אינסוף ולא מצליח לחשב. לא יהיה לך זהותית 0. אסור לך למחוק את <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> אז זה עכשיומה שאני לא מבין, למה אסור למחוק את <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> הרי זה אמור להיות 1 כש- <math>x\to0</math> :כמו שאמרתי, לפי ההגיון הזה, גם <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1</math> כי <math>1+\frac{1}{n}\to1</math> . במקרה זה, יש לך <math>1\cdot\infty-\infty</math> אסור להשתמש באריתמטיקה של גבולות במקרה זה. דוגמא נגדית פשוטה יותר: <math>\frac{n+1}{n}\cdot n-\frac{n-1}{n}\cdot n</math> בשיטה שלך זה 0 זהותית. במציאות, זה שווה בדיוק 2. הבנתי. תודה רבה! (וסליחה על החפירה הארוכה, שוב) ==שאלה==רציתי לבדוק אם אני צודק: דורשים למצוא נקודות אי-רציפות וסיווגן בפונקציות הבאות: 1) <math>\frac{\cos(x)}{|\cos(x)|}</math> 2) <math>\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{2+\sin\left(\tfrac{2}{x}\right)}</math> בשתיהן יצא לי 0 אי-רציפות סליקה. זה נכון? ===תשובה=== בראשון 0 '''אינה''' נקודת אי-רציפות בכלל... יש כמובן נקודות אי-רציפות אחרות, והן תמיד ממין ראשון. שים לב שהפונקציה הזו היא פשוט 1, 1- או לאמוגדרת. בשני זה נכון, וזו אכן נקודת אי-הרציפות היחידה. כן, בראשון התבלבלתי..תודה רבה! ==שאלה==אפשר בבקשה עזרה בתרגיל?צריך לבדוק האם <math>y=\cos\big(\log(x)\big)</math> רבמ"ש בקטע הפתוח <math>(0,-\infty)</math> . אני לא ממש רואה את זה... (אין גבול בשאיפה ל- <math>0^+</math> , אז ניסיתי להראות ע"י שתי סדרות שואפות ל-0 שאין רבמ"ש, לא ממש הולך לי...)
==שאלה בקשר לתרגיל בית מס' 2, שאלה 2==
בא', צריך להוכיח כל טענה לגבי חיבור, חיסור, כפל וחילוק של מס' רציונליים?או שמספיק להגיד אם זה מתקיים או לא?
===תשובה===
עדיף שתפריךמה לא הולך? <math>x_n=e^{\תוכיחpi-2\pi n}\ ,\ y_n=e^{-2\pi n}</math> . שתי הסדרות שואפות ל-0, ולכן המרחק ביניהן שואף ל-0. אבל הפונקציה עליהן שווה 1 או 1-. זה לא מאד ארוך ומסובך
==בתרגיל מספר 2==
שאלה 1 לא נכונה, זה לא מוכיח את זה!
*היא נכונה, שים לב שאחד המקרים מוכל בשני. כלומר אם אני אגיד לך:
<math>X>3</math>. הוכח: <math>X>2</math> לא תהיה לך בעיה לעשות את זה, נכון?
==לגבי מקסימום (מינימוםזה לא כותב השאלה) וחסם עליון אפשר פשוט לומר שהגבול באפס לא קיים, לכן הפונקציה לא רבמ"ש ב- <math>(תחתון0,1)==</math> וכמובן שהיא לא רבמ"ש ב- <math>(0,\infty)</math> , לא?:(זה לא ארז) אני חושב שאסור, כי אז לפי מה שאתה אומר בגלל שלא קיים לsin x גבול באינסוף אז היא לא רבמ"ש...
אני יכול להגיד בוודאות שמשהו הוא חסם עליון ::בכל מקרה, הדרך היחידה להוכיח שהגבול אינה קיים היא באמצעות הסדרות, כך שלא חסכת עבודה. באופן כללי, אפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש. זה נכון כי יש 2 אופציות: או שיש 2 סדרות ששואפות לצד הסופי (תחתוןנגיד a) אם הוכחתי שהוא מקסימום והפונקציה שואפת עליהן לגבולות שונים (מינימוםוזה אוטומטית יוצר סתירה לרציפות במ"ש)?, או שיש סדרה ששואפת לאינסוף ואז הפונקציה אינה חסומה על קטע חסום, ולכן אינה רציפה במ"ש. אבל כמו שאמרתי, כך או כך זה דורש את בניית הסדרות.
(:לאדע, לא עולה לי כל זאת בהנחה שיש באמת מקסימום או מינימום לקבוצהכך מהר הדוגמאות להפרכה.תודה בכל מקרה! יש לי עוד שאלה ממש קטנה, אני מנסה להוכיח שכשX שואף ל0, אז ln sin x / ln x שואף ל1.):האם מותר לי להגיע לזה באמצעות המשפט של sin x / x =1 ? כי אז אני מכפיל בX, מפעיל LN על שני האגפים, מחלק בLN X ומקבל את הדרוש... תודה לעונה!
אסור. אין משפט שsinx/x=== תשובה ===1 יש משפט שאומר שזה שואף לאחד... אבל לכפול בx זה כמו לכפול באפס וזה בוודאי אסור (אריתמטיקה של גבולות לא עוזרת פה). אפשר לפתור באמצעות כלל לופיטל, כמו שאמרתי אני לא יודע אם זה בחומר או לא.
כןזה לא בחומר, תודה בכל מקרה. נניח M מקסימום של קבוצה A! ==שאלה==יש משהו שנורא מבלבל אותי. נניח M אינו חסם עליון אזי קיים שיש לי את הפונקציה: <math>M_2</math> חסם מלעיל כך ש<math>M_2<Mf(x)=e^{lnx}</math> מצד אחד הנגזרת שלה היא 1, ולכן כי היא שווה ל-X מצד שני, אם אני מתעלם מהעובדה שהדבר הזה הוא X ואני גוזר רגיל אני מקבל שהגזרת היא 1 חלקי X.מה עושים??? דרך אגב, ארז כתבתי לך בחזרה משהו בשאלה של ה- <math>\forall a lim_{x\in A : M_2 rightarrow 0}\geq a</math>. אבל M מקסימום לכן <math>M frac{sin(\in A</math>. אבל זו סתירה לכך ש <math>M_2</math> חסם מלעיל כיוון ש<math>M_2<Mpi x)}{\pi x}</math>אז בבקשה תענה לי.
==כמה שאלות כלליות.==
מספיק להראות שקבוצה מסוימת חסומה מלעל ע"י מציאת הsup שלה?
ובשאלה 3 (בתרגיל בית מס' 2), בקשר לסעיפים ב' וג', אני צריכה להתעלם מהמקרה של הקבוצה הריקה? כי אם החיתוך שלהם הוא ריק, אז אין להם מקסימום וחסם עליון לפי מה שנאמר לנו בכיתה.. (הן אמנם חסומות בצורה ריקה אבל אין להם מקסימום/חסם עליון.)
ועוד שאלה קטנה: כדי להראות שקבוצה אינה חסומה, מילעל נניח, מספיק להראות שלכל m>0, קיים N (או שמא קיימים Nים החל ממקום מסוים? מה הניסוח הנכון?) כך שאיבר בסדרה כפונקציה של N גדול מאותו m?
אשמח לתשובה, כי אלו דברים בסיסיים שמופיעים בתרגיל פעמים רבות..
===תשובה===
sup הינו החסם העליון, כלומר חסם המלעל הכי קטן. אם הוא קיים, אז קיים חסם מלעיל (הוא עצמו) ובפרט הקבוצה חסומה.לומדים לגזור!<math>[e^{lnx}]' =e^{lnx} \cdot \frac{1}{x}=\frac{x}{x}=1</math>
לגבי השאלה הקטנהחח אופס, את מבלבלת בין שני מושגים- קבוצה וסדרה. לקבוצה אין מיקום או סדר כמו לסדרה. על מנת להראות שקבוצה לא חסומה, יש להראות שלכל מספר ממשי M קיים איבר בקבוצה שגדול מM. על מנת להראות שסדרה לא חסומה, יש להראות שלכל איבר M קיים איבר בסדרה שגדול מM. אם רוצים להראות שסדרה שואפת לאינסוף (או מתכנסת במובן הרחב) יש להראות שלכל M, קיים מקום בסדרה, נקרא לו <math>n_0</math>, שהחל ממנו והלאה '''כל''' איברי הסדרה גדולים מMסליחה.
: תודה רבה. מה לגבי השאלה השנייה שלי? לגבי הקבוצה הריקה?==שאלה - רבמ"ש==נכון, חפרנו על הנושא למרות שתהיה מקסימום שאלה אחת על זה במבחן, ובכל זאת:: אין נניח שאני רוצה להוכיח ש- f(x)=xsinx רבמ"ש. האם מותר לי מושגלקחת x, אני לא יודע מה התרגיל שלכם.y שמקיימים <math>|x-y|<d</math> ולומר :<math>|xsinx-ysiny| \le |2x-2y| < 2d</math>(מהסיבה שפונק' הסינוס חסומה ע"י 1 ו-1-) ?
== מספר שאלות שקשורות לתרגיל =תשובה===בוודאי שלא. למשל <math>x=2000\pi, y=2000\pi + \pi/2, d =\pi/2</math> אז יוצא ש<math>|xsinx-ysiny|=2000\pi + \pi/2</math>
1.יש הרבה תרגילים שהתשובה ל"מה חסמי המלעיל" שלהם נראית ברורה, אבל לא כ"כ ברור לי האם צריך לנמק את זה (איך אפשר לנמק ביותר מלהראות שכולם אכן גדולים מכל איברי הקבוצה?).
2.מתי שיש חסם עליון – רק עכשיו, אחרי שסיימתי חלק נכבד מהתרגילים, הבנתי שכדי להוכיח שמספר כלשהו הטריק הוא חסם עליון צריך להשתמש באפסילון, וכ'ובגדול לקחת <math>x_1=x, אבל הוכחתי זאת בצורה שונה – הראיתי שאכן זהו חסם המלעיל הקטן ביותרx_2=x+h</math> ולפתח לפי נוסחאות טריגונומטריות. האם ההוכחה שלי בסדר?
3.בתרגילים עם הגבולות – כשנתון הגבול – האם הרעיון העיקרי הוא לבטא את ה==שאלה -nים המסויימים שמהם והלאה לכל איבר שנחסר ממנו טורים==ישבתי על זה הרבה ולא הצלחתי X::נתון שיש טור המוגדר ע"י סכום הסדרה an ובדומה סכום המוגדר ע"י סכום הסדרה bn:ידוע שסיגמא AN זה A וסיגמא BN זה B:מגדירים סדרה חדשה, CN שבמקומות האי זוגיים היא מקבלת את הגבול נקבל שהם קטנים מאפסילון (n מבוטא כתלות בכל אפסילון חיובי שנבחר)b1, ואח"כ להראות שאכן קיימים nים כאלה? (וצריך רק למפות אותםb3, כלומר אם התשובה הסופית שלי b5.... ובמקומות הזוגיים היא משהו בסגנון n<2Ɛ^2-2Ɛ+17 אז בעצם הוכחתי שהגבול שהנחתי שקיים אכן קייםמקבלת את a1,a2,a3,...:האם סיגמא CN מתכנס?
4.עד כמה "מעמיקה" צריכה להיות ההוכחה בכל התרגילים? אני ===תשובה===לא יודע איך אפשר להיות בטוח שכתבתי מספיקשל ארז:מקווה שזה נכון:סכום האי זוגיים של הסדרה b מתכנס לפי קריטריון ההשוואה, מצד שני התרגילים לא מאתגרים במיוחד ככה שלא נתקלתי עוד בהוכחות כמו אלה שעשינו בהרצאה או בתרגולהסכום של a כמובן מתכנס לפני הנתוןולכן סכום טורים מתכנסים הוא מתכנס.
==שאלה קטנה==
אם הוכחתי שמספר כלשהו שלא נמצא בקבוצ A הוא חסם עליון של הקבוצה, מכך נובע ישירות שאין מקסימום, נכון?
:מבחן ההשוואה נכון לטורים חיוביים בלבד. והתשובה היא בוודאי לא, אם לא נתון שהטורים חיוביים. לוקחים את הטור הקלאסי להתכנסות בתנאי <math>b_n=(-1)^n/n</math> ולוקחים כל טור מתכנס אחר להיות a_n...
==שאלה==
שאלה מהמבחן של ראובן שנה שעברה שלא הצלחתי:
תהי an סדרה מתכנסת כך ש: <math>s={an: n - belong - to - N}</math> כאשר N זה המספרים הטבעיים. ואומרים ש-s היא קבוצה סופית.
צריך להוכיח שהחל מ-N מסויים, לכל n,m שגדולים ממנו, an=am.
זה נראה לי נכון אבל אני לא יודע איך לכתוב את זה בצורה מתמטית.
===תשובה===
כן. אם החסם העליון היה בקבוצה הוא היה מקסימום, ואם מקסימום קיים הוא החסם העליון
S הינה קבוצת כל האיברים בסדרה, והיא סופית. כלומר איבר בסדרה יכול להיות אחד מתוך מספר סופי של איברים (איבר מתוך S).
כעת, נגדיר את קבוצת ההפרשים <math>D=\{|s_1-s_2| : s_1,s_2 \in S, s_1\neq s_2\}</math> מכיוון שS סופית גם D סופית ולכן יש לה מינימום. נגדיר <math>\epsilon =תרגיל Min(D)/2>0</math>. כעת, שאלה 2==בסעיף א'לפי תנאי קושי, האם ניתן לקחת שני מספרים אי רציונליים נגדיים ולהגיד שהחיבור שלהם הוא 0?קיים <math>n_0</math> כך שלכל <math>n,m>n_0</math> מתקיים <math>|a_m-a_n| < \epsilon</math> אבל אם <math>a_n \neq a_m </math> אזי <math>|a_m-a_n| \in D</math> אבל
מצטרפת לשאלה<math>|a_n-a_m|<\epsilon < Min(d)</math> וזו סתירה. :סבבה תודה! ===מבחן של ראובן===איפה יש את המבחן שלו משנה שעברה? באתר של גיל איפה זה, אפשר גם למשל לקחת את המספריםקישור? http: שורש 2, ו2 פחות שורש 2 ולהגיד שהחיבור שלהם רציונלי//math.ipnet.co.il תודה ==שאלה==באחת משאלות האתגר שנתתם (זאת עם הגבולות החלקיים שכוללים את כל הממשיים), מותר לי פשוט להגיד ש-an היא הספירה של Q?אנחנו יודעים שאפשר לספור את Q אבל האם זה מספיק להסתמך על זה שקיימת ספירה כזאת ואז לרשום שנק' ההצטברות של Q הן כל R ולכן אלו הם הג"חים?
===תשובה===
השאלה היא האם משם אתה יכול להוכיח שכל מספר ממשי הוא גבול חלקי של הסדרה הנ"ל. אין סיבה שלאמשפט על הקשר שבין נקודת הצטברות של קבוצה, לבין הגבולות החלקיים של סדרה המכילה את איברי הקבוצה. האם הסדר לפי תבנה את הסדרה משנה?
==הודעה לתלמידים של ראובן==הדף הראשון של תרגיל 3 לשבוע הבא, הדף השני לעוד שבועיים:אוקיי.. יש לי סדרה אחרת שנראה לי שהיא תעבוד. את כל שאר תרגילי האתגר הצלחתי לפתור (חוץ מזה שדורש שימוש בקורס אחר שאין לי מושג מה לעשות שם חוץ מזה שאני בטוח כמעט לגמרי שזו הפרכה..)
==שאלה בהגדרת הסדרה==נתונה ::תשלח לי סדרה כלשהי {an}למייל בקצרה, ויש לי טענה שאני רוצה להפריך. אני יכול להגדיר an=0 לכל n טבעיאגיד לך אם צדקת. אגב, מתי המבחן שלכם? כי למדנו בכיתה ט' שסדרה קבועה אינה מוגדרת כסדרה :::המבחן שלנו מחר :S ::::הא, אבל אני לא יודע אם זה תקף גם באוניברסיטה או רק בתיכוןבהצלחה..יכול להיות שאני אהיה מחר באוניברסיטה..אבל זה כבר לא יעזור לאף אחד :) ==שאלה==הוכח שאם f גזירה ב-(a,b), ונגזרתה חסומה בקטע, אזי f רבמ"ש שם.(WTF?!)
===תשובה===
הסדרה הקבועה היא אכן נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש, לכן קיים אפסילון, כך שלכל דלתא קיים זוג x,y כך שהמרחק בינהם קטן מדלתא, אבל המרחק בין f(x) לf(y) גדול מאפסילון. ולכן <math>\frac{f(x)-f(y)}{x-y} > \frac{\epsilon}{\delta}</math>. ניקח <math>\delta_n = \frac{1}{n}</math> וניקח את הזוגות המתאימים <math>x_n,y_n</math>. אלה סדרות חסומות ולכן ניתן לקחת תת סדרהשל <math>x_n</math> שמתכנסת, ואז תת-תת סדרה של y_n שמתכנסת וביחד נקבל שתי סדרות מתכנסות <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> ומכיוון שהמרחק ביניהן הולך וקטן הן מתכנסות לאותו הגבול, נקרא לו L. אבל אז <math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{|x_{n_k}-y_{n_k}|} > \frac{\epsilon}{\delta_{n_k}}</math> כלומר שואף לאינסוף, אבל זה חסום על ידי קבוע כפול הנגזרת (לפי תרגיל אחר שנתנו לכם) וזו סתירה.
==תרגיל 4 שאלה 6 סעיף :: אתה יכול בבקשה להסביר למה הכוונה ב'=="זוגות המתאימים Xn Yn" - הכוונה היא לאותן סדרות שעזרו לך להוכיח או להפריך משהו בהרבה תרגילים אחרים בעמוד זה?קיימת אפשרות לפיה L=אינסוף:: ועוד משהו, או שהתכוונו L=/=0 וממשילמה הכוונה חסום ע"י קבוע כפול הנגזרת?
==תרגיל 3, שאלה 2==
האם הסדרות יכולות להיות חסומות מצד אחד בלבד? או שלא חסומות הכוונה ללא חסומות משני הצדדים, כלומר אין להן לא חסם מלעיל ולא חסם מלרע?
"... כך שלכל דלתא קיים זוג x,y..." הזוג הזה.
== תשובה ==חסום ע"י הכוונה "קטן מ.."
==שאלה==
נניח שאנחנו מקבלים פונקצייה כמו:
<math>cos\frac{1}{ln(x^2)}</math> . האם מצפים מאתנו להתייחס אליה כמוגדרת גם ב-x<0 (כפי שהיא כתובה), או ללכת צעד אחד קדימה ולהפוך את זה ל: <math>cos\frac{1}{2lnx}</math> ?
שאלה נוספת - כדי להוכיח שלא קיים גבול בנק' x=1, במקרה זה, האם מותר לי להשתמש בנימוק המילולי הבא (?): הפונקצייה מבצעת אינסוף מחזורים בכל סביבה של x=1, לכן הגבול לא חסומות אומר שאין להם חסם עליון וגם חסם תחתון. יכול להיות שהם "חסומות" רק מצד אחדקיים.אם לא, איך אחרת אפשר לנמק את אי-קיום הגבול בנק', בלי פשוט לומר שהפונק' שבתוך ה-cos שואפת לאינסוף?
==מישהו יכול להסביר מה עושים בשאלה 3 בשתי הסעיפים?==
==שאלה 12 סעיף ג'=תשובה===מישהו יכול לעזור?כמובן שהיא מוגדרת באפס. לא עושים שום צעדים קדימה או אחורה. זה כמו שx/x אינה מוגדרת באפס.
==שאלה כללית==האם אמור להיות מפורסם עוד תרגיל השבוע לא, תקרא את הדוגמאות האחרות (27.11כמעט זהות)?בנושא. בונים 2 סדרות ששואפות ל1 אבל הפונקציה עליהן הולכת לפלוס אחד או מינוס אחד ולכן אין גבול לפי היינה.
==שאלה==
אם בקבוצה יש אינסוף איברים ששואפים לאינסוף, האם ניתן להגיד שהקבוצה לא חסומה מלעיל בלי להוכיחזהו משפט נכון? M = SUP A אם"ם לכל e>0 קיים a ששייך לA כך ש M-e<aואיך ניתן להוכיח זאת?
===תשובה===
יש טעות בתוך השאלה עצמה. מה הכוונה אינסוף איברים ששואפים לאינסוף? הרי איבר אחד לא יכול לשאוף לאינסוף, רק סדרה. אם הכוונה שיש בקבוצה סדרה של איברים שהיא שואפת לאינסוף (כלומר מתכנסת במובן הרחב) אזי הקבוצה לא חסומה מלעיל. ההוכחה ממש מתבקשת מההגדרות. רשום אותן ותבין.מדוייק M=supA אם"ם '''טקסט מודגשM חסם עליון'''וגם e>0 קיים a ששייך לA כך ש M-e<a M חסם עליון אומר M גדול מכל האיברים בקבוצה, והתנאי עם האפסילון נותן את המינימליות של M. אם הוא לא היה מתקיים, אז M-e היה חסם עליון קטן יותר.
==שאלה==
אם קבוצה עולה היא מתכנסתהאם הפו' 1 חלקי n רציפה בקטע [0, הsup שלה הוא בהכרח הגבול שלה נכון..1) ? ורבמ"ש?
===תשובה===
נכון. נניח <math>m</math> הוא החסם העליון של קבוצת איברי הסדרה <math>A=\{a_1רציפה שם,a_2ברור,...\}</math>זה פונקציה רציפה חלקי רציפה, אזי לכל <math>\epsilon > 0</math> קיים איבר <math>a_{n_0}</math> ב<math>A</math> כך ש <math>a_{n_0}>m-\epsilon</math> (זו תכונה של חסם עליון)כאשר הפונקצה במכנה שונה מאפס.
מכיוון היא אינה רציפה שם במ"שכי היא אינה חסומה שם. ופונקציה שרציפה במ"ש על קטע <maths>mסגור</maths> חסם עליון אז בוודאי חסומה בו.:אבל זה לא קטע סגור, הוא חסם מלעיל ולכן <math>a_{n_0}\leq m<m+\epsilon</math> ולכן <math>m-\epsilon<a_{n_0}<m+\epsilon</math>חצי פתוח O:::שגיאה שלי, ולכן <math>|a_{n_0}-m|<\epsilon</math>הכוונה הייתה לקטע '''חסום''' ולא סגור. פונקציה רציפה במ"ש על קטע '''חסום''' חסומה בו.:::זאת אומרת שהפעם היחידה שאנחנו צריכים ממש להפריך את הרבמ"ש שלא ע"י משפט, זה כשהיא רציפה והגבול באינסוף או מינוס אינסוף אינו קיים?::::לא. לפני שנייה הייתה דוגמא של coslogx
אבל מכיוון שהסדרה עולה, לכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>a_n>a_{n_0}</math> ולכן <math>a_n>a_{n_0}>m-\epsilon</math> וכמובן <math>a_n\leq m<m+\epsilon</math> ולכן <math>|a_n-m|<\epsilon</math> וזו בדיוק הגדרת גבול.תודה רבה :)
==הוכחת משפט ערך הביניים==
במייזלר יש הוכחה שמשתמשת בטענת עזר שקשורה בחיתוך עם ציר ה-x של הפונקצייה. למה לא לפשט את זה להוכחה כזו (האם היא תקינה?):
תהי f רציפה ב-[a,b], אזי אם <math>f(a)<y<f(b)</math> נבנה סדרת קטעים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך ש- <math>f(a_n) \le y \le f(b_n)</math> , כאשר <math>I_1=[a,b], I_n=[a_n,b_n]</math>, ו-<math>c_n</math> מוגדרת: <math>c_n=0.5(a_n+b_n)</math>, כך שאם <math>f(c_n)\le y</math> נגדיר <math>I_{n+1}=[c_n,b_n]</math>, ואחרת <math>I_{n+1}=[a_n,c_n]</math> . לפי קנטור קיימת נק' יחידה <math>x_0</math> באמצע כך ש- <math>lim(a_n)=lim(b_n)=x_0</math> , ובגלל הרציפות של f נקבל ש- <math>f(a_n)</math> ו- <math>f(b_n)</math> שואפים להיות y.
רק טעות בשאלה===תשובה===זו הוכחה נכונה, קבוצה לא מתכנסתאמנם חסרת כמה פרטים, סדרה מתכנסת. כלומר המשפט הנכון הוא: סדרה מונוטונית עולה מתכנסת לחסם העליון של קבוצת האיברים שלהאבל נכונה.
==שאלה==
בתרגיל 5, שאלה 3ארז באחת השאלות למעלה אמרת: "השתמשו במבחן ההשוואה ומבחן ד'למאבר על מנת לבדוק אם הטורים הבאים מתכנסים". אני יכולה להשתמש בחלק מהסעיפים בדרכים אחרות לבדיקה אם טורים מתכנסים? למשלאפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, להוכיח שהגבול של הסדרה הוא בהכרח אזי הפונקציה לא 0?חג שמח!* המתרגל רועי בן-ארי אמר שמותר להשתמש בכל מבחני ההשוואות שאנחנו מכירים, אם הם עוזרים לנו לפתור את התרגילרציפה שם במ"ש."
==עזרה==מישהו יכול לתת כיוון איך להראות שהטור: סיגמה של אבל כפי שמישהו מעלייך אמר, אז sin(1/n) מתבדר/מתכנס..?* רמז: תראה באינדוקציה ש: <math>sin(\frac{1}{n})<\frac{1}{n^2}</math>.::הטענה הזו לא נכונה, תבדוק במחשבון ותראה (תציב, למשל, n=1000):::בדקתי בתוכנת מתמטיקה מתקדמת, הטור בכלל מתבדר (היא אמרה לי מפורשות וגם לפי המבחן האינטגרלי רציפה במידה שווה בכל R ואין לה גבול באין- שמוציא אינטגרל מאד מסובך - אבל שואף לאינסוף).::::אז איך אפשר להוכיח שהטור מתבדר? כל מבחן נותן בדיוק את 'תוצאת הביניים' (למשל 1 במבחן השורש של קושי, וכ'ו...)סוף
:באיזה מובן אינסוף הינו "צד סופי"??
==שאלה - יום ראשון הקרוב==האם ביום ראשון הקרוב::אופס, 27הלחץ מהמבחן עושה את שלו..12, יתקיימו הרצאה ותרגיל? (צום י' בטבת)
==בעיה==:: אם כבר הגענו לנושא הזה:*השיעורים באינפי (תרגיל 5:: א) הם למחראין אריתמטיקה בין פונקציות רבמ"ש נכון? , לדוגמא כפל פונ' שהן רבמ"ש (לקבוצה של רועי) כי אם כןנגיד בקטע [a, אז יש כמה בעיות - חוץ מזה שהבוחן בלינארית ביום שלישי, השיעורים שהוא נתן כוללים גם טורים לא חיוביים שבכלל b]) לא למדנו יהיה בהכרח רבמ"ש נכון?:: ב) איך מוכיחים ש- sin רבמ"ש ע"פ הגדרה (בלשון דלתא ואפסילון)? (מה אנחנו אמורים לעשותהטריק השם, איזה איקסים לוקחים?)
===תשובה===
א. יש חצי אריתמטיקה. כפל אין (x כפול x) אבל חיבור יש כמובן. בנוסף יש הרכבה, הרכבה של רציפות במ"ש הינה רציפה במ"ש
ב. תרגיל כללי הוא להוכיח שכל פונקציה שרציפה על כל הממשיים ומחזורית הינה רציפה במ"ש. סינוס זה מקרה פרטי של המשפט הגדול הזה. בצורה דומה <math>e^{(sinx)^2}</math> הינה רציפה במ"ש למשל..
:: ב-ב' זה בגלל ש-sin רציפה בקטע סגור, ואז היא רבמ"ש בו, ובעצם בגלל שהיא מחזורית אז זה מעיין איחוד אין סופי של אותו הקטע נכון?
ובדוגמא שנתת - איך מוכיחים שהפונ' הזאת מחזורית?
:::לכל פונקציה מחזורית זה נכון. צ"ל להוכיח את זה במדויק, אבל מה שציינת זו אכן הדרך.
::: פשוט מציבים <math>x+2\pi k</math> ורואים מיידים שזה שווה לערך של x לכל x
::::אוקי, תודה :)
==שאלה==
בשאלה 3, האם שני דברים:א) צריך להראות שהטורים חיוביים לפני שמשתמשים להוכיח במבחן ההשוואה וד'אלמברשפונקציה רציפה ומחזורית היא רבמ"ש בכל פעם שמסתמכים על זה? אפשר לתת כאן הוכחה ליתר ביטחון?:יש טעות בתרגיל - יש שמה טורים שלא כל איבריהם חיוביים!ב) ארז, אתה יכול להעלות פתרונות לשאלות אתגר? מחר (חמישי) המבחן ומעניין אותי לדעת איך לפתור את השאלה שקשורה לקורסים אחרים...
==שאלה של הבנה==
בתרגיל 5 בשאלה 3 איך אני פותר את הסעיפים שם- צריך להראות את שתי השיטות או שמספיק לבחור אחת מהן?
==תרגיל 6 באינפי=תשובה===רועי העלה לאתר תרגיל 6 אתמול בערב אני לא יודע על מה מותר או אסור לכם להסתמך. אבל ההוכחה הולכת ככה: אתה מחלק את כל הממשיים לקטעים באורך המחזוריות, על כל קטע סגור וחסום הפונקציה רציפה במ"ש. עכשיו, כל שתי נקודות מספיק קרובות יכולות להיות במצב אחד מבין שניים: או ששתיהן באותו קטע, או שהן בקטעים חופפים. לכן נחלק גם את הממשיים לקטעים באורך פעמיים המחזוריות, וגם שם הפונקציה רציפה במ"ש. ולכן ניקח את הדלתא המינימלי בין זה של פעמים הקטע וזה של הקטע, וכל שתי נקודות שקרובות עד כדי הדלתא הזה, יהיה קרובות עד כדי האפסילון. אני אשתדל להעלות פתרונות, לא בטוח שאני אספיק מלאים, אבל לפחות אני אתן את העיקר == שאלה == ארז איך מוכיחים ש <math>\frac{x}{e^x+1}</math> רבמ"ש?:היא לא רבמ"ש, אמנם כשהיא שואפת לאינסוף יש לה גבול והוא 0, אבל כשתשאיף אותה למינוס אינסוף היא תשאף למינוס אינסוף.::המשפט בבדיקת אינסוף ומינוס אינסוף הוא לא אם"ם, אלא רק כיוון אחד. היא אפילו כן רבמ"ש, כי היא רבמ"ש בצד החיובי של ציר הx, ובצד השלילי הוא מתנהג כמו x שהוא לינארי ולכן רבמ"ש. (ביום חמישילא הוכחה פורמלית):::אפשר בבקשה הוכחה פורמלית::::צודק ברעיון של הבדיקה של האינסוף, אבל לא הבנתי למה אתה אומר שבצד השלילי הוא מתנהג כמו x לינארי - הוא הרי שואף למינוס אינסוף בצורה קיצונית, יותר מהר מכל פונקצייה אחרת (אם לא הייתי יודע שזה מוגדר הייתי בטוח שזו אסימפטוטה). :::::לא, כי במינוס אינסוף המכנה שואף ל1 והמונה הוא x. כלומר ככל שהוא מתקרב למינוס אינסוף, הוא מתקרב (שואף) לx.:::::בנוסף, ההוכחה הפורמלית רק אפשרית ישירות מההגדרה עם אפסילון ודלטא.:::::: רגע, אז אפשר לחלק את זה לשני קטעים אפס עד איןסוף ומינוס אינסוף עד אפס ולהגיד שבראשון היא רציפה במ"ש בגלל גבולות בקצוות, ובשני היא מתנהגת כמו הגרף של X, ואז רק נותר להראות מה קורה אם לוקחים X1 מקטע אחד ו-X2 מהקטע השני?:::::::בעקרון כן, אבל זה לא כל כך פורמלי. הכל מסתמך על זה שאם פונקציה רבמ"ש בשתי קטעים אז היא רבמ"ש באיחוד שלהם. זה נראה נכון הגיונית, אבל אני לא בטוח שמותר להשתמש בזה במבחן.::::::::אבל בגלל זה אמרתי שרק צריך לבדוק מה קורה אם X1 מהקע הראשון וX2 מהקטע השני -זאת הבדיקה של האיחוד. אבל האם יש "מבחן השוואה" לרציפות במ"ש? כי אם לא אז איך אני יכול להגיד שמתחת ל-0 הפונ' מתנהגת כמו X? הרי היא מתנהגת בין X/2 ל-X (אמנם שתיהן רציפות, אבל בגלל זה שאלתי על מבחן ההשוואה)... ::::::::: (מישהו אחר) ארז קראתי את מה שנכתב פה, אתה יכול להגיד בקצרה מהי הדרך לומר שזה אכן רבמ"ש (או להפריך את זה..)?:::::::::: אני לא ארז, אבל שוב: אפשר להוכיח ישירות לפי הגדרה עם אפסילון ודלטא. ::::::::::: אני שוב לא בטוח איך הכוונה לפתור את השאלה, כי יש דרכים בעזרת נגזרות (כמו ששאלו באתר, אם הנגזרת חסומה הפונקציה רציפה במ"ש) אבל לא למדנו את המשפטים האלה, לכן אני לא יודע מאיפה השאלה ובאיזה שיטה צריך לפתור... == תודה! ==ארז, אמרנו את זה כבר בלינארית, אבל אתה ממש בן אדם מדהים! לא הייתי מצפה מהמתרגל הכי טוב שיעזור לקבוצה בקורס שהוא לא מלמד, ובטח ובטח לא בכל כך מסירות! תודה רבה על כל העזרה והתמיכה (והאתגרים :P) והלימוד המצויין! בבקשה תתרגל אותנו אינפי 2! אין לי (ולכולנו) מילים להודות לך! איך להגיד את זה שיינר, אם היית וקטור, לא היה אפשר לנרמל אותך כי אתה פשוט לא נורמלי!אם היית פונקציה, היית שואף לאינסוף בכל סביבה של כל נקודהאם היית קטע, היית כל הישר. אם היית מצחיק אחי אולי ההיתי צוחק*ואם לא היה לך כזה קטן אולי לא היית צריך לרדת על אחרים בשביל לצאת גבר, אחי ;)בוא בוא תסביר את עצמך כי וואלה לא הבנתי ..*עזוב, עזוב, אי הבנה, זה הכל :: ארז כל הכבוד! אבסורד שאתה המתרגל שהכי עזר לנו בקורס הזה:: אני גם מעדיף שתתרגל אותנו באינפי 2:: בסופו של דבר הוא התכוון שנעשה כן מתרגל (של קבוצה א') :) == הכרזה ==יש ציונים!!! == שאלה ברציפות במידה שווה ==שלום, רציתי הוכחה בבקשה לתרגיל ברציפות במידה שווה. האם איקס כפול סינוס איקס, רציפה במ"ש בקטע בין מינוס אינסוף לאינסוף.. תודה רבה!! ===תשובה===קח 2 סדרות<math>x_n = 2\pi n</math> ו <math>y_n = \frac{1}{n} + 2\pi n</math>. ברור שההפרש בינהן שואף לאפס, אבל <math>f(y_n) - f(x_n) = (\frac{1}{n} + 2\pi n)sin(\frac{1}{n})</math> אבל הביטוי הזה שואף ל<math>2\pi</math> ולכן בוודאי גדול מקבוע שגדול מאפס (למשל אחד) החל משלב מסויים... ::תודה רבה ארז! אתה תותח! == שאלה בקשר למשפט על רציפות במידה שווה ==קראתי כאן וגם בהרצאה משפט שמדבר על:פונקציה שרציפה בקטע (a,b) (כאשר a ,b או שניהם הם אינסוף או מינוס אינסוף), אז אם הגבולות בהם קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במידה שווה.אם יש לי קטע פתוח בין 0 לאינסוף, ופונקציה של (סינוס של איקס) חלקי איקס בריבוע, ראיתי שהוא בודק את הגבולות באינסוף וב0 מימין, אבל בדוגמא אחרת, של סינוס של אחד חלקי איקס, בין אחד לאינסוף, הוא בדק רק את הגבול כשאיקס שואף לאינסוף.למה הוא לא בדק את הגבול כשאיקס שואף לאחד מימין? כי הפונקציה מוגדרת באחד ולכן לא צריך לבדוק את זה? (ולעומת זאת בדוגמא הראשונה, כשאיקס שווה לאפס אז זה תחום ההגדרה ולכן צריך כן לבדוק?).ושאלה אחרונה בקשר למשפט שאמרתי, בהרצאה הוא לא ציין שa או b חייבים להיות אינסוף, האם זה נכון גם כשהם מספרים ממשיים?תודה רבה!! ===תשובה===<math>sin(1/x)</math> רציפה באחד ולכן ברור שהגבול שם קיים ואין צורך בבדיקה נוספת. כאשר היא לא רציפה (מסיבה של תחום הגדרה או כל סיבה אחרת, אז יש לבדוק מה הגבול. כן, כי אם f רציפה בקטע הפתוח (a,b) ויש לה גבולות חד צדדים בקצות הקטע, אזי '''לפי הגדרה''' f רציפה בקטע הסגור [a,b]. ואז '''לפי משפט''' f רציפה בו במ"ש. * הבנתי לגמרי עכשיו, תודה ענקית!! :] == שאלה בנושא רציפות במידה שווה ==רציתי לדעת בבקשה איך מוכיחים שהפונקציה קוסינוס של שורש של ערך מוחלט של X רציפה במידה שווה בR. אולי להפריד ל2 מקרים כשX>0 וכשX<0.. תודה רבה!!!! ===תשובה===כן להפריד למקרים, ואז זו הרכבה של רציפות במ"ש. את שורש איקס אפשר להוכיח לפי ההגדרה באמצעת כפל בצמוד. * הבנתי, תודה שוב ושיהיה לך לילה טוב.. == משפט הערך הממוצע ==שלום, רציתי לדעת בבקשה אם נלמד משפט הערך הממוצע בכיתה..? תודה רבה :] ===תשובה===בהתחשב בעובדה שאינפי 2 כבר התחיל ובמסגרתו למדנו המשפט הזה, השאלה הזו קצת מפתיעה. משפט הערך הממוצע הינו משפט לגרנז' ולמדנו אותו ליום ראשון הקרוב בתחילת סימסטר ב' (מחרתייםולא כחלק מסמיסטר א'...) * לא הסברתי טוב, אני יודע שהוא נלמד, השאלה אם הוא יכול להיות במבחן מועד ב' באינפי 1 אבל הבנתי שלא.. תודה על התשובה.. == תרגיל ברציפות במידה שווה ==שלום ארז, יש לי תרגיל שלא הצלחתי לפתור ואני ישמח אם תעזור לילבדוק רציפות במידה שווה של (x*cos(1/x^2 בקטע שבין (אינסוף, 0).לעניות דעתי צריך להפריך.ועוד שאלה קטנה בקשר להפרכה: צריך לקחת שתי סדרות כך שאחד התנאים הוא שהחיסור ביניהן כשמשאיפים לאינסוף ישאף ל-0. אם הוא שווה ל-0 ולא שואף ל-0, האם התנאי הזה התקיים? (כמובן שצריך לבדוק מה קורה כשמציבים את הסדרות בפונקציה אך אני מדבר רק על התנאי הראשון).אודה לך על תשובתך! ===תשובה===אם החיסור בינהן שווה אפס אז זה אותה סדרה, ואז בוודאי שהתנאי על כך שההפרש בין הפונקציות מופעלות על הסדרות צריך להיות גדול מקבוע, לא יתקיים. ודווקא נראה לי שצריך להוכיח, כי הנגזרת חסומה. אני אנסה לפתור את זה מחר.= תודה מקרב לב ==2 הגדרות ו2 שאלות ברבמ"ש==היי ארז מה נשמע? יש לי בבקשה כמה שאלות.. 1) בהגדרת היינה בורל במבחן, מספיק לרשום: "S קומפקטית אם ורק אם היא חסומה וסגורה", זה מספיק או שצריך להסביר גם מה זה קומפקטית..? 2) אם יש שאלה לנסח את משפט בולצ'אנו ויירשטראס, איזה מהם? עבור סדרות, קבוצות או פונקציות? או מה שאני בוחר? 3) רבמ"ש: איקס כפול קוסינוס של איקס בין מינוס אינסוף לאינסוף.. (בטח להפריך) 4) רבמ"ש: איקס כפול לוג של איקס בין אפס לאינסוף (לפי דעתי צריך להפריך כי מבחינת אינטואיציה, לוג איקס שואף ממינוס אינסוף ואם נכפיל באיקס אז זה עוד יותר מינוס אינסוף..) אלה השאלות האחרונות שאני אשאל.. מקווה שיהיה לך זמן.. תודה רבה רבה רבה, אם נצליח זה רק בזכותך תאמין לי.. ואם להגיד את האמת אז חבל שלא הבנתי את זה בתחילת סמסטר א', העיקר שעכשיו אני מבין.. תודה שוב :] ===תשובה===1,2 אלה שאלות למרצה. 3. זה בדיוק כמו xsinx שעניתי עליו 4. זה להפריך, אפשר עם שתי הסדרות <math>n + \frac{1}{n}</math> ו <math>n</math>. צריך לשחק קצת עם הlog ובעיקר לשים לב שזו הפונקציה <math>xlogx = log(x^x)</math> וההפרש בין שני לוגים הוא לוג של החלוקה.* * תודה רבה!! אני אנסה את מה שאמרת.. שיהיה בהצלחה לכל מי שניגש.. וארז, תודה על הכל!! ==שאלה==במועד ב' באינפי 1, ניתן להשתמש בכלל לופיטל?
בכל מקרה, יש שם 8 שאלות: שתי שאלות על טורים עם סימנים מתחלפים, ורק שאלה אחת על הנושא שתרגלנו בכל התרגיל האחרון שלנו - גבולות של פונקציות. 5 שאלות עוסקות בנושא שבכלל לא הגענו אליו - רציפות של פונקציותבטוח באיזה קורס, וכוללות גם הוכחות שקשורות לנושא.אבל אם לא למדתם את זה באינפי 1 לא ניתן להשתמש בזה במבחן