==שאלה==
אם קבוצה עולה היא מתכנסת, הsup שלה הוא בהכרח הגבול שלה נכון..?
===תשובה===
נכון. נניח <math>m</math> הוא החסם העליון של קבוצת איברי הסדרה <math>A=\{a_1,a_2,...\}</math>, אזי לכל <math>\epsilon > 0</math> קיים איבר <math>a_{n_0}</math> ב<math>A</math> כך ש <math>a_{n_0}>m-\epsilon</math> (זו תכונה של חסם עליון).
מכיוון ש<math>m</math> חסם עליון אז בוודאי הוא חסם מלעיל ולכן <math>a_{n_0}\leq m<m+\epsilon</math> ולכן <math>m-\epsilon<a_{n_0}<m+\epsilon</math>, ולכן <math>|a_{n_0}-m|<\epsilon</math>.
אבל מכיוון שהסדרה עולה, לכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>a_n>a_{n_0}</math> ולכן <math>a_n>a_{n_0}>m-\epsilon</math> וכמובן <math>a_n\leq m<m+\epsilon</math> ולכן <math>|a_n-m|<\epsilon</math> וזו בדיוק הגדרת גבול.