שינויים
/* תשובה */
===תשובה===
אם אתה מתכוון לסימן הזה: <math>f\equiv 0</math> הכוונה היא לשקילות, או שיוויון פונקציות. כאן זה אומר שf הינה הפונקציה הקבועה אפס. מטרת הסימון היא להפריד בין משוואה f=0 שלה יכולים להיות שורשים, לבין להגיד שf הינה הפונקציה הקבועה אפס.
==תרגיל==
<math>\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} 2xtg(x)-\frac{\pi}{cos(x)}</math>
'''[[תרגיל באינפי דוגמא 28.1.10|פתרון]]'''
==שאלה==
ארז - מה זו מתקפת האינפי הזו פתאום? נכון שאינפי זה רצח, אבל האם לא יכלת לחכות עד שנתגבר על לינארית :) ?
:בגלל זה את האתגר מחקתי עד המבחן בלינארית. את זה כתבתי לסטודנט שלי באינפי
==שאלה==
מישהו שם לב לתרגיל החדש שרועי בן ארי שם באתר שלו? למתי צריך להגיש אותו?
:קודם שיחזירו את הששת תרגילים הקודמים אחרי זה שיעלו עוד תרגילים .. הקורס הזה לא רציני ..
::זה קצת מפחיד, נראה שחלק (די גדול) מהתרגילים שהגשנו נאבד בדרך, ורועי לא עונה באימייל.
:::נכון, וזה כולל גם את הבחנים. הבחנים עדיין לא הוחזרו לנו ורועי לא עונה במייל, זה באמת לא רציני. מלבד זאת, יש אפשרות להגיש את הש.ב (תרגילים 7+8)ביום של השיעור חזרה במקום מחרתיים? קודם כל כי חלק גדול מאיתנו רוצה ללמוד את החומר לפי הסדר שהוא לומד, ופונקציות הן לקראת הסוף, ובנוסף לא כולנו יוכלו להגיע באופן עצמאי לבר אילן ביום שלישי.
==נו מי פותר את האתגרים==
בטח מישהו מכם יכול לפתור משהו
:יפה מאד זה נכון :).
:אבל עדיף לשלוח לי תשובות למייל, וככה לתת לאנשים אחרים גם הזדמנות. מתישהו אני אכתוב את התשובות.
סתם שאלה, עדיין לא התחלתי להסתכל עליהם בצורה רצינית, אבל אתה בטוח שבראשונה הכוונה היא למספרים הממשיים? כי ממבט ראשון לא נראה לי הגיוני לתהיה סדרה (ש"יש" לה א0 איברים תתין לך קבוצה של א איברים.. אבל יכול להיות שזו סתם שטות שלי (אני מניח שיש לי בטח איזו בעיה באינטואינציה או משהו, אבל זה עדיין מוזר לי...)
===תשובה===
זה בדיוק היופי של השאלה, אם תחשוב קצת בכיוון הזה אולי גם תגיע לתשובה. בכל אופן, אני לא טועה ויש סדרה כך שהגבולות החלקיים שלה הם כל הממשיים.
קצת הסבר אינטואיטיבי: הרי מה זה גבול חלקי? גבול של תת סדרה. כמה תתי סדרה ניתן לקחת מתוך סדרה? זה דומה לקבוצת החזקה. וידוע שהעוצמה של קבוצת החזקה גדולה מזו של הקבוצה עצמה, ולכן זה בכלל ייתכן.
=שאלה=
אני לא מצליח לחשב את הגבול :
<math>\lim_{x\rightarrow 3}\frac{|5-2x|-|x-2|}{|x-5|-|3x-7|}</math>
תשובה:
בסביבה מספיק קרובה ל3 אתה יכול להפטר מכל הערכים המוחלטים באופן הבא:
<math>\lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x-5-x+2}{5-x-3x+7}=\frac{x-3}{12-4x}= -\frac{1}{4}</math>
למה -1/4? הרי זה לא שואף לאינסוף בשורה האחרונה.. זה לא אמור לשאוף ל-0?
למה אפס? מה אינסוף בשורה האחרונה? צימצמנו בx-3 במונה ובמכנה.
==שאלה - נגזרות==
כדי להפריך קיום של נגזרת בנקודה כאשר ידוע שהפונק' רציפה באותה נקודה - נותר רק להראות שהנגזרת הימנית בנק' שונה מהנגזרת השמאלית בנק'.
יש לי את הפונק' : <math>f(x)=xcos\frac{1}{x}
</math>
כאשר (לא ידעתי איך לכתוב את זה) בנק' x=0 נגדיר f(x)=0 (כלומר הפונק' רציפה כי הגבול של הפונק' בנק' 0 הוא 0, ועכשיו גם הגדרנו את ערך הפונק' בנקודה זו)
אני רוצה להראות שהנק' אינה גזירה בנק' x=0, אבל אחרי חישובים אני מקבל שהנגזרת הימנית שווה לגבול מימין של הביטוי: <math>cos\frac{1}{dx}</math>, כאשר dx שואף ל-0, וכן הנגזרת משמאל שווה לגבול משמאל של ביטוי זה. אחרי הצבה במחשבון של מס' קטנים, קבלתי ששניהם שווים (בערך ל: 0.95215- כשהמחשבון ברדיאנים), כלומר הנגזרת מימין שווה לנגזרת משמאל. איפה הטעות שלי?
===תשובה===
במחשבון. מה הטענה שלך, שיש גבול ל<math>cos(\frac{1}{x})</math> כאשר איקס הולך לאפס? הרי ברור שזה לא נכון (מאף צד...)
קח את הסדרה <math>\frac{1}{0 + 2\pi k}</math> והסדרה <math>\frac{1}{\pi+ 2\pi k}</math>.
אלה סדרות ששואפות לאפס ואם תשים את הסדרות האלה בתוך הקוסינוס תקבל 1 או מינוס אחד בהתאמה (ולכן אין גבול). אם אתה רוצה לראות את זה במחשבון תציב איברים מהסדרות במחשבון...
:אוי, איך לא חשבתי על זה ככה - לפונק' מחזורית שתשאיף אותה לאינסוף (נהפוך ל-cos(x) כאשר x שואף לאינסוף, למשל) לא יהיה גבול. אז בעצם, מספיק להראות שהנגזרת לא קיימת, בלי קשר ל'נגזרת מימין' וה'נגזרת משמאל', לא? כי בין כה וכה, אם הנגזרת הייתה קיימת, היא הייתה סופית ומוגדרת.
==שאלה==
איפה אפשר למצוא מבחנים באינפי? :)
==שאלה - גזירה==
נניח שיש לי פונקצייה שהנגזרת שלה בנק' x כלשהו היא 0, האם אני יכול להסיק שהיא גזירה גם פעמיים, ואף יותר, ושגם כל הנגזרות האחרות שלה באותה נקודה שוות ל-0?
===תשובה===
בשום פנים ואופן לא. דוגמאות:
* x^2, הנגזרת הראשונה 2x והנגזרת השנייה 2
* פונקצית דיריכלייה (0 על רציונאליים, x^2 על אי רציונאליים). נגזרת ראשונה באפס הינה אפס, ואין לה נגזרת נוספות כי הנגזרת הראשונה לא רציפה, היא מוגדרת רק בנקודה אחת.
:אז איך אני יכול להוכיח שפונקצייה כלשהי גזירה אינסוף פעמים בנקודה מסוימת?
::לא יודע, באיזה הקשר? e באיקס גזירה אינסוף פעמים כי הנגזרת שלה היא עצמה למשל. כל שאלה והתשובה שלה.
:::יש לי את הפונקצייה <math>f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}</math> כאשר x שונה מ-0, וכן f(0)=0. הפונק' רציפה גם באפס. כדי להוכיח שהיא גזירה באפס, משתמשים בנוסחא לחישוב הנגזרת, ומקבלים:
<math>f'(0)=lim\frac{f(dx)}{dx} = lim \frac{1}{dxe^\frac{1}{(dx)^2}}</math>, וכן dx שואף ל-0.
אפשר לראות שהנגזרת שווה ל-0, מפני שהביטוי הנ"ל שואף לאפס, מהסיבה ש:
<math>lim\frac{1}{xe^\frac{1}{x^2}}</math> קטן או שווה ל-<math>lim\frac{1}{x^2e^\frac{1}{x^2}}</math> כאשר x שואף ל-0, והגבול האחרון שווה ממש לגבול: <math>lim\frac{t}{e^t}</math> כאשר <math>t=\frac{1}{x^2}</math>, ו-t שואף לפלוס אינסוף. אפשר לראות שהגבול האחרון שווה ל-0 מפני ש-<math>e^t</math> גדל "מהר יותר" מ-t לכל t>0.
בכל מקרה, היה עליי להוכיח שהפונקצייה גזירה ב-0 אינסוף פעמים. הראיתי ש-<math>f'(0)=0</math> (האם זה היה נחוץ בכלל?). איך אני יכול להמשיך מכאן? תודה רבה ארז!!!
===תשובה===
שים לב שידעתי שזה e עוד לפני ששמעתי את השאלה. צריך להשתמש בעובדה שe גזירה אינסוף פעמים. תחשב את '''כל''' הנגזרת (לא רק באפס). מה הפונקציה שקיבלת? תוכיח באינדוקציה...
:בכל פעם שאני גוזר מתווסף לי עוד איבר לחבר, כאשר בכל האיברים יש מספר במונה ובמכנה x בחזקת מספר מסוים. לכל האיברים יש גורם משותף <math>e^{\frac{-1}{x^2}}</math>, אבל עדיין אין לי את ה'זכות' להוציא גורם משותף ולומר שהוא שווה ל-f(x) ששווה לאפס בנק' x=0. עצם העובדה שהגבול שלו כאשר x שואף לאפס היא 0 הוא דבר אחר, לא?
:אני חושב שהרעיון הוא שe שואף הרבה יותר מהר לאפס מאשר פולינום מכל חזקה שלא תהיה. ולכן הגבול תמיד יהיה אפס (לא כי הוא בהתחלה אפס, כמו שהראתי יש דוגמאות נגדיות לזה)
::הממ אבל רגע - אם לכל X ששואף לאפס יש ערך (ששואף להיות ערך מסוים - למשל במקרה הזה 0) לנגזרת ה-n-ית שלו, מי אמר שגם ל-x=0 יש את אותו ערך בנגזרת ה-n-ית שלו? ז"א, אנחנו יודעים ש-f רציפה כפי שהגדרנו אותה, אבל מי אמר שגם f', או f'', וכ'ו רציפות גם הן?
:::גזירות אתה מתכוון. כמו שאמרתי באינדוקציה. הרי הנגזרת בכל נקודה שונה מאפס קלה לחישוב. ואת הגבול של f(h)/h קל לחשב. מה עוד נשאר?
::::אבל אני לא יודע לבטא נגזרת n-ית לפי הנוסחא עם הדלתא-x , הכוונה לנוסחת חישוב ערך הנגזרת בנקודה: <math>f'(x)=lim\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}</math>, כאשר dx שואף לאפס.
:::::למה לחשב עם הנוסחא? תחשב פשוט את הנגזרת. <math>[e^{-\frac{1}{x^2}}]' = e^{-\frac{1}{x^2}}[-\frac{2}{x^3}]</math>
::::::כי אנחנו רוצים להסתכל גם על המקרה של x=0, לא? וזוהי הנגזרת הראשונה - מה אם צריך לחשב את הנגזרת ה-n-ית?
:::::: א-י-נ-ד-ו-ק-צ-י-ה. המקרה של אפס הוא הגבול של f(h)/h. אם אתה יודע את הנגזרת בכל מקום פרט לאפס, אתה יכול לחשב את הגבול שלה חלקי h בנקודה h ולכן את הנגזרת של הנגזרת באפס.
:::::::אני מצטער, אבל אני לא מצליח להבין - הרעיון הוא להוכיח באינדוקמיה ש-f גזירה n פעמים ב-0 לכל n טבעי. ז"א שאחרי שבדקתי על הנגזרת הראשונה, והשנייה, אני צריך גם לבטא את הנגזרת ה-nית באיזשהי צורה, לא?
כן, תבטא את הנגזרת הn-ית בכל נקודה שאינה אפס. את זה אתה יכול לעשות באינדוקציה? אחרי שיש לך ביטוי לנגזרת המ-ית בסביבה של אפס (לא כולל אפס), אתה יודע שהנגזרת הn+1 היא הגבול של הנגזרת בn-ית בh חלקי h כאשר h שואף לאפס. אבל בגלל שהנגזרת הn-ית תמיד מהצורה של e כפול וחלקי פולינום, היא חייבת לשאוף לאפס והאז הנגזרת הn+1 יוצאת אפס.
