'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 13| ארכיון 13]]''' - תרגיל 10
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 14| ארכיון 14]]''' - תרגיל 10
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 15| ארכיון 15]]''' - תרגיל 10
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 16| ארכיון 16]]''' - לקראת המבחן
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 17| ארכיון 17]]''' - לקראת המבחן
=שאלות=
'''תומר''' - הסמסטר הולך ומסתיים לו . מי שרוצה לקבוע איתי פגישה ("שעת קבלה " ) - מוזמן לעשות זאת ועדיף לא לדחות עד סוף הסמסטר ממש ובסמוך למבחן ! שילחו לי מייל לתיאום : yaniv_to@netvision.net.il
==שאלה==
יהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים?
:לא שידוע לי, אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, אם לא אז לא
תומר - מה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ??? הגיון חבר"ה , הגיון !
==שאלה למתרגלים==מהי רמת הקושי תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על סכום אינסופי של התרגילים בתרגיל 10? האם הם קלים? קשים? האם ייתכנו תרגילים ברמת קושי כזו במבחןפונקציות שווה לסכום האינסופי של האינטגרלים של הפונקציות?אני שואל כדי שנוכל להעריך את רמת הידיעות שלנו לקראת המבחן.תודה
'''תומר''' - הממ , רמה בינונית מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! ולא לשכוח שעדיין לא כוסו בתרגיל זה מבחני דיני , יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך . ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל ודיריכלה . בנוסף - יינתן תרגיל נוסף , ללא הגשה אך כן עם חובה לדעת פתרונותיו - עבור מבחנים אלו וטורי חזקות - שזהו חומר חשוב מאוד ורק בגלל אילוצי החגים והבגרויות שלכם לא ייבדקו אז צריך לבדוק כל מקרה לגופו.
==שאלה==
האם זה נכון שסדרת נניח יש לי טור פונקציות, <math>(f_nשרץ על fn (xהסדרה המזהה שלו))_{n=1}^{\infty}</math>. למה אם הטור |fn| מתכנס במ"ש בI, מתכנסת בקטע <math>[a,\infty]</math> אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש אם"ם מתקיים:בI?
<math>\lim_{n \rightarrow \infty}\lim_{x \rightarrow \infty} (f(x)-f_n(x)) = 0</math>*נקודתית זה ברור מאינפי 1. לבמ"ש ההוכחה דומה. שארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, כלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט.
כאשר, <math>ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f</math> זו הפונקציה הגבולית. פשוט במ"ש, האם זה יכול לעזור לי בקביעה באם ההתכנסות היא אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש...?
*ברור שלא.... אינפי 1. <math>fn=(-1)^n</math> לא מתכנס בכלל, אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש.
:יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא. מה אם חוסר ההתכנסות במ"ש קורה בצד הסופי? <math>\sum\frac{1}{x^n}</math> ועבור x=1 הטור מוגדר להיות אפסהמשפט הראשון בעמוד הראשון של הסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים???
::הבנתי... אבל אפשר להשאיר מהמשפט רק *נכון מאד, הסרתי את הכיוון של אם ההתכנסות במ"ש אזהסיכום.המשפט אומר שאם יש מקסימום/מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס.בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (לדוגמא x^3). כי אם ההתכנסות במ"ש אזי ש-
<math>f_n(x)שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c-f(עד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x) \leq \sup_{[a,\infty]}|f_nבאפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(xנכון?)-f(x)| := A_n</math>, ולכן, תודה.
<math>\lim_{*הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x \rightarrow \infty}(f_n(x)-f(x)) \leq A_n</math>, אבל צריך להתקיים, כיוון שההתכנסות במ"ש, ש- <math>A_n \rightarrow 0</math>למשל מתבדר.
ולפיכך, נקבל ש- <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{x \rightarrow \infty} (f_n(x)-f(x)) = 0</math>
האם הטענה הזו נכונה? ואז ניתן לפחות לשלול התכנסות במ"ש למה אם היא f פונקציה רציפה, מחזורית ואי-שלילית בממשיים(f אינה מתקיימת...זהותית אפס) אז הגבול של f(x)/x^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f חסומה מהנתונים,לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(x)/x מ1 עד אינסוף מתבדר.ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???
:מי מבטיח שהגבול באיקס בכלל קיים?::: אבל בהנחה שהגבול קיים, נראה לי שאפשר להוכיח גם את הצד השני - ::: אם נניח ש- <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{x \rightarrow \infty}[f(x)-f_n(x)]=0</math>, ::: אזי שקיים <math>n_0 \in \N</math>, כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים כי - ::: <math>\lim_{x \rightarrow \infty} [f(x)-f_n(x)] < \epsilon</math>, ומכך נוכל למצוא סביבה, <math>N_{\delta}:=[\delta,\infty]</math>, כך שבסביבה הזו יתקיים - ::: <math>[f(x)-f_n(x)] \leq \epsilon</math>, וזאת נכון לכל <math>x \in N_{\delta}</math>. ולכן, אם בנוסף סדרת הפונקציות מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור, מהצורה <math>[a,b]</math>, אזי נוכל להסיק שסדרת הפונקציות ::: מתכנסת במ"ש ב-<math>[a,\infty]</math>. ::: אז האם ניתן, תחת כל ההנחות באמצע, להיעזר ב-"מבחן" הזה.? או שיש לי איזושהי טעות בדרך...? ::: ו-נ.ב., עדיין לא ממש הבנתי איך טור הפונקציות <math>u(x)=\sum_{nתשובה==1}^{\infty} \frac{1}{x^n}</math>, המוגדר כך ש- <math>u(1)=0</math>, מפריך את הטענה?
תומר - כמה שאלות , כמה שאלות ! :)
לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , במידה שווה - ראה משפט שהוכחתם . או - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות במ"ש ! .
אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא תלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף . זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! .
הביטוי <math>\lim_{x \rightarrow \infty} [f(x)לגבי שאלה אחרונה -f_n(x)] < \epsilon</math> נכון עבור n '''קבוע''', ועבורו יש <math>N_\delta</math> מסויםתן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס . אולי ככל שn עולה גם דלתא עולה?
הדוגמא ==שאלה מסודרת ==נתונה פונקציה fרציפה,מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא נגדית מכיוון שהגבול שאתה מתאר הוא אפסאינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה, אבל זה לא טור מתכנס במ"ש ? ואז הגבול של (שכן ככל שאתה מתקרב לאחד קצב ההתכנסות נהייה איטיf(x)/x)/x^2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, כי האינטגרל של x^2 מתכנס.. חשוב להבין שאי התכנסות במ"ש לא חייבת להתרחש באינסוף.
: הבנתי, תודה רבה ===תשובה===(הייתי צריך את זה...), אבל אם אנו מניחים ש-<math>(f_n(x))<לא ארז/math> מתכנסת במ"ש בכל קטע סופי, מצורת <math>[a,b]</math>. וכמו-כן, ש- <math>(f(xתומר)-f_n(x))_{n=1}^{\infty}</math> נראה לי שהטעות שלך היא מונוטונית.: אזי שהוא מתכנס במ"ש גם בקטע <math>[aכזו ,\delta]</math>כשאתה עשית את מבחן ההשוואה, ולכן קיים <math>n_0עשית את זה עם הפונ' \in \N</math>, כך שלכל <math>n>n_0'</math>, וכן לכל <math>x \in [a,\delta]</math> יתקיים כי -: <math>|f^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 עד אינסוף (x)-f_n(x)| \leq \epsilon<אתה מתבלבל עם 1/math>: אז נבחר <math>N=\max{(n_0,n_0')}</math>, והוא יקיים '''שלכל''' <math>n>N</math>, '''ולכל''' <math>x \in [a,\infty]</math> ש-: <math>|f(x^2)-f_n(x)| \leq \epsilon</math>, אין זה בעצם התכנסות במ"ש? (אחרי שגם הוספתי את העובדה שקיימת התכנסות במ"ש בכל קטע סגור...)
:אבל אמרתי בקטע 1 עד אינסוף...לא מאפס!
::הוא העיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. x^2 זו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי.
ובנוגע להוכחה , אני עשיתי את זה בדרך הבאה::שוב אתה מניח שיש דלתא קבוע כלשהוא שאינו תלוי בn. שנית, מאיפה ההנחה על המונוטוניות? ואיך היא עוזרת?
:: פשוט, אם <math>(f(x)נסמן את המחזור של F כ-f_n(x))</math> מונוטוניתT, נגיד יורדתאנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, אז שלכל <math>n>n_0</math> יתקיים כי לכן יש נקודה X0 בקטע [1,1+T] כך ש-:: <math>(''f''(x)''x0'' שווה ל-f_n(x) < M גדול ממש מאפס. מכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a,b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f(x)-f_{n_0}(x) < \epsilon</math>, לכל <math>x \in N_{\delta}<M/math>. ומכאן בוחרים שוב את <math>N=\max2 (n_0או אפילו גדול שווה,n_0'זה לא משנה)<וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/math>..2x בכל קטע מהצורה [a+n*T,b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת.
:: פשוט קצת קשה לי לבדוק התכנסות במ"ש בקטעים כמו <math>ברור כי שתי הפונ' אי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [aone,\inftyR]</mathכש- R>. האם יש עוד מבחנים שימושיים1 (F רציפה בכל קטע כזה, חוץ ממבחן הול-SupG יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים) ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, ומבחן ה-M??כך גם האינטגרל הלא אמיתי של F.
:::מונוטונית באיזה מובן? הרי גם n וגם x משתנים. מבחן הSup הוא העיקרי... הרי אפשר למצוא או לקבל הערכה על נקודת הsup לn כללי בעזרת חקירת פונקציות ועכשיו, להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, זה לא כזה מסובך (כפי שלמדנו בשיעוראני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את זה).ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x
==שאלה 1 סעיף ב'==אני לא מצליח לקבוע באם סדרת הפונקציות הנתונה, למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<mathg ו f>f_ng והאינטגרל של f מתכנס(xלא אמיתי, בשנ הסוגים הוא אמר ככה...)=x \cdot \arctan(nx)</math> מתכנסת במ"ש או אז האינטגרל של g מתכנס. הוא לא ב-<math>(0אמר שאם g מתבדר גם f מתבדר,\infty)</math>זה לא נכון??
אפשר איזשהו רמז===תשובה===המשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון.לא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, לכן אם g מתבדר אזי f מתבדר.?? רמזון??? משהו..??
:איך הפונקציות האלה מתנהגות באינסוף?==שאלה==
בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?:: הן שואפות לפונקציה הגבולית - <math>f[לא תומר או ארז] לי דווקא יצא 1==שאלה==אם אני צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימן, והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרבילית(x!)= \frac{\pi}{2} \cdot x</math>אחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון. האם זה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה השניה?:הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה עושים מכאןזה האפסילון הזה? במה הוא תלוי?
בהגדרה של התכנסות נקודתית אנחנו אומרים שהתנאי מתקיים החל מקיי כלשהוא נכון? אם נתבונן בקטע מסויים ,שהפונקציה מתכנסת נקודתית בכל נקודה בו, ונבחר את המספר פי שהוא המקסימום של כל הקייים של כל הנקודות בקטע==שאלה==נתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"י M. ואז החל מהפי הזה הפונקציה מתכנסת בכל הקטע.וזוהי ההגדרה של התכנסות במצ"של שf^2 אינטגרבילית באותו קטע. אז יש דרך להראות את זה אומר שהתכנסות במלא ע"ש והתכנסות נקודתית בכל הקטע זה אותו דברי הרכבת פונקציות (שבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)? כנראה שלא, אז איפה הטעותמהי הדרך? שהמקסימום יכול להיות אינסוף? אם הוא תמיד אינסוף-איך מוכיחים את זה? תודה.
::הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, שכן זו פונקציה אינטגרבילית (לא ארז/תומרולכן חסומה) הבעיה היא שלקחת מקסימום של של קבוצה אינסופית(קבוצת ה-k-ים). אם הסופרימום של הקבוצה הוא מספר אז אכן ישנה התכנסות במ"ש. אבל אם הסופרימום הוא אינסוף- אז אין התכנסות במ"ש.
אבל יש דרך להראות את זה אומר שזה משפט חדש? אם קבוצת הקייים חסומה אז התכנסות רגילה גוררת התכנסות במ"שחוץ מהרכבה של פונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית?
תומר - מידת קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה החדשה היא אפס ? ...
הגדרנו התכנסות רגילה של טורי פונקציות?(לא במ"שארז/תומר) כן יש פיתרון אחר, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות. תומר : הגדרנו התכנסות רגילה - זו התכנסות f^2 חסומה (נקודתית! ברור) של סידרת הסכומים החלקיים של הטור ! בדומה להתכנסות של טורי מספרים , ונותר להראות את התנאי השני. בקשר אליו, קל להראות ש
w(f^2)<= w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), ומכאן קל להמשיך.
מראים את זה כך, לכל x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים:
f(x1)^2-f(x2)^2<=(f(x1)-f(x2))*(f(x1)+f(x2)), ומכאן זה ברור
==שאלה==
התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0,1] כך שfn(x)-->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של fn מ0 עד 1 אינו שווה ל0.
- האם הפונקציה x^n(x^n-1) qq מקיימת את הדרוש? הפונק' אכן רציפות ב[0,1], פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני לא טועה, 1/n פחות 1/(2n+1)..
===תשובה===
התכנסות נקודתית היא ברורה, זה גבול אתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא '''שואף''' לאפס? כי כמעט כל סדרה. התכנסות במ"ש אומרת שלכל אפסילון יש n_0 מסוים שיתאים לכל הנקודות x בקטע. כלומר כאשר ניקח את הפונקציה f_n_0 המרחק שלה מפונקצית הגבול יהיה קטן מאפסילון בכל נקודה.יכול להיות כמו שאמרת שהמקסימום הזה הוא אכן אינסוףשתבחר תעמוד בתנאי הראשון (למשל הסדרה של הפונקציות הקבועות <math>\frac{1}{n}</math>).
אולי קצת הטעתי ברמזאם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, קח סדרה של פונקציות הבאה: הגרף של הפונקציה ה-n הוא משולש עם בסיס <math>\frac{1}{n}</math> בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. יש לנו תנאי מספיק והכרחי השקול להתכנסות הסדרה הזו שואפת לאפס (כמובן שלא במ"ש. צריך לנסות לפתור את התרגיל בעזרתו) והאינטגרל על כל פונקציה בסדרה הוא תמיד 1.
התכנסות רגילה של טור פונקציות ==שאלה==נראית נחמדה. f:[0,1] ---> R היא התכנסות נקודתית כמובןפונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f(x)<=sinx לכל x בתחום. צריך למצוא את כל פתרונות המשוואה: cosx+quad(f,0,x)-1=0.(קוסינוסX ועוד האינטגרל של f מ0 עד x פחות 1 = 0.)מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואה, לא הצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/למצוא פתרון נוסף. ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי למשהו שמוכיח.יש רעיון למישהו?::מישהו??
:רגע, אז כשאני אומר במ"ש(סדרת פונקציות) לפי ההגדרה אז האן אפס שהחל ממנו התנאי מתקיים הוא תלוי רק באפסילון??לא יכול להיות תלוי באיקס??
::n_0 הוא אף פעם לא יחיד, אפשר להגדיר אותו תלוי במיליון דברים:אם f=sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס. אבל אם יש התכנסות במ"ש, יש n_0 שתלוי באפסילון בלבד ולא באיקס f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (תקרא את ההגדרהשלילי). זה המקסימום של כל הn_0-ים המינימליים.תודה.והפתרון היחיד הוא אפס
אם אמרו ==שאלה==מישהו מוכן להסביר לי להגיד אם אישהוא טור מתכנס באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, ומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? תודה.:כדאי? תמיד. מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש,אן רץ מאחת עד אינסוף, הצלחתי להגיד את זה לגבי אן רץ מ2 עד אינסוף,זה בסדר? למה? תודהלפי המשפטים שלמדתם בכיתה.
==שאלות מעניינות==* הוכח או הפרך:הגיע הזמן בסוף אינפי 2 לדעת שההתכנסות אינה יכול להשתנות על פי מספר קבוע כלשהו של איברים ראשונים. במקרה הכי גרוע זה יכול להזיז את n_0זה נכון בהתכנסות של טורים רגילים. אבל בטורים תהי <math>f_n(x)</math> סדרה של פונקציותגזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה <math>f</math>, אשר גם גזירה ברציפות,ב-<math>[a,b]</math>.אזי ש-מי אמר שזה <math>f_n' \rightarrow f'</math> במ"ש זה מוסיף עוד חלק משמעותי לפונקציהעל הקטע <math>[a,לא? בכל מקרהb]</math>.* בנוגע למשפט דיני לטורים, אם אני אומר שהטור נניח שיש לי טור <math>u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)</math>, כך ש-<math>a_n(x)>0</math> והטור מתכנס ב-I. מתי אני יודע אם הפונקציה הגבולית רציפה, כך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש מאן שווה 2 אז זה בסדר? .נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף! תודה!!! :)
::מה זה תומר - אם ניקח את הסידרה cosnx ונחלק הכל ב n . האם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש? שהטור או הסדרה מתכנסים בקצב שאינו קבוע באיקס (יש n_0 שתלוי באפסילון בלבד)ומה עם נגזרותיה ? . שינוי של מספר קבוע של איברים ראשונים יכול לכל היותר להזיז את הn_0 הזה כמספר האיברים ששינית. אפילו אם אני אוסיף לטור איבר ראשון שהוא פונקציה בלתי חסומה, עדיין בכל נקודה הטור מתכנס באותו קצב, שכן בכל נקודה הוספתי לטור איבר אחד בגודל כלשהו. לגבי דיני - פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא אמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! .
==כמה שאלותשאלה==*קודם כל, בקשר לדיון הקודם.. אז סה"כ מס' סופי של איברים לא משנה את ההתכנסות הנקודתית + במ"ש?*אפשר להשתמש בזה שln(1+t)<t ללא הוכחה?*אם הוכחתי שטור פונק' מתכנס לא מתכנס במ"ש בקטע הפתוח 0,אינסוף, זה גורר שהוא לא מתכנס גם בקטע החצי סגור?*ושאלה אחרונה - רק כדי לוודא - במבחן הM של וירשטרס, an לא יכול להיות תלוי בX נכון? (התשובה די ברורה מאליה, אבל בכל מקרה..)
שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון:
int(arctan(x)/[(x*(ln(x+1))^2)], x = 0 .. infinity) ניסיתי דיריכלה, חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי. אשמח לעזרה ::מצטרף לשאלה!! איך פותרים את הדבר הזה? (לא ארז/תומר) תנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2]. שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, ושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה-ln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים תודה רבה :) זה לא נכון, כי יש בעיתיות גם בנקודה x=1 וגם באינסוף. ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של האינסוף : אבל אני לא חושב שאמורה להיות בעיה, כי זאת בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני. ::אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x^2) מתכנס (השוואה עם 1/x^2)...::עכשיו בקשר לאינטגרל מ-0 עד 1 אתה יודע ש- ln(1+x)<x לכל x ב-[0,1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x)/x^4 וזה מתבדר ע"פ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [0,1], ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ). :(לא ארז/תומר) עבור האינטגרל מ-0 עד 1, תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x^2 . שים לב ש arctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x)/x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס. ובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא בריבוע... :: האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל זה באמת יהיה טוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס.:: תודה לשניכם :) ==שאלות.==*arctanx חיובי בקטע 1,infinity לא? היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..*במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, אם הגבול יוצא חיובי? לדוגמה, הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x-1..*כאשר אני מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על השונים!]. אם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? בלי קשר לחיוביות/שליליות של אחת הפונקציות.. *בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש לי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"א מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את האינטגרל השני גם? וזהו, תודה רבה!
===תשובה===
*נכון, מספר סופי של איברים כן הוא חיובי.*אם בתחום הפונקציה אי חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה אי שלילית. כמובן שמכפלה במינוס לא משנה התכנסות או התכנסות במ"שאינטגרל*תוכיח את זה... זה גם נכון בתחום מסוים. הוכחה של שורה*כאילו כולל הנקודה אפס? בוודאי אם טור לא מתכנס במ"ש בקטע מסוים, הוא לא מתכנס במ"ש בקטע גדול יותר שמכיל את הראשון.*נכון.. מדובר על טור של מספרים קבועים.
:תודה רבה ארז:כן, אבל כשהפונק' הייתה שלילית, הגבול יצא לי חיובי.אם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי. (.: ובקשר לשאלה ה3 - זה נכון גם לגבי רציפות במ"ש?::לא יכול להיות שהגבול של המנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי::רציפות במ"ש מאינפי 1? כן, הרי רציפות במ"ש ::::: כעיקרון אני מדברת על ההפרש בפונקציה על כל שתי נקודות במרחק מסוים בציר הפונקציה sinx חלקי x*lnx. אם יש רציפות במ"ש בתחום [0.5,1] אני משווה אותה עם sinx חלקי (1 פחות X). (יום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על קטע יש רציפות במ"ש על כל תת קטע שלוהסרבול).בכל מקרה, שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה. אבל הגבול של המנה, כאשר X שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת.. :כי ln שלילית בקטע הזה.::אוקי, אז בעצם מכפילים את הפונק' המקורית ב1- ואז מקבלים גבול חיובי, ואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת ==> כך גם הפונק' המקורית? :נכון
==שאלה==
לגבי מבחן ה-m: הוא עובד גם הפוךהתכנסות במ"ש של ערך מוחלט של טור הפונק' גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?:כבר נשאל בעמוד זה. כן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט
כלומר==שאלה==*הסתבכתי, אפשר עזרה?*נניח שהפונקציה f מוגדרת ורציפה בקטע סגור x=a..b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"ש בקטע זה אם אני מראה שטור ורק אם הסכום הנל(f^n) מתכנס נקודתית בקטע זה. :השאלה לא מנוסחת טוב. מה זה f ומה הוא קשור? מה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוף לבין טור?תיקנתי... מה הבעייה בהגדרה של f פשוט פונקציה f(x) ::שאלתי מה הקשר של f. גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f... האם היא פונקצית הגבול של הטור? האם הפונקציותבסדרה רציפות? : (לא ארז וגם לא תומר) בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n מתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x נקבל f(x<1 (בערך מוחלט, גדול מטור מספרים שמתבדרהלוואי שזה לא היה קופץ כל הזמן). f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc, d בתוך [-1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש. לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa,b עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc,d עבור הטור של x המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה אומר שטור הפונקציות מתבדרכל מה שצריך). אבל למה f(x) בערך מוחלט קטן מ-1?:הסברתי במפורט בתשובה. לא בהכרח f<1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש. אם הוא מתכנס במ"ש ברור שהוא מתכנס. זה כל מה שצריך להוכיח.
===תשובה===
זה לא מבחן m זה טריוויאלי עבור טורים חיוביים (ממבחן ההשוואה של טורים חיוביים) יש התבדרות נקודתית (וממילא אין כזה דבר התבדרות במ"ש)אה.... התבלבלתי בין f_n לf^n.... מצטער.
==בקשר למבחן==אני יודעת שהשאלה הזו חוזרת על עצמה פעמים רבות לפני מבחנים, ובכל זאת; לגבי משפטים מההרצאה, כמו למשל טיילור או לופיטל. אני יודעת את הרעיון הכללי של ההוכחההכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר <math>|f(x)|<1</math>, והוא מתכנס במ"ש כאשר <math>|f(x)|<r<1</math> אבל האם צריך לדעת אותה "לעומק"? כלומר, האם צריך לשים דגש בגלל שהפונקציה רציפה על ההוכחות או שמספיק לרפרף על ההוכחות, לוודא שמבינים אותם ולשים דגש על תרגילים? כי בכל זאת, נאמר לנו שמשפטים גדולים קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (למרות שאני אחרת היא לא יודעת אם אפשר להגדיר את משפט טיילור כמשפט "גדול"הייתה מתכנסת בהם) לא יופיעו במבחן.ולכן התנאי מתקיים.
* על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה <math>|f(x)|<r<1</math> כל שצריך הוא מבחן הM<math>|f(x)^n|<r^n</math>. * על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי <math>|f(x)|<1</math> כל מה שצריך הוא להסתכל נקודתית על הטור <math>\sum |f^n(x)|=\sum a^n</math> כאשר <math>|f(x)|=a<1</math> וזה כמובן מתכנס. * טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר. * על מנת להוכיח שהוא לא מתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל הsup שלה היה אחד:זו שאלה למרצים שכן הם כותבים ניקח סדרה <math>x_n</math> כך ש <math>f(x_n) \rightarrow 1</math> ולכן <math>\lim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow \infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty</math> (נבחר את המבחןn_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף.אנחנו יודעים שזה מותר כי <math>f(x_n)\rightarrow 1</math>)
==שאלה==
אפשר רמז בשאלה 3? הבנתי למה הסדרה מתכנסת אבל אין אם יש לי שום רעיון לגבי המידה פונקציה ואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1, איך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווהלטור בקטע?וגם פה שאלה 4 כוון כללי אם אפשר...http::מצטרפתתומר-מצטרף :) - נסו להסתכל על ההפרש fn - f בערך מוחלט , עבור x שנמצא בקטע סגור //moodle. קטע סגור ורציפות אמור להזכיר לכם רציפות במידה שווה technion.ac.il/file. זהו לבינתיים !::בfnphp/1098/Exams/2004-f אתה מתכוון שf זאת הנתונה או הפונקציה הגבולית? תומר : בהחלט 2005- לא נתונה לנו f אחרת , השאר תלויות ב n spring-test-a.pdf
==רק תיקון טעות=תשובה===בשאלה 4a הגדרתם את הטור מהוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות. מה הכוונה איך אתה מוודה? אם פתחת נכון זה חייב להיות שווה -n=1 למרות שיש בטור הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הביטוי ln n אני מניח שזאת לא הכוונה שלכם להתחכם איתנו אבל בכל זאת...הנקודה אפס כמובן])
:כן תודה כבר תיקנו לנו את זה. תתחילו מn=2
לגבי השאלה השנייה כבר שאלו אותה, תסתכל בארכיון 17 אבל אתה יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של טיילור, למשל הפונקציה f(0)=0 f(x)=מס' שאלות==exp(-1/x^2) s* שאלה כללית: פונק' יכולה להיות גזירה בהיא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (a,bהוא תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס) אב ללא להיות מוגדרת בa או בbמה שאני שואל זה איך הייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, רק שזה לא תמיד לערך הפונקציה? כי אם :אל תבלבל. הקטע עם הבדיקה בנקודה זה רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא גזירה בקדומה של טור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר. באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציה וזה כאשר הנגזרות חסומות (a,bראה את ההשלמה). במקרים אחרים (כמו זה שתארת) אסור סתם להניח שיהיה שיוויון. כן, אזי היא רציפה בקטע פתוח אבל בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילורמה שאתה אומר זהלהתייחס "כאילו" אנחנו לא יודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן? (במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות) :כן. יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, אבל לפי הגדרת הרציפות החד צדדית - הפונק' צריכה גם יכול להיות מוגדרת בקצוותשזה פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הנגזרות מכל סדר... סבבה תודה רבה ==שאלה== המבחן ב15:30 נכון? כמה זמן הוא יארך??? כן, שעתיים ==שאלה== למה הסיגמה של 2* בנוגע לטיילור(n+1)*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?: אם f גזירה פעמיים באתה מתכוון ל<math>\sum \frac{2(n+1)3^n}{\sqrt[a,b3] למה מותר לי לפתח טיילור סביב a למשל{n!}}</math>? המשפט לא דורש גזירות בסביבה של הנק' תקח את השורש הn- לא סביבה חד צדדיתי ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (הרי <math>\sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty</math>) ==התכנסות אינטגרלים==האם האינטגרלים הבאים מתכנסים???*אם אני צריכה להוכיח שsup|f<math>\int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(\theta)}d\theta</math>.* <math>\int_0^1 \frac{dx}{\ln(x)| אינו }</math>* <math>\int_{r=0 בתחום }^{r=1} \frac{\sin(0,infinityr^2) והראיתי שכאשר x}{r}dr</math>.האם אפשר לומר באינטגרל השלישי ש-<math>\int_{0 אזי f}^{1} \frac{\sin(xr^2)-}{r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2</math>infinity, האם זה מוכיח לי בוודאותואז עפ"י השוואה?? (שגם הגבול כשn->infinity בטוח אינו 0?)תודה רבה!
===תשובה===
*לא לשכוח לבדוק אם היא גזירה בקטע הפתוח היא האינטגרל הוא אמיתי בכלל או לא חייבת להיות גזירה בקצוות . למשל השלישי הוא פשוט בעל אי רציפות סליקה באפס ולכן לא מעניין אותנו בכלל אינטגרבילי (גם מה הערך שלה שם. נגזרת חד צדדית רלוונטית אם הפונקציה גזירה בקטע הסגור. דוגמא טריוויאלית: אחד חלקי איקס גזירה ב(0,1שרשמת נכון אבל בלי קשר) אך לא מוגדרת באפס כלל.
*אני לא בטוח מה למדתם בהרצאה. תנסו לראות מה קורה במקרה הקצה הזה. הרי בטח טיילור כפי שהוא במקור לא מתאים לקצה שכן הפונקציה לא חייבת בכלל להיות מוגדרת בצד השני של a. כנראה שאפשר להתאים שם הכל למקרה חד צדדיבראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1.ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם <math>\frac{1}{1-x}</math>
==שאלה== נתונה פונקציה f(x) בקטע [a,b] ונתון שהיא חסומה על ידי M. צריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה גורר ש-f^2 אינטגרבילית. חסימות זה לא בעיה, אבל הסתבכתי עם התנאי השני אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f,g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, כאשר במקרה הזה g=f? :(לא ארז/תומר) ענו כבר על השאלה הזאת... לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, למרות שהוא נכון, כי אז התרגיל טריוויאלי. :הנה ההוכחה- יהי אפסילון גדול מאפס. בכל קטע g(x1)-g(x2)=(f(x1)+f(x2))*(f(x1)-f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע. (g מוגדרת כ f בריבוע). מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון. תומר - ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . מה עם נקודות האי רציפות של הפונקציה שואפת לאינסוף בוודאי הsup בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הערך המוחלט שלה הוא אינסוףהפונקציה המקורית ? ואם כן מה זה אומר על מידתה ? ... מכיוון שלא הזכרת את n בשאלה אני לא מבין איך אפשר להגיע למסקנה כלשהי לגבול עליו
==שאלה==
צריך להוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש. f(x)= sum from 0 to infinity of (e^-nx)* cos(nx) s בכל קטע (a, infinity] כאשר a>0 ניסיתי עם מבחן ה- m ולא הצלחתי.מישהו?אפשר להעלות מבחנים ותרגולים לאתרלהשוות עם e^-n במבחן הM לא? :(לא ארז/תומר ) אני חושב שצריך להשוות עם e^- ראשית , הרעיון an ... עם e^-n וזה עובד. עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(x) שזה הסכום הוא שאת סיכום התירגול האחרון פונקציה רציפה ב(ההשלמה ביום שלישי הקרוב o, infinity) נעלה גם כן . הבעיה זה שזה קטע פתוח ולא סופי.. עדין אפשר להשתמש במשפט על טור של פונקציות רציפות המתכנס במ"ש? :תמיד משתמשים באותו טריק (לא התעמקתי בשאלה,לטובת מי שלא יוכל להגיע וגם , ייתכן שלא נספיק לפתור את מקווה שרלוונטי) אם ההתכנסות היא במ"ש על כל הדוגמאות בזמן שיש לתירגול , תת קטע סגור וסופי אז יהיו לכם שאלות נוספות לראות יוצא שפונקצית הגבול רציפה בכל נקודה בלי שתהיה התכנסות במ"ש על הקטע האינסופי/פתוח כולו.בנוסף - == תרגיל נוסף (11) על סדרות , טורי פונקציות וטורי חזקות , יינתן - אך ללא הגשה , ופיתרון שלו יפורסם בסמוך לפירסומו .==מעבר לכך - אשאל מישהו יכול לכתוב שוב את המרצים לגבי מבחנים בעבר - הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, הלינקים לא ידוע עובדים לי האם הם לימדו את הקורס , ובכל אופן ניתן לארגן שאלות נוספות פתורות/מודרכות/רמוזות . :ארכיון 16...
==שאלה==
למה לנגזרת יכולות להיות רק אי רציפות מסוג שנימתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני יודע שיש לנו אותם, הכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/10 אם אני לא טועה) והאחוזים מהציון הסופי? מצטרף!! תומר - יפורסם בשעות הקרובות . אני עצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(!) . סבלנות . יש חדש?
==שאלה==
אוקי, נניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"ש ב0,אינסוף (חצי סגור) וב[0,1]. קודם כל בדקתי את 0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש.התחום השני, [0,1], מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה עבור אלפא גדול מ2-. מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא? ===תשובה===לכאורה כן, אני לא מבין מה השאלה. הרי ברור שאם זה מתכנס במ"ש לכל אלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא. השאלה האמיתי היא אם החישובים שלך נכונים.:השאלה היא כזו - הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש ב0,infinity. רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש גם ב[0,1]. זה נכון? ::הדגש הוא על הקטע הסגור? אם יש התכנסות באפס אז כן, אם לא אז לא:::כן, מדובר על קטעים סגורים. תודה:) אני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(לא כולל הוא עצמו)- הפונקציה מתכנסת, ואח"כ הוא אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה.....?:זה נכון לגבי טור חזקות, אני לא בטוח איך אפשר זה קשור פה. ::יש עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה נראה לי מוזר להוכיח משהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד. למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב??? :::לא פה בפורום, התכוונתי פה בשאלה הזו... רדיוס התכנסות זה מושג של האינטגרל הלא אמיתי מטור חזקות, וכאן מדובר על סדרת פונקציות. ==שאלה==מצטער על הבורות רגע לפני המבחן-0 עד אינסוף מה זה גזירה איבר-איבר? ואינטגרציה איבר איבר? בבקשה שלא יהיה מסובך.... ===תשובה===נניח ויש לך טור מתכנס <math>g=\sum f_n</math>. השאלה היא מהי הנגזרת של g. אם מותר לגזור איבר-איבר אזי <math>g' = \sum f_n'</math>. שים לב שזה לא תמיד נכון, רק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-איבר. אינטגרציה זה דומה <math>\int g = \frac{sum \sin(x)}{x}int f_n</math> ==שאלה==אם טור חזקות מתכנס גם בR וגם בR-, זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[0,R] וב[-R,0] ואז זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-R,R]? ===תשובה===כן. באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש בשני קטעים סגורים צמודים הוא מתכנס במ"ש באיחוד הקטעים. כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של שני הקטעים. == :)==שיהיה בהצלחה לכולם! לא פחות מ100 :) תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :):תודה, ותודה לכם על סמסטר נפלא (עד כמה שהיה אפשר. אינפי, אתם יודעים). תודה על התרגולים המצויינים, אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (האתר, וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?:ושיהיה בהצלחה לכולם! ==לארז ולתומר==רגע אחרי המבחן, וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את הכל בשבילם, רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש, ת-ו-ד-ה ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך! מצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...:מצטרפת.. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-wiki..מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(בטוח יהיה...!!) ::תודה רבה על כל האיחולים - המתרגלים. (בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס) אני מסכים לגמרי עם כל השאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P=אני רק לא מבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)... כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי ראיתם את המבחן כבר... לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך.כל מה שאני מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם!תודה על הכול (וזה בשיא הכנות) כי באמת השקעתם בנו ===תשובה===אני אענה לשאלה שלך בשני מישורים* הראשון והחשוב יותר: מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ו'''לא''' להכין אתכם למבחן. הכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן). קשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, אך אתם מגיעים על מנת ללמוד. הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את המבחן. *שנית, אני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת:**שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (הוא היה לפני שראינו את המבחן). אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (אני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן). אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.**שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (אני העברתי אותה ותומר לא).**יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.**שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים... מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא כיף, בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!:זה לא רק דוקר, זה גם צמיגי :P::מתי יעלו ציוני תרגיל? :::אנחנו נעלה אותם היום==יש לי שאלה==האם בשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס(הוכחה של התכנסות לאפס לא התכנסות במש)? ===תשובה===כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת) ==שאלה== למה מופיע לי ציון 0 בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו? :S :זו שאלה פילוסופית? ==הודעה== יש ציונים!!== מבחן == היה פקטור במבחן? ואם כן של כמה? מצטרף לשאלה... מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב או לאבקיצור ממש חשוב לנו לעת האם היה פקטור... :תשאלו את המרצים, אנחנו (המתרגלים) לא יודעים.