'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 15| ארכיון 15]]''' - תרגיל 10
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 16| ארכיון 16]]''' - לקראת המבחן
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 17| ארכיון 17]]''' - לקראת המבחן
=שאלות=
==שאלה==
בבוחן, בשאלה 1, היה אפשר גם להוכיח את האי השיוויון הימני עם טיילור עבור x0=0,n=2 לא?
יהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים?:לא נראה שידוע לי, אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, אם לא אז לא תומר - מה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ??? הגיון חבר"ה , הגיון ! ==שאלה== תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של האינטגרלים של הפונקציות?תודה תומר - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך .ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל אז צריך לבדוק כל מקרה לגופו.. מאיפה אנחנו יודעים איך השארית משפיעה?
==שאלה==
נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם אני רוצה לחשב את סכום הטור |fn| מתכנס במ"ש בI, אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI? *נקודתית זה ברור מאינפי 1. לבמ"ש ההוכחה דומה. שארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, כלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט. ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש, האם זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש? *ברור שלא.... אינפי 1. <math>\sum _{nfn=(-1}^\infty \frac{1}{2)^n n}</math> לא מתכנס בכלל, אבל כשאני מפרק אותו לאינטגרל לפי רימן (חלוקה הערך המוחלט מתכנס במ"ש. יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא? המשפט הראשון בעמוד הראשון של <math>\frac{1}{n}<הסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים??? *נכון מאד, הסרתי את הסיכום. המשפט אומר שאם יש מקסימום/math> מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (לדוגמא x^3) אז אני מקבל שזה שווה לאינטגרל. שאלה: <math>\int _0 ^\infty \frac{1}{2^איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x}dx</math> וזה יוצא <math>\frac{1}{\lnבאפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(2נכון?)}</math> תודה. *הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x למשל מתבדר. למה אם f פונקציה רציפה, למרות שהסכום לפי מה שבדקתי אמור לצאת <math>\lnמחזורית ואי-שלילית בממשיים(2f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)</math> . איפה הטעות שליx^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף? אני מניח שהיא איפה שהמרתי סכום לאינטגרל ? הרי f חסומה מהנתונים,לא אמיתי? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(x)/x מ1 עד אינסוף מתבדר... איך אפשר לחשב את זה בכל מקרהואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???
===תשובה===
קודם כל אין פה כלל חלוקת רימן (שכן המרחק בין נקודות הדגימה הוא אספוננציאלי עולה, ואילו האורכים הולכים ויורדים לאפס). אפילו אם הייתה, זו חלוקה אינסופית אחת ולא גבול של חלוקות.
פותרים את זה בדיוק כפי שפתרנו אתמול בכיתהתומר - כמה שאלות , כמה שאלות ! :) לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , במידה שווה - ראה משפט שהוכחתם . נגדיר <math>S(x)=\sum \frac{1}{n}x^n</math> קל לראות שרדיוס ההתכנסות הוא אחד ולכן זה טור חזקות שמתכנס במ"ש בסביבה או - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של חצי. ברור שסכום הטור שמעניין אותנו הוא <math>S(\frac{1}{2})</math>. מכיוון שההתכנסות היא קריטריון קושי להתכנסות במ"ש מותר לגזור איבר איבר ולקבל <math>S'(x)=\sum x^{n-1} = \frac{1}{1-x}</math>! .
לכן <math>S(x)=\int_0^x Sאינטגרל ממינוס אינס'(t)dt=לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא תלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף . זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם -ln(1PRINCIPAL VALUE -x)</math> אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! .
ולכן <math>S(\frac{1}{2})=לגבי שאלה אחרונה -ln(\frac{1}{2})=ln2</math>תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס .
==שאלה מסודרת ==
נתונה פונקציה fרציפה,מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (f(x)/x)/x^2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, כי האינטגרל של x^2 מתכנס...
===תשובה===(לא ארז/תומר) נראה לי שהטעות שלך היא כזו , כשאתה עשית את מבחן ההשוואה, עשית את זה עם הפונ' x^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 עד כדי טעותאינסוף (אתה מתבלבל עם 1/x^2). :אבל אמרתי בקטע 1 עד אינסוף...לא מאפס!::הוא העיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. x^2 זו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי. ובנוגע להוכחה , אני עשיתי את זה בדרך הבאה: נסמן את המחזור של F כ-T, אנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, לכן יש נקודה X0 בקטע [1,1+T] כך ש- (''f''(''x0'' שווה ל-M גדול ממש מאפס.מכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a,b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f(x)>M/2 (או אפילו גדול שווה, זה לא משנה) וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n*T,b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת.
הערה: זה תרגיל נחמד שנותן לנו נוסחא לחישוב lnx עם דיוק אספוננטציאלי עבור x>1 (עבור x<1 ניקח את <math>ברור כי שתי הפונ' אי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כש-ln(\frac{1}{x})</mathR>). הנוסחא <math>ln(x)=-ln(\frac{1}{x})=-ln(1F רציפה בכל קטע כזה, ול-\frac{x-1}{x}G יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים)=S(\frac{x-ולכן אם האינטגרל של G בטע 1}{x})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(\frac{x-1}{x})^n</math>עד אינסוף מתבדר, כך גם האינטגרל הלא אמיתי של F.
נחמד מאודועכשיו, הבנתי! על הטריק עם ה-ln שכתבת בהערה אני להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, זה לא חושב שהייתי מצליח לעלותכזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל אני אזכור אותו עכשיובטוחשאפשר בעוד דרכים, תודה רבה!!ואין לי כח לכתוב את זה) ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x
==שאלה==
יהי למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<mathg ו f>\sum _{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי g והאינטגרל של f מתכנס, ו- <math>f_n (x)</math> סדרת פונקציותלא אמיתי, כך שלכל n טבעי מתקיים: <math>|f_{n+1}(xבשנ הסוגים הוא אמר ככה...)-f_n(x)|<a_n</math> . הוכח או הפרך : <math>f_n</math> מתכנסת במידה שווהאז האינטגרל של g מתכנס.הוא לא אמר שאם g מתבדר גם f מתבדר,זה לא נכון??
===תשובה===המשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון. לא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, לכן אם g מתבדר אזי f מתבדר. ==שאלה== בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?:: [לא תומר או ארז] לי דווקא יצא 1==שאלה==אם אני מתקשה להבין את הבעייה צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימן, והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של ההתכנסות במ"ש במקרה פונק' אינטגרבילית(!) אחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון. האם זה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה השניה?:הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי? ==שאלה==נתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"י M.צ"ל שf^2 אינטגרבילית באותו קטע.. אז אחרי יש דרך להראות את זה לא ע"י הרכבת פונקציות (שבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)?מהי הדרך? :הנתון על חסימות מיותר איך שלא הצלחתי להפריךתסתכל על זה, ניסיתי להוכיח, וראיתי שזה קרוב יותר לקריטריון שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן חסומה) אבל יש דרך להראות את זה חוץ מהרכבה של קושי להתכנסות במ"שפונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית? תומר - מידת קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה החדשה היא אפס ? ... (לא ארז/תומר) כן יש פיתרון אחר, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות.f^2 חסומה (ברור), אז מספיק ונותר להראות שאם את התנאי השני.בקשר אליו, קל להראות ש w(f^2)<= w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), ומכאן קל להמשיך. מראים את זה כך, לכל k יש n טבעי שעבורו x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים:f(x1)^2-f(x2)^2<math>|f_{n=(f(x1)-f(x2))*(f(x1)+f(x2)), ומכאן זה ברור ==שאלה==התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0,1}] כך שfn(x)-f_n->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של fn מ0 עד 1 אינו שווה ל0. - האם הפונקציה x^n(x^n-1)|<k</math> qq מקיימת את הדרוש? הפונק' אכן רציפות ב[0, אז גם נובע שלכל m>n מתקיים התנאי של קושי1], פונקצית הגבול היא 0, אבל זה בדיוק מה שאני לא מצליח להראות... איך האינטגרל יוצא, אם אני יכול להפריך ע"י מציאת סדרת פונקציות שהפרש של כל פונקציות קרובות שואף לאפסלא טועה, אבל כשה-1/n גדל הפונקציות החדשות שנוצרות רחוקות יותר עד כדי חוסר התכנסות במידה שווה או אפילו חוסר התכנסות?פחות 1/(2n+1)..
===תשובה===
זה תרגיל מאינפי 1 בתכלס.אתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא '''שואף''' לאפס? כי כמעט כל סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (למשל הסדרה של הפונקציות הקבועות <math>|f_m-f_n|=|f_m-f_\frac{m-1}+f_{m-1}-....+f_{n+1}-f_n|\leq a_m+...+a_n</math>).
אבל לפי תנאי קושי להתכנסות טורים הצד הימני קטן מאפסילון.אם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, קח סדרה של פונקציות הבאה:אהההה, הבנתי, וזה מתקיים עבור הגרף של הפונקציה ה-n,m גדולים מספיק הוא משולש עם בסיס <math>\frac{1}{n}</math> בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. הסדרה הזו שואפת לאפס (כלומר שגדולים מ-n0 התחלתיכמובן שלא במ"ש)והאינטגרל על כל פונקציה בסדרה הוא תמיד 1... יפה! הייתי צריך לנסות לקשר את זה לסכום הטור... תודה רבה :) !!!
==שאלה==
אני מוכרח להביןנראית נחמדה. f:[0, מה בעצם המשמעות 1] ---> R היא פונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f(x)<=sinx לכל x בתחום. צריך למצוא את כל פתרונות המשוואה: cosx+quad(f,0,x)-1=0.(קוסינוסX ועוד האינטגרל של "f מ0 עד x פחות 1 = 0.)מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואה, לא הצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/למצוא פתרון נוסף. ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי למשהו שמוכיח. יש רעיון למישהו?::מישהו?? :::אם f=sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס. אם f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפס ==שאלה==מישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, ומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? תודה.:כדאי? תמיד. מותר? כאשר יש התכנסות במידה שווהבמ" ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה. ==שאלות מעניינות==* הוכח או הפרך:תהי <math>f_n(x)</math> סדרה של סדרת פונקציותגזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה <math>f</math>, אשר גם גזירה ברציפות,ב-<math>[a,b]</math>.אזי ש- <math>f_n' \rightarrow f'</math> במ"ש על הקטע <math>[a,b]</math>.* בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור <math>u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)</math>, כך ש-<math>a_n(x)>0</math> והטור מתכנס ב-I. מתי אני יודע אם הפונקציה הגבולית רציפה, כך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש.נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף! תודה!!! :) תומר - אם ניקח את הסידרה cosnx ונחלק הכל ב n . האם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש ? זומה עם נגזרותיה ? ... לגבי דיני - פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא אמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! . ==שאלה== שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון: int(arctan(x)/[(x*(ln(x+1))^2)], x = 0 .. infinity) ניסיתי דיריכלה, חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי. אשמח לעזרה ::מצטרף לשאלה!! איך פותרים את הדבר הזה? (לא ארז/תומר) תנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2]. שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, ושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה-ln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים תודה רבה :) זה לא נכון, כי יש בעיתיות גם בנקודה x=1 וגם באינסוף. ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של האינסוף : אבל אני לא חושב שאמורה להיות בעיה, כי זאת בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני. ::אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x^2) מתכנס (השוואה עם 1/x^2)...::עכשיו בקשר לאינטגרל מ-0 עד 1 אתה יודע ש- ln(1+x)<x לכל x ב-[0,1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x)/x^4 וזה מתבדר ע"אפ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [0, 1], ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ). :(לא ארז/תומר) עבור האינטגרל מ-0 עד 1, תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x^2 . שים לב ש arctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x)/x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס. ובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא בריבוע... :: האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל זה באמת יהיה טוב לדעת מה המשמעות הגרפית של קורה גם אם זההיה אפס.:: תודה לשניכם :) ==שאלות.==*arctanx חיובי בקטע 1, בלי שימוש באפסילון וכinfinity לא? היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..*במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק'וחיובית עם פונק' שלילית, אם הגבול יוצא חיובי? מה בעצם הלדוגמה, הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x-1..*כאשר אני מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על השונים!]. אם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? בלי קשר לחיוביות/שליליות של אחת הפונקציות.. *בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש לי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"מידה שווהא מסוג ראשון והשני ל" כאןא מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את האינטגרל השני גם? וזהו, תודה רבה!
===תשובה===
המשמעות היא שבכל נקודה בפונקציה ההתכנסות היא באותה מהירות פחות או יותר*כן הוא חיובי. גרפית, אתה מעתיק את פונקצית הגבול אפסילון למעלה ואפסילון למטה, ואז החלק מn_0 מסויים כל הפונקציות בסדרה מצויירות בגרף בין שתי ההזזות של פונקצית הגבול*אם בתחום הפונקציה אי חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה אי שלילית.כמובן שמכפלה במינוס לא משנה התכנסות אינטגרל*נכון.*נכון
במילים אחרות::כן, הפונקציות נמצאות במרחק אבל כשהפונק'קבוע' מפונקצית הייתה שלילית, הגבול ללא תלות באיקסיצא לי חיובי. למה זה עוזר? למשל רציפותאם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי. תהי סדרת פונקציות רציפות. ניקח פונקציה f_n מהסדרה עבור n מספיק גדול, ונקח סביבה קטנה :::לא יכול להיות שהגבול של x_0 כלשהוהמנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי::::::: כעיקרון אני מדברת על הפונקציה sinx חלקי x*lnx. מתוך רציפותבתחום [0.5, f_n שולחת את סביבה של x_0 קרוב מאד לf1] אני משווה אותה עם sinx חלקי (x_01 פחות X). אבל(יום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על הסרבול). בכל מקרה, f_n שולחת כל נקודה בסביבה לגובה קרוב מאד לפונקצית שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה. אבל הגבול באותה נקודה של המנה, כאשר המרחק לא תלוי בבחירת הנקודהX שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת. לכן גם כל הסביבה של פונקצית הגבול קרובה מאד לf(x_0( ויוצא שגם פונקצית הגבול רציפה.
:כי ln שלילית בקטע הזה.::אוקי, אז בעצם מכפילים את הפונק' המקורית ב1- ואז מקבלים גבול חיובי, ואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת ==שאלות> כך גם הפונק' המקורית? :נכון ==שאלה==קודם כל, בקשר לאינטגרביליותהתכנסות במ"ש של ערך מוחלט של טור הפונק' גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?:כבר נשאל בעמוד זה. לפי הגדרת רימןכן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט ==שאלה==*הסתבכתי, מותר לדלתא להיות תלויה במס' הקטעים - nאפשר עזרה?*עוד שאלהנניח שהפונקציה f מוגדרת ורציפה בקטע סגור x=a. באחד המשפטים בכיתה, רוני כתב משהו כמו .b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"g אינטגרבילית ולכן לכל אפסילון>0 קיימת דלתא, כך שלכל חלוקה T המקיימת שפרמטר החלוקה שלה קטן מדלתא, יתקיים: sש בקטע זה אם ורק אם הסכום הנל(tf^n) עליון פחות sמתכנס נקודתית בקטע זה. :השאלה לא מנוסחת טוב. מה זה f ומה הוא קשור? מה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוף לבין טור?תיקנתי... מה הבעייה בהגדרה של f פשוט פונקציה f(tx) תחתון קטן מאפסילון (סליחה על הכתיבה המסורבלת ::שאלתי מה הקשר של f.גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f.).. האם היא פונקצית הגבול של הטור? האם הפונקציות בסדרה רציפות?זה : (לא אמור להיותארז וגם לא תומר) בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n מתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x נקבל f(x<1 (בערך מוחלט, שלכל אפסילון קיימת חלוקה 'אחת' T שמקיימת את זה? זה הלוואי שזה לא עירבוב היה קופץ כל הזמן). f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc,d בתוך [-1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש. לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa,b עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc,d עבור הטור של 2 הגדרות?x המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה כל מה שצריך).תודה רבה אבל למה f(x) בערך מוחלט קטן מ-1?:הסברתי במפורט בתשובה. לא בהכרח f<1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש. אם הוא מתכנס במ"ש ברור שהוא מתכנס. זה כל מה שצריך להוכיח.
===תשובה===
מה זאת אומרת מותר לדלתא? יש פרמטר חלוקה - אורך הקטע הגדול ביותראה. הסכומים מתכנסים אם ... התבלבלתי בין f_n לf^n.... מצטער. הכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר <math>|f(x)|<1</math>, והוא מתכנס במ"ש כאשר <math>|f(x)|<r<1</math> אבל בגלל שהפונקציה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (אחרת היא לא הייתה מתכנסת בהם) ולכן התנאי מתקיים. * על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה <math>|f(x)|<r<1</math> כל החלוקות החל מפרמטר חלוקה מספיק קטן שצריך הוא מבחן הM<math>|f(דלתאx) הסכום קרוב לגבול עד כדי אפסילון^n|<r^n</math>. אין פה שום קשר למספר הקטעים בחלוקה. דלתא תלוי בלבד באפסילון, בפונקציה ובקטע * על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי <math>|f(x)|<1</math> כל מה שצריך הוא להסתכל נקודתית על הטור <math>\sum |f^n(x)|=\sum a^n</math> כאשר <math>|f(x)|=a<1</math> וזה כמובן מתכנס.
קודם כל תבדיל בין הגדרה לבין משפט. הגדרה להתכנסות יש רק אחת. כל שאר התנאים להתכנסות שקולים* טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר.
בוודאי שאין חלוקה יחידה כזו, הרי כל עידון של החלוקה יקיים את התנאי גם כן. יכול להיות שבהוכחה שלו הוא יכל לרשום פחות דברים, * על מנת להוכיח שהוא לא מתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל אין ספק שזה מוכיח.הsup שלה היה אחד: ניקח סדרה <math>x_n</math> כך ש <math>f(x_n) \rightarrow 1</math> ולכן ::::זה נכון שעידון של החלוקה יקיים את התנאי, אבל הוא טען שכל T שיקיים שפרמטר החלוקה שלו יהיה קטן מדלתא, יקיים את החלוקה. למה זה נכון? אני מסכים שלעידון זה יהיה נכון, אבל לא בהכרח לכל T כנ"ל.<math>\lim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow \infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty</math>
:::::אני מניח שאחר כך הוא הוכיח שבמקרה המסויים זה מתקיים. כמו שאמרתי, יכול להיות שהוא הוכיח יותר ממה שצריך, אבל אם הוא הוכיח, מה רע? שנית, עבור פרמטר חלוקה מספיק קטן המרחק בין הסכום העליון לגבול והמרחק בין הסכום התחתון לגבול הם אפסילון חלקי שתים. לכן המרחק ביניהם הוא אפסילון(נבחר את n_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף.אנחנו יודעים שזה מותר כי ::::::בקשר למשפט הראשון - הוא לא ניסה להוכיח כלום בהתחלה. הוא פשוט הסיק מהנתון, שאם G אינטגרלית אז בוודאי מתקיים מה שכתבתי למעלה..::::::: אוקיי. כמו שהסברתי, זה נכון.<math>f(x_n)\rightarrow 1</math>)
==שאלה==
בתרגיל 3 אם יש לי פונקציה ואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1, איך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע?וגם פה: שאלה 4 כוון כללי אם אפשר...http://wwwmoodle.math.tautechnion.ac.il/~boazslomfile.php/hedva21098/ExercisesExams/ex2004-022005-spring-test-a.pdfבפתרונות ===תשובה===הוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות. מה הכוונה איך אתה מוודה? אם פתחת נכון זה חייב להיות שווה - הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם טוענים שמכיוון שf גזירהצעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הנקודה אפס כמובן]) לגבי השאלה השנייה כבר שאלו אותה, ניתן להציב xתסתכל בארכיון 17 אבל אתה יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של טיילור, למשל הפונקציה f(0)=0 f(tx)=exp(-1/x^2) sהיא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (הוא תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס)מה שאני שואל זה איך הייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, רק שזה לא תמיד לערך הפונקציה? :אל תבלבל. הקטע עם הבדיקה בנקודה זה רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה של טור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר. באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציה וזה כאשר הנגזרות חסומות (ראה את ההשלמה). במקרים אחרים (כמו זה שתארת) אסור סתם להניח שיהיה שיוויון. כן, אבל בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילורמה שאתה אומר זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא ממש הבנתי יודעים את הקשרזה ולעבוד בשיטות אחרות כן? (במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות) :כן. יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, מישהו אבל גם יכול להסבירלהיות שזה פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הנגזרות מכל סדר... סבבה תודה רבה ==שאלה== המבחן ב15:30 נכון? כמה זמן הוא יארך??? כן, שעתיים ==שאלה== למה הסיגמה של 2*(n+1)*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?:אתה מתכוון ל<math>\sum \frac{2(n+1)3^n}{\sqrt[3]{n!}}</math>? תקח את השורש הn-י ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (הרי <math>\sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty</math>) ==התכנסות אינטגרלים==האם האינטגרלים הבאים מתכנסים???* <math>\int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(\theta)}d\theta</math>.* <math>\int_0^1 \frac{dx}{\ln(x)}</math>* <math>\int_{r=0}^{r=1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr</math>.האם אפשר לומר באינטגרל השלישי ש-<math>\int_{0}^{1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2</math>, ואז עפ"י השוואה???
===תשובה===
strictly monotonic כלומר מונוטונית '''ממש'''לא לשכוח לבדוק אם האינטגרל הוא אמיתי בכלל או לא. זה התנאי לכך שתהיה לה הופכית ואז תוכל לבצע את ההצבה. כמובן שגם העובדה שהפונקציה גזירה נחוצה למשל השלישי הוא פשוט בעל אי רציפות סליקה באפס ולכן אינטגרבילי (על מנת שההופכית תהיה גזירה, חוץ אולי מנקודה אחתגם מה שרשמת נכון אבל בלי קשר).:אופס, התכוונתי לכתוב מונוטונית ממש מלכתחילה ובטעות כתבתי גזירהבראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1. בכל מקרה תודה רבה (:ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם <math>\frac{1}{1-x}</math>
==שאלה==
האם גזירה ברציפות משמעותה:
1)יש נגזרת
2)הנגזרת רציפה
בלבד?
תודה
תומר - כמו שאמרת - יש נגזרת והנגזרת הזו היא נתונה פונקציה רציפה f(x) בקטע [a,b] ונתון שהיא חסומה על ידי M.
צריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה גורר ש-f^2 אינטגרבילית.
חסימות זה לא בעיה, אבל הסתבכתי עם התנאי השני
ארז ותומר- אתם יכולים להגיד כבר מעכשיו אם יותר השימוש במחשבונים במבחן? בבקשה תרשו- מה אכפת לכם? זה לא יכול להזיק לכם, ואותנו זה מרגיע..... תודה.
:זה מבחן לא בוחן. החלטה של המרצים. מוזמנים לשאול אותם...אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f,g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, כאשר במקרה הזה g=f?
תומר - יש סיבה :(לא להרשות שימוש במחשבון ארז/תומר) ענו כבר על השאלה הזאת... יש שאלות שנראה ששימוש במחשבון יכול לעזור לפתור אותן ( כמו במועד ב בבוחן שהיהלדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, למרות שהוא נכון, כי אז התרגיל טריוויאלי.:הנה ההוכחה- יהי אפסילון גדול מאפס.בכל קטע g(x1)-g(x2)=(f(x1)+f(x2))*(f(x1)-f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע.(g מוגדרת כ f בריבוע) אבל פיתרון מבוסס על חישוב במחשבון לא התקבל ! הנימוקים צריכים להיות מבוססי הוכחה מתמטית ולא חישוב נקודתי . מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון.
ארז תומר - מצטרףומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . מה עם נקודות האי רציפות של הפונקציה בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ? ואם כן מה זה אומר על מידתה ? . מחשבון, מייפל, מטלב, וספרי לימוד הם כלים מאד חשובים למתמטיקאים. בשעת מבחן נבדקת היכולת המתמטית ללא חומרי עזר.
==בקשר למבחן שהעליתםשאלה==קודם כלצריך להוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש. f(x)= sum from 0 to infinity of (e^-nx)* cos(nx) s בכל קטע (a, תודה רבה infinity] כאשר a>0 ניסיתי עם מבחן ה- m ולא הצלחתי.מישהו?אפשר להשוות עם e^-n במבחן הM לא? :) אבל (לא מצאתי אלא שאלה אחת ארז/תומר) אני חושב שצריך להשוות עם e^-an ... עם e^-n וזה עובד. עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(אם בכללx) שזה הסכום הוא פונקציה רציפה ב(o, infinity). הבעיה זה שזה קטע פתוח ולא סופי.. עדין אפשר להשתמש במשפט על כל החצי הראשון טור של הקורס, שחשוב לא פחות מהחצי השני פונקציות רציפות המתכנס במ"ש? :תמיד משתמשים באותו טריק (אינטגרלים לא אמיתייםהתעמקתי בשאלה, טורי חזקות וכו'מקווה שרלוונטי)אם ההתכנסות היא במ"ש על כל תת קטע סגור וסופי אז יוצא שפונקצית הגבול רציפה בכל נקודה בלי שתהיה התכנסות במ"ש על הקטע האינסופי/פתוח כולו. יש מבחנים שכוללים גם == תרגיל 11 ==מישהו יכול לכתוב שוב את החומר הזה? הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, הלינקים לא עובדים לי. :ארכיון 16... ==שאלה==מתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני יודע שיש לנו אותם, הכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/10 אם אני לא טועה) והאחוזים מהציון הסופי? מצטרף!! תומר - האם הבוחן הוא אינדיקטור טוב להבנת החומריפורסם בשעות הקרובות . אני עצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(!) . סבלנות . יש חדש? כלומר ==שאלה==אוקי, השאלות שם סהנניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"כ מסכמות את החומר ברמה די גבוהה? ובנוסףש ב0, לגבי המועד ב' שהעליתםאינסוף (חצי סגור) וב[0, שאלה אחת1]. הוכחנו לפי משפט לבג בדיוק קודם כל בדקתי את אותו המשפט0 אינסוף, רק שלא נדרש שהנגזרת תהיה רציפהוהגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש. למה דורשים את זה כאן? בכלל בפתרונותהתחום השני, הם אומרים שg*f (הרכבה) היא הרכבה של פונק' רציפות[0, אבל לא בטוח בכלל שf רציפה.1], מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה עבור אלפא גדול מ2-.מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?
===תשובה===
איך היית מגדיר את שאלות 5 ו6 במועד א' ושאלה 5 במועד לכאורה כן, אני לא מבין מה השאלה. הרי ברור שאם זה מתכנס במ"ש לכל אלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא. השאלה האמיתי היא אם החישובים שלך נכונים.:השאלה היא כזו - הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש ב0,infinity. רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש גם ב'[0,1]. זה נכון?
אני רואה שהם למדו גם חומר שאנחנו לא למדנו::הדגש הוא על הקטע הסגור? אם יש התכנסות באפס אז כן, מן הסתם המבחן יהיה על מה שכן למדנו. אי אפשר להסיק ממבחן של שנה מסוימת בדיוק מה יהיה או אם לא יהיה במבחן. על מנת שמבחנים אז לא ימשכו שעות תמיד משמיטים חומר מסוים:::כן, והחומר הזה יכול להתחלף משנה לשנה וממועד למועדמדובר על קטעים סגורים.תודה:)
למעשהאני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(לא כולל הוא עצמו)- הפונקציה מתכנסת, אי אפשר בכלל לדעת מראש מה יהיה במבחן ואח"כ הוא אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה.....?:)זה נכון לגבי טור חזקות, אני לא בטוח איך זה קשור פה.
::יש עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה נראה לי מוזר להוכיח משהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד. למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב???
לגבי השאלה השנייה, יכול להיות שהם :::לא לימדו לבג בשנה שעברהפה בפורום, התכוונתי פה בשאלה הזו... רדיוס התכנסות זה מושג של טור חזקות, ולכן נתנו שאלה חלשה יותר אבל פתירהוכאן מדובר על סדרת פונקציות.
שנית, אתה צודק f אינה רציפה, אחרת זו ==שאלה טריוויאלית לחלוטין (כל פונקציה רציפה ==מצטער על קטע סגור אינטגרבילית שם):תראו איזה מהירות, שלחתי לרוני את הבעייה שרשמת, והוא כבר החזיר לי גרסא מתוקנתהבורות רגע לפני המבחן- מה זה גזירה איבר-איבר? ואינטגרציה איבר איבר? בבקשה שלא יהיה מסובך. העלאתי אותה...::תודה רבה :). בכל מקרה, אני רוצה לומר תודה על כל הפורום הזה וההשקעה האינסופית..
==תרגיל=תשובה===* נגדיר נניח ויש לך טור מתכנס <math>f(x)g=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}sum f_n</math>. הוכיחו שהשאלה היא מהי הנגזרת של g. אם מותר לגזור איבר-איבר אזי <math>fg'(x)=f(x)\sum f_n'</math>. שים לב שזה לא תמיד נכון, רק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-איבר.
(לא ארז/תומר) קודם כל- זהו טור חזקות שמתכנס במ"ש לכל x ממשי. לכן ניתן לגזור איבר איבר. ואז אינטגרציה זה דומה <math>f'(x)=\sum_{nint g =0}^{\infty}sum \frac{n*x^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n*x^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}=f(x)</math>.השוויון השני נכון כי עבור n=0 נקבל אפס. בשוויון הלפני אחרון החלפתי משתנה: <math>i:=n-1int f_n</math>
==שאלה==
אם טור חזקות מתכנס גם בR וגם בR-, זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[0,R] וב[-R,0] ואז זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-R,R]?
:זה שאתה לא אני זה לא מפתיע, כי אני רשמתי את השאלה :) רק דילגת על חלק עיקרי בהוכחה, מדוע הטור ===תשובה===כן. באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש לכל x ממשי? זה נכון בכלל?בשני קטעים סגורים צמודים הוא מתכנס במ"ש באיחוד הקטעים. כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של שני הקטעים.
(מישהו אחר== :) זה נכון כי לפי המבחן של קושי עם הגבול העליון, הגבול של שורש nי של n==שיהיה בהצלחה לכולם! הוא אינסוף, ולכן הגבול של 1 חלקי זה הוא 0, ולכן הרדיוס הוא אינסוף. ואז אפשר להמשיך כמו שהבחור הקודם הראה, או להראות שan שווה בדיוק לפיתוח לטור חזקות של e^x שמקימת שהנגזרת שווה לפונקציהלא פחות מ100 :)
תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :):::נתבונן בפונקציה <math>gתודה, ותודה לכם על סמסטר נפלא (xעד כמה שהיה אפשר. אינפי, אתם יודעים)=e^x</math> בקטע הסגור <math>[-r. תודה על התרגולים המצויינים,r]</math>אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (האתר, וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?לכל x בקטע ולכל n טבעי מתקיים:ושיהיה בהצלחה לכולם!
<math>|f^{(n)}(x)|=|e^x|<e^r</math>=לארז ולתומר==רגע אחרי המבחן, וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את הכל בשבילם, רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש, ת-ו-ד-ה ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך!
לכן בכל קטע סגור כזה ניתן לפתח את הפונקציה לטור חזקות, שזה בדיוק הטור בשאלה.
הטור מתכנס בכל קטע סגור כזה, לכן הוא מתכנס (נקודתית) על כל הישר הממשי, כלומר יש לו רדיוס התכנסות אינסוף.
לכן הוא מתכנס במ"ש בכל קטע סגור על הישר.
לכן ניתן לגזור איבר איבר כמו למעלה.
מצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...
:מצטרפת.. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-wiki..
מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(בטוח יהיה...!!)
* אי אפשר להשתמש בפיתוח של e^x ובעובדה שהוא הנגזרת של עצמו, הרי זה מה שאתם מתבקשים להוכיח.*רדיוס ההתכנסות הוא אכן אינסוף ולכן טור החזקות מתכנס במ"ש ::תודה רבה על כל קטע סופי, ולכן מותר לגזור איבר איבר על כל קטע סופי. זו אכן התשובההאיחולים - המתרגלים. (זה לא אומר שהטור מתכנס במ"ש על כל הממשייםבלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס).
למה אי אפשר? אם אני מראה שאת e^x אפשר לפתח לטור חזקות והרדיוס התכנסות שלו זה אינסוף, ומראה שהטור חזקות זה בדיוק הטור הזה. זה לא אומר שהנגזרת שווה לפונקציה כמו e^x?
אני מסכים לגמרי עם כל השאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P=אני רק לא מבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)... כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי ראיתם את המבחן כבר... לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך.כל מה שאני מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם!תודה על הכול (וזה בשיא הכנות) כי באמת השקעתם בנו ===תשובה===אני אענה לשאלה שלך בשני מישורים* הראשון והחשוב יותר:הנחת שהנגזרת של e^x מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה e^x כאשר הראת שהטור הזה ללמד אתכם מתמטיקה ו'''לא''' להכין אתכם למבחן. הכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן). קשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, אך אתם מגיעים על מנת ללמוד. הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את המבחן. *שנית, אני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת:**שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (הוא הפיתוח של e^xהיה לפני שראינו את המבחן). אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (אני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל זה מה שצריך להוכיחתומר כן).אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.**שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (אני העברתי אותה ותומר לא).**יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.**שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים... מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא כיף, בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!:זה לא רק דוקר, זה גם צמיגי :P::מתי יעלו ציוני תרגיל? :::אנחנו נעלה אותם היום==יש לי שאלה==האם בשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס(הוכחה של התכנסות לאפס לא התכנסות במש)? ===תשובה===כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת) ==שאלה==
למה מופיע לי ציון 0 בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו? ::איך מראים שרדיוס ההתכנסות הוא אינסוף?<math>\overline{\lim_{n\rightarrow \infty}} \frac{1}{\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}}=\infty</math> מכיוון ש<math>\lim \sqrt[n]{n!}=\infty</math>S
:::יש לי סתם זו שאלה, בלי קשר לתרגיל הזה - אם, באותו אופן, היה יוצא שהרדיוס הוא 0, האם זה מספיק, וכל שנותר הוא לבדוק התכנסות בנק' x=0פילוסופית?*מספיק בשביל מה? זה אומר שהטור לא מתכנס בשום מקום פרט לנקודה. לכן הוא לא רציף ולא גזיר ולא מעניין. אין מה לבדוק התכנסות בנקודה אפס, זה תמיד מתכנס שם לקבוע a_0
::::אבל איך חישבת את הגבול הזה?==הודעה==
*זה תרגיל מאינפי אחד. אתה מקטין את חצי מהאיברים של nיש ציונים! לאחד, ואת החצי השני אתה מקטין לn/2 וסה"כ אתה מקבל <math>n!>(\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}</math> ולכן <math>\sqrt[n]{n!}>\sqrt[n]{(\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}}=\sqrt{\frac{n}{2}}\rightarrow \infty</math>= מבחן == היה פקטור במבחן? ואם כן של כמה?
דבר אחר, ניתן להראות שלכל x0 ממשי טור המספרים שמתקבל ממנו מתכנס, ולכן הטור מתכנס נקודתית בכל הישר, ובפרט במ"ש בכל קטע סגור בומצטרף לשאלה... מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב או לאבקיצור ממש חשוב לנו לעת האם היה פקטור...
:::::::אפשר לומר שהגבול שצריך לחשב הוא הממוצע הגיאומטרי של הסדרה <math>aתשאלו את המרצים, אנחנו (nהמתרגלים):=n</math>, ולכן שאיפת הסדרה לאינסוף גוררת את שאיפת הממוצע לאינסוף לפי משפט, לא?יודעים.