'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 15| ארכיון 15]]''' - תרגיל 10
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 16| ארכיון 16]]''' - לקראת המבחן
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 17| ארכיון 17]]''' - לקראת המבחן
=שאלות=
==שאלה==
מתי תעלו תרגיל 11 + הפתרון שלו על טורי חזקות? זה ממש חשוב לראות תרגילים עם פתרונות למבחן...
נכון זה מאוד חשוב, תוכלו להעלות אותו כמה שיותר מהר?
==שאלה==יהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים?בבוחן:לא שידוע לי, בשאלה 1אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, היה אפשר גם להוכיח את האי השיוויון הימני עם טיילור עבור x0=0,n=2 אם לא אז לא?
:לא נראה ליתומר - מה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ??? הגיון חבר"ה , הגיון ! ==שאלה== תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של האינטגרלים של הפונקציות?תודה תומר - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך .ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל אז צריך לבדוק כל מקרה לגופו.. מאיפה אנחנו יודעים איך השארית משפיעה?
==שאלה==
נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם אני רוצה לחשב את סכום הטור : <math>\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{2^n n}</math> |fn| מתכנס במ"ש בI, אבל כשאני מפרק אותו לאינטגרל לפי רימן (חלוקה של <math>\frac{1}{n}</math> ) אז אני מקבל שזה שווה לאינטגרל: <math>\int _0 ^\infty \frac{1}{2^x}dx</math> וזה יוצא <math>\frac{1}{\ln(2)}</math> , למרות שהסכום לפי מה שבדקתי אמור לצאת <math>\ln(2)</math> . איפה הטעות שלי? אני מניח שהיא איפה שהמרתי סכום לאינטגרל לא אמיתי... איך אפשר לחשב את זה בכל מקרהגם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI?
===תשובה===קודם כל אין פה כלל חלוקת רימן (שכן המרחק בין נקודות הדגימה הוא אספוננציאלי עולה, ואילו האורכים הולכים ויורדים לאפס)*נקודתית זה ברור מאינפי 1. לבמ"ש ההוכחה דומה. אפילו אם הייתהשארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, זו חלוקה אינסופית אחת ולא גבול של חלוקותכלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט.
פותרים את זה בדיוק כפי שפתרנו אתמול בכיתה. נגדיר <math>S(x)=\sum \frac{1}{n}x^n</math> קל לראות שרדיוס ההתכנסות הוא אחד ולכן זה טור חזקות שמתכנס ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש בסביבה של חצי. ברור שסכום הטור שמעניין אותנו הוא <math>S(\frac{1}{2})</math>. מכיוון שההתכנסות היא , האם זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש מותר לגזור איבר איבר ולקבל <math>S'(x)=\sum x^{n-1} = \frac{1}{1-x}</math>. ?
לכן *ברור שלא.... אינפי 1. <math>S(x)fn=\int_0^x S'(t)dt=-ln(1-x)^n</math> לא מתכנס בכלל, אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש.
ולכן <math>S(\frac{1}{2})=-ln(\frac{1}{2})=ln2</math>יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא? המשפט הראשון בעמוד הראשון של הסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים???
*נכון מאד, הסרתי את הסיכום. המשפט אומר שאם יש מקסימום/מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (לדוגמא x^3).
שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד כדי טעותc או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x באפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכון?)תודה.
הערה: זה תרגיל נחמד שנותן לנו נוסחא לחישוב lnx עם דיוק אספוננטציאלי עבור *הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x>1 (עבור x<1 ניקח את <math>-ln(\frac{1}{x})</math>)למשל מתבדר. הנוסחא <math>ln(x)=-ln(\frac{1}{x})=-ln(1-\frac{x-1}{x})=S(\frac{x-1}{x})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(\frac{x-1}{x})^n</math>
נחמד מאוד, הבנתי! על הטריק עם ה-ln שכתבת בהערה אני לא חושב שהייתי מצליח לעלות, אבל אני אזכור אותו עכשיו, תודה רבה!!
==שאלה==יהי <math>\sum _{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי מתכנסלמה אם f פונקציה רציפה, ומחזורית ואי- <math>f_n שלילית בממשיים(f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)</math> סדרת פונקציותx^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f חסומה מהנתונים, כך שלכל n טבעי מתקיים: <math>|f_{n+1}לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(x)-f_n(x)|<a_n</math> x מ1 עד אינסוף מתבדר. הוכח או הפרך : <math>f_n</math> מתכנסת במידה ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה.ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???
אני מתקשה להבין את הבעייה ===תשובה=== תומר - כמה שאלות , כמה שאלות ! :) לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , במידה שווה - ראה משפט שהוכחתם . או - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של ההתכנסות קריטריון קושי להתכנסות במ"ש במקרה הזה! . אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא תלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף .זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! . אז אחרי שלא הצלחתי להפריך לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס . ==שאלה מסודרת ==נתונה פונקציה fרציפה, ניסיתי מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח, וראיתי שזה קרוב יותר לקריטריון של קושי להתכנסות במ"שמתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה, אז מספיק להראות שאם לכל k יש n טבעי שעבורו <math>|f_{n+1}לא? ואז הגבול של (f(x)-f_n/x)/x^2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)|<k</math>x מתכנס, אז גם נובע שלכל m>n מתקיים התנאי כי האינטגרל של קושי, אבל זה בדיוק מה שאני לא מצליח להראותx^2 מתכנס... איך אני יכול להפריך ע"י מציאת סדרת פונקציות שהפרש של כל פונקציות קרובות שואף לאפס, אבל כשה-n גדל הפונקציות החדשות שנוצרות רחוקות יותר עד כדי חוסר התכנסות במידה שווה או אפילו חוסר התכנסות?
===תשובה===
(לא ארז/תומר) נראה לי שהטעות שלך היא כזו , כשאתה עשית את מבחן ההשוואה, עשית את זה תרגיל מאינפי עם הפונ' x^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 בתכלס.<math>|f_m-f_n|=|f_m-f_{m-עד אינסוף (אתה מתבלבל עם 1}+f_{m-1}-/x^2)....+f_{n+1}-f_n|\leq a_m+...+a_n</math>
:אבל לפי תנאי קושי להתכנסות טורים הצד הימני קטן מאפסילוןאמרתי בקטע 1 עד אינסוף...לא מאפס!:אהההה:הוא העיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. x^2 זו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי. ובנוגע להוכחה , הבנתיאני עשיתי את זה בדרך הבאה: נסמן את המחזור של F כ-T, וזה מתקיים עבור אנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, לכן יש נקודה X0 בקטע [1,1+T] כך ש- (''f''(''x0'' שווה ל-M גדול ממש מאפס. מכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a,b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f(x)>M/2 (או אפילו גדול שווה, זה לא משנה) וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n*T,m גדולים מספיק b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת. ברור כי שתי הפונ' אי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כש- R>1 (כלומר שגדולים מF רציפה בכל קטע כזה, ול-n0 התחלתיG יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים)ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, כך גם האינטגרל הלא אמיתי של F... יפה! הייתי צריך לנסות לקשר ועכשיו, להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, זה לא כזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את זה לסכום הטור... תודה רבה :) !!!ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x
==שאלה==
אני מוכרח להביןלמה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<g ו f>g והאינטגרל של f מתכנס(לא אמיתי, מה בעצם המשמעות בשנ הסוגים הוא אמר ככה...) אז האינטגרל של "התכנסות במידה שווה" של סדרת פונקציות? ז"אg מתכנס. הוא לא אמר שאם g מתבדר גם f מתבדר, מה המשמעות הגרפית של זה, בלי שימוש באפסילון וכ'ולא נכון? מה בעצם ה"מידה שווה" כאן?
===תשובה===
המשמעות היא שבכל נקודה בפונקציה ההתכנסות היא באותה מהירות פחות או יותרהמשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון. גרפיתלא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, אתה מעתיק את פונקצית הגבול אפסילון למעלה ואפסילון למטה, ואז החלק מn_0 מסויים כל הפונקציות בסדרה מצויירות בגרף בין שתי ההזזות של פונקצית הגבוללכן אם g מתבדר אזי f מתבדר.
במילים אחרות, הפונקציות נמצאות במרחק 'קבוע' מפונקצית הגבול ללא תלות באיקס. למה זה עוזר? למשל רציפות. תהי סדרת פונקציות רציפות. ניקח פונקציה f_n מהסדרה עבור n מספיק גדול, ונקח סביבה קטנה של x_0 כלשהו. מתוך רציפות, f_n שולחת את סביבה של x_0 קרוב מאד לf(x_0). אבל, f_n שולחת כל נקודה בסביבה לגובה קרוב מאד לפונקצית הגבול באותה נקודה כאשר המרחק לא תלוי בבחירת הנקודה. לכן גם כל הסביבה של פונקצית הגבול קרובה מאד לf(x_0( ויוצא שגם פונקצית הגבול רציפה.==שאלה==
בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?:: [לא תומר או ארז] לי דווקא יצא 1==שאלותשאלה==קודם כלאם אני צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימן, בקשר לאינטגרביליות. לפי הגדרת והראיתי שהסכום רימןשלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרבילית(!) אחרת פחות אפסילון, מותר לדלתא להיות תלויה במסואותו סכום ועוד אפסילון. האם זה מראה לי שהפונק' הקטעים - nשלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה השניה?*עוד :הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי? ==שאלה==נתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"י M. באחד המשפטים בכיתה, רוני כתב משהו כמו צ"g ל שf^2 אינטגרבילית באותו קטע.יש דרך להראות את זה לא ע"י הרכבת פונקציות (שבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)?מהי הדרך? :הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן לכל אפסילון>0 קיימת דלתאחסומה) אבל יש דרך להראות את זה חוץ מהרכבה של פונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית? תומר - מידת קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה החדשה היא אפס ? ... (לא ארז/תומר) כן יש פיתרון אחר, כך שלכל חלוקה T המקיימת שפרמטר החלוקה שלה קטן מדלתאוהוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות.f^2 חסומה (ברור), יתקיים: sונותר להראות את התנאי השני.בקשר אליו, קל להראות ש w(tf^2) עליון פחות s<= w(tf) תחתון קטן מאפסילון *2*M (סליחה על הכתיבה המסורבלת..כאשר w הוא התנודה בקטע), ומכאן קל להמשיך. מראים את זה לא אמור להיותכך, שלכל אפסילון קיימת חלוקה לכל x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים:f(x1)^2-f(x2)^2<=(f(x1)-f(x2))*(f(x1)+f(x2)), ומכאן זה ברור ==שאלה==התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק'אחת' T שמקיימת fn רציפות ב[0,1] כך שfn(x)-->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של fn מ0 עד 1 אינו שווה ל0. - האם הפונקציה x^n(x^n-1) qq מקיימת את זההדרוש? זה הפונק' אכן רציפות ב[0,1], פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני לא עירבוב של 2 הגדרות?תודה רבה טועה, 1/n פחות 1/(:2n+1)..
===תשובה===
מה זאת אומרת מותר לדלתאאתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא '''שואף''' לאפס? יש פרמטר חלוקה - אורך הקטע הגדול ביותר. הסכומים מתכנסים אם על כי כמעט כל החלוקות החל מפרמטר חלוקה מספיק קטן סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (דלתאלמשל הסדרה של הפונקציות הקבועות <math>\frac{1}{n}</math>) הסכום קרוב לגבול עד כדי אפסילון. אין פה שום קשר למספר הקטעים בחלוקה. דלתא תלוי בלבד באפסילון, בפונקציה ובקטע.
קודם כל תבדיל בין הגדרה לבין משפט. הגדרה להתכנסות יש רק אחתאם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, קח סדרה של פונקציות הבאה: הגרף של הפונקציה ה-n הוא משולש עם בסיס <math>\frac{1}{n}</math> בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. הסדרה הזו שואפת לאפס (כמובן שלא במ"ש) והאינטגרל על כל שאר התנאים להתכנסות שקוליםפונקציה בסדרה הוא תמיד 1.
בוודאי שאין חלוקה יחידה כזו==שאלה==נראית נחמדה. f:[0, הרי כל עידון של החלוקה יקיים 1] ---> R היא פונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f(x)<=sinx לכל x בתחום. צריך למצוא את התנאי גם כןכל פתרונות המשוואה: cosx+quad(f,0,x)-1=0. יכול להיות שבהוכחה שלו הוא יכל לרשום (קוסינוסX ועוד האינטגרל של f מ0 עד x פחות דברים, אבל אין ספק שזה מוכיח1 = 0.)::::זה נכון שעידון מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של החלוקה יקיים את התנאיהמשוואה, אבל הוא טען שכל T שיקיים שפרמטר החלוקה שלו יהיה קטן מדלתא, יקיים את החלוקהלא הצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/למצוא פתרון נוסף. למה זה נכון? אני מסכים שלעידון זה יהיה נכוןניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא בהכרח לכל T כנ"להגעתי למשהו שמוכיח.יש רעיון למישהו?::מישהו??
:::::אני מניח שאחר כך הוא הוכיח שבמקרה המסויים זה מתקייםאם f=sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס. כמו שאמרתי, יכול להיות שהוא הוכיח יותר ממה שצריך, אבל אם הוא הוכיח, מה רע? שנית, עבור פרמטר חלוקה מספיק f קטן המרחק בין הסכום העליון לגבול והמרחק בין הסכום התחתון לגבול הם אפסילון חלקי שתים. לכן המרחק ביניהם ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפסילון.::::::בקשר למשפט הראשון - הוא לא ניסה להוכיח כלום בהתחלה. הוא פשוט הסיק מהנתון, שאם G אינטגרלית אז בוודאי מתקיים מה שכתבתי למעלה..::::::: אוקיי. כמו שהסברתי, זה נכון.אפס
==שאלה==
בתרגיל 3 פה: http://www.math.tau.ac.il/~boazslom/hedva2/Exercises/ex-02.pdfבפתרונות הם טוענים שמכיוון שf מישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירהאיבר איבר, ניתן להציב x=f(t)ומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? תודה. לא ממש הבנתי את הקשר, מישהו יכול להסביר:כדאי?תמיד. מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה.
==שאלות מעניינות==
* הוכח או הפרך:
תהי <math>f_n(x)</math> סדרה של פונקציות גזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה <math>f</math>, אשר גם גזירה ברציפות,ב-<math>[a,b]</math>.
אזי ש- <math>f_n' \rightarrow f'</math> במ"ש על הקטע <math>[a,b]</math>.
* בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור <math>u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)</math>, כך ש-<math>a_n(x)>0</math> והטור מתכנס ב-I.
מתי אני יודע אם הפונקציה הגבולית רציפה, כך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש.
נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף! תודה!!! :)
===תשובה===strictly monotonic כלומר מונוטונית '''ממש'''. זה התנאי לכך שתהיה לה הופכית ואז תוכל לבצע תומר - אם ניקח את ההצבההסידרה cosnx ונחלק הכל ב n . האם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש ? ומה עם נגזרותיה ? .. כמובן שגם העובדה שהפונקציה גזירה נחוצה (על מנת שההופכית תהיה גזירה, חוץ אולי מנקודה אחת).:אופס, התכוונתי לכתוב מונוטונית ממש מלכתחילה ובטעות כתבתי גזירהלגבי דיני - פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא אמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! . בכל מקרה תודה רבה (:
==שאלה==
האם גזירה ברציפות משמעותה:
1)יש נגזרת
2)הנגזרת רציפה
בלבד?
תודה
תומר - כמו שאמרת - יש נגזרת והנגזרת הזו היא פונקציה רציפה .שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון:
int(arctan(x)/[(x*(ln(x+1))^2)], x = 0 .. infinity)
ניסיתי דיריכלה, חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי. אשמח לעזרה
ארז ותומר- אתם יכולים להגיד כבר מעכשיו אם יותר השימוש במחשבונים במבחן::מצטרף לשאלה!! איך פותרים את הדבר הזה? בבקשה תרשו- מה אכפת לכם? זה לא יכול להזיק לכם, ואותנו זה מרגיע..... תודה.
:זה מבחן לא בוחן. החלטה של המרצים. מוזמנים לשאול אותם...
(לא ארז/תומר ) תנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2]. שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, ושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה- יש סיבה לא להרשות שימוש במחשבון ..ln-ים שואפת לאחד. יש שאלות שנראה ששימוש במחשבון יכול לעזור לפתור אותן כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln( כמו במועד ב בבוחן שהיה...x) אבל פיתרון מבוסס על חישוב במחשבון לא התקבל ! הנימוקים צריכים להיות מבוססי הוכחה מתמטית ולא חישוב נקודתי ., או לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים
ארז - מצטרף. מחשבון, מייפל, מטלב, וספרי לימוד הם כלים מאד חשובים למתמטיקאים. בשעת מבחן נבדקת היכולת המתמטית ללא חומרי עזר.תודה רבה :)
==בקשר למבחן שהעליתם==קודם כל, תודה רבה :) אבל זה לא מצאתי אלא שאלה אחת (אם בכלל) על כל החצי הראשון של הקורסנכון, שחשוב לא פחות מהחצי השני (אינטגרלים לא אמיתיים, טורי חזקות וכו'). כי יש מבחנים שכוללים בעיתיות גם את החומר הזה? אם לא - האם הבוחן הוא אינדיקטור טוב להבנת החומר? כלומר, השאלות שם סה"כ מסכמות את החומר ברמה די גבוהה? ובנוסף, לגבי המועד ב' שהעליתם, שאלה אחתבנקודה x=1 וגם באינסוף. הוכחנו לפי משפט לבג בדיוק את אותו המשפט, ההשואה שנתת עוזרת רק שלא נדרש שהנגזרת תהיה רציפה. למה דורשים את זה כאן? בכלל בפתרונות, הם אומרים שg*f (הרכבה) היא הרכבה לחלק של פונק' רציפות, אבל לא בטוח בכלל שf רציפה..האינסוף
: אבל אני לא חושב שאמורה להיות בעיה, כי זאת בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני.
::אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x^2) מתכנס (השוואה עם 1/x^2)...
::עכשיו בקשר לאינטגרל מ-0 עד 1 אתה יודע ש- ln(1+x)<x לכל x ב-[0,1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x)/x^4 וזה מתבדר ע"פ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [0,1], ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ).
:(לא ארז/תומר) עבור האינטגרל מ-0 עד 1, תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x^2 . שים לב ש arctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x)/x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס.
ובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא בריבוע...
:: האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל זה באמת יהיה טוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס.
:: תודה לשניכם :)
==שאלות.==
*arctanx חיובי בקטע 1,infinity לא? היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..
*במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, אם הגבול יוצא חיובי? לדוגמה, הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x-1..
*כאשר אני מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על השונים!]. אם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? בלי קשר לחיוביות/שליליות של אחת הפונקציות..
*בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש לי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"א מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את האינטגרל השני גם?
וזהו, תודה רבה!
===תשובה===
איך היית מגדיר את שאלות 5 ו6 במועד א' ושאלה 5 במועד ב'?*כן הוא חיובי.*אם בתחום הפונקציה אי חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה אי שלילית. כמובן שמכפלה במינוס לא משנה התכנסות אינטגרל*נכון.*נכון
::כן, אבל כשהפונק' הייתה שלילית, הגבול יצא לי חיובי. אם אני רואה שהם למדו גם חומר שאנחנו לא למדנוכופלת במינוס 1, מן הסתם המבחן הגבול יוצא שלילי..:::לא יכול להיות שהגבול של המנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי::::::: כעיקרון אני מדברת על מה שכן למדנוהפונקציה sinx חלקי x*lnx. אי אפשר להסיק ממבחן בתחום [0.5,1] אני משווה אותה עם sinx חלקי (1 פחות X). (יום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של שנה מסוימת בדיוק מה יהיה או לא יהיה במבחןויקיפדיה. .. מצטערת על מנת שמבחנים לא ימשכו שעות תמיד משמיטים חומר מסויםהסרבול). בכל מקרה, והחומר שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה יכול להתחלף משנה לשנה וממועד למועד. אבל הגבול של המנה, כאשר X שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת..
למעשה, אי אפשר בכלל לדעת מראש מה יהיה במבחן :)כי ln שלילית בקטע הזה.::אוקי, אז בעצם מכפילים את הפונק' המקורית ב1- ואז מקבלים גבול חיובי, ואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת ==> כך גם הפונק' המקורית?
:נכון
לגבי השאלה השנייה, יכול להיות שהם לא לימדו לבג בשנה שעברה, ולכן נתנו ==שאלה חלשה יותר אבל פתירה==התכנסות במ"ש של ערך מוחלט של טור הפונק' גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?:כבר נשאל בעמוד זה. כן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט
שנית==שאלה==*הסתבכתי, אתה צודק אפשר עזרה?*נניח שהפונקציה f אינה רציפה, אחרת זו שאלה טריוויאלית לחלוטין (כל פונקציה רציפה על קטע מוגדרת ורציפה בקטע סגור אינטגרבילית שם):תראו איזה מהירות, שלחתי לרוני את הבעייה שרשמת, והוא כבר החזיר לי גרסא מתוקנתx=a. העלאתי אותה...::תודה רבה :b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"ש בקטע זה אם ורק אם הסכום הנל(f^n). בכל מקרה, אני רוצה לומר תודה על כל הפורום הזה וההשקעה האינסופית.מתכנס נקודתית בקטע זה.
==תרגיל==
* נגדיר <math>f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math>. הוכיחו ש<math>f'(x)=f(x)</math>
(:השאלה לא ארז/תומר) קודם כל- זהו מנוסחת טוב. מה זה f ומה הוא קשור? מה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוף לבין טור חזקות שמתכנס במ"ש לכל x ממשי?תיקנתי. לכן ניתן לגזור איבר איבר. ואז <math>. מה הבעייה בהגדרה של f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n*x^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n*x^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}=פשוט פונקציה f(x)</math>.השוויון השני נכון כי עבור n=0 נקבל אפס. בשוויון הלפני אחרון החלפתי משתנה: <math>i:=n-1</math>
::שאלתי מה הקשר של f. גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f... האם היא פונקצית הגבול של הטור? האם הפונקציות בסדרה רציפות?
:זה שאתה (לא אני זה ארז וגם לא מפתיע, תומר) בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n מתכנס נקודתית אפשר לראות כי אני רשמתי את השאלה :לכל x נקבל f(x<1 (בערך מוחלט, הלוואי שזה לא היה קופץ כל הזמן) רק דילגת על חלק עיקרי בהוכחה. f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc, מדוע d בתוך [-1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש לכל . לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa,b עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc,d עבור הטור של x ממשי? המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה נכון בכלל?כל מה שצריך).
(מישהו אחר) זה נכון כי לפי המבחן של קושי עם הגבול העליון, הגבול של שורש nי של n! הוא אינסוף, ולכן הגבול של 1 חלקי זה הוא 0, ולכן הרדיוס הוא אינסוף. ואז אפשר להמשיך כמו שהבחור הקודם הראה, או להראות שan שווה בדיוק לפיתוח לטור חזקות של e^x שמקימת שהנגזרת שווה לפונקציה
::::נתבונן בפונקציה <math>g(x)=e^x</math> בקטע הסגור <math>[-r,r]</math>.
לכל x בקטע ולכל n טבעי מתקיים
<math>|אבל למה f^{(n)}(x)|=|e^x|<e^rבערך מוחלט קטן מ-1?:הסברתי במפורט בתשובה. לא בהכרח f</math>1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש. אם הוא מתכנס במ"ש ברור שהוא מתכנס. זה כל מה שצריך להוכיח.
לכן בכל קטע סגור כזה ניתן לפתח את הפונקציה לטור חזקות, שזה בדיוק הטור בשאלה.===תשובה===הטור מתכנס בכל קטע סגור כזה, לכן הוא מתכנס (נקודתית) על כל הישר הממשי, כלומר יש לו רדיוס התכנסות אינסוףאה.לכן הוא מתכנס במ"ש בכל קטע סגור על הישר.לכן ניתן לגזור איבר איבר כמו למעלה.. התבלבלתי בין f_n לf^n.... מצטער.
הכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר <math>|f(x)|<1</math>, והוא מתכנס במ"ש כאשר <math>|f(x)|<r<1</math> אבל בגלל שהפונקציה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (אחרת היא לא הייתה מתכנסת בהם) ולכן התנאי מתקיים.
* אי אפשר להשתמש בפיתוח של e^x ובעובדה שהוא הנגזרת של עצמו, הרי זה מה שאתם מתבקשים להוכיח.
*רדיוס ההתכנסות הוא אכן אינסוף ולכן טור החזקות מתכנס במ"ש על כל קטע סופי, ולכן מותר לגזור איבר איבר על כל קטע סופי. זו אכן התשובה. (זה לא אומר שהטור מתכנס במ"ש על כל הממשיים).
למה אי אפשר? אם אני מראה שאת e^* על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה <math>|f(x אפשר לפתח לטור חזקות והרדיוס התכנסות שלו זה אינסוף, ומראה שהטור חזקות זה בדיוק הטור הזה. זה לא אומר שהנגזרת שווה לפונקציה כמו e^)|<r<1</math> כל שצריך הוא מבחן הM<math>|f(x?)^n|<r^n</math>.
:הנחת שהנגזרת של e* על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי <math>|f(x)|<1</math> כל מה שצריך הוא להסתכל נקודתית על הטור <math>\sum |f^n(x הינה e)|=\sum a^x n</math> כאשר הראת שהטור הזה הוא הפיתוח של e^<math>|f(x. אבל זה מה שצריך להוכיח..)|=a<1</math> וזה כמובן מתכנס.
::איך מראים שרדיוס ההתכנסות הוא אינסוף?<math>\overline{\lim_{n\rightarrow \infty}} \frac{1}{\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}}=\infty</math> מכיוון ש<math>\lim \sqrt[n]{n!}=\infty</math>* טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר.
:::יש לי סתם שאלה, בלי קשר לתרגיל הזה - אם, באותו אופן, היה יוצא שהרדיוס הוא 0, האם זה מספיק, וכל שנותר הוא לבדוק התכנסות בנק' x=0?*מספיק בשביל מה? זה אומר שהטור על מנת להוכיח שהוא לא מתכנס בשום מקום פרט לנקודה. לכן הוא במ"ש אם לפונקציה לא רציף ולא גזיר ולא מעניין. אין מה לבדוק התכנסות בנקודה אפס, זה תמיד מתכנס שם לקבוע a_0היה מקסימום אבל הsup שלה היה אחד: ניקח סדרה <math>x_n</math> כך ש <math>f(x_n) \rightarrow 1</math> ולכן <math>\lim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow \infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty</math>
::::אבל איך חישבת (נבחר את הגבול הזה?n_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף. אנחנו יודעים שזה מותר כי <math>f(x_n)\rightarrow 1</math>)
*זה תרגיל מאינפי אחד. אתה מקטין את חצי מהאיברים של n! לאחד==שאלה==אם יש לי פונקציה ואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1, ואת החצי השני אתה מקטין לnאיך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע?וגם פה שאלה 4 כוון כללי אם אפשר...http:/2 וסה"כ אתה מקבל <math>n!>(\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}</math> ולכן <math>\sqrt[n]{n!}>\sqrt[n]{(\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}}=\sqrt{\frac{n}{2}}\rightarrow \infty<moodle.technion.ac.il/math>file.php/1098/Exams/2004-2005-spring-test-a.pdf
דבר אחר, ניתן להראות שלכל x0 ממשי טור המספרים שמתקבל ממנו מתכנס, ולכן הטור מתכנס נקודתית בכל הישר, ובפרט במ"ש בכל קטע סגור בו===תשובה===הוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות.מה הכוונה איך אתה מוודה? אם פתחת נכון זה חייב להיות שווה - הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הנקודה אפס כמובן])
*איך התכנסות בכל נקודה גוררת התכנסות במ"ש? זה מאד לא נכון. ההתנכסות על כל קטע סופי היא במ"ש מכיוון שזה טור חזקות עם רדיוס אינסוף. טור חזקות מתכנס במ"ש על כל קטע סופי שקטן ממש מהרדיוס שלו.
-אבל אם הטור מתכנס בכל נקודה, זה בדיוק כמו לאמר שהרדיוס שלו הוא אינסוף...
::כן. אם זו הכוונה שלך אז אתה צודק. (חשוב לפרט שזה טור חזקות, ולכן הרדיוס הוא אינסוף ולכן הוא מתכנס במ"ש על כל קטע סופי).
:::::::אפשר לומר שהגבול שצריך לחשב הוא הממוצע הגיאומטרי של הסדרה <math>a(n):=n</math>לגבי השאלה השנייה כבר שאלו אותה, ולכן שאיפת הסדרה לאינסוף גוררת את שאיפת הממוצע לאינסוף לפי משפט, לא?.*אני לא זוכר משפט כזה, יכול להיות שאתה צודק..תסתכל בארכיון 17
==שאלה - טורי אבל אתה יודע שאם קיים טור חזקותהמקדמים הם אלו של טיילור, למשל הפונקציה f(0)=0 f(x)=יש איזו נקודה שלא לגמרי נגענו בה בתרגול ההשלמה exp(- טורי חזקות, כאשר החזקה היא, למשל, <math>n1/x^2</math> , או <math>2^n-1</math>. מתי כדאי להפריד למקרים של מקדמים ) sהיא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (ואז הסופרימום הוא מתי שיש מקדםתמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס)מה שאני שואל זה איך הייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, ומתי כדאי להציב, למשל, <math>t=x^{n^2}</math> רק שזה לא תמיד לערך הפונקציה? (בתרגיל יש רק דוגמא לזוגיים ואי-זוגיים)
:קשה קצת לענות בלי לראות דוגמא, צריך להשתמש בשיטה שבעזרתה תצליח לפתור את התרגיל.
::תומר - עשינו דוגמאות בהן למשל החזקות היו אל תבלבל. הקטע עם הבדיקה בנקודה זה רק האי זוגיים למשל , והצגנו דרך להתייחסות למקרים כאלו - מופיע בסיכום תירגול ההשלמה הסרוק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה של טור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר. בנוסף נשים באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם דוגמאות נוספות להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציה וזה כאשר הנגזרות חסומות (ראה את ההשלמה). במקרים אחרים (כמו זה שתארת) אסור סתם להניח שיהיה שיוויון.
כן, אבל בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילורמה שאתה אומר זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא יודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן? (במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות) :כן. יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, אבל גם יכול להיות שזה פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הנגזרות מכל סדר... סבבה תודה רבה ==שאלה== המבחן ב15::אוקיי30 נכון? כמה זמן הוא יארך??? כן, יש לי דוגמא טובה - הטורשעתיים ==שאלה== למה הסיגמה של 2*(n+1)*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?: אתה מתכוון ל<math>\sum \frac{2(n! x+1)3^n}{\sqrt[3]{n!}}</math> - כשפותרים אותו לפי מבחן ? תקח את השורש, מקבלים: הn-י ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (הרי <math>R\sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty</math>) =limsup =התכנסות אינטגרלים==האם האינטגרלים הבאים מתכנסים???* <math>\fracint_{0}^{1}\frac{\theta}{a_n\ln(\theta)}d\theta</math>.* <math>\int_0^{1 \frac{1dx}{n}\ln(x)}</math>* <math>\int_{r=0} ^{r= lim 1} \frac{1\sin(r^2)}{r}dr</math>.האם אפשר לומר באינטגרל השלישי ש-<math>\int_{n!0}^{1} \frac{1\sin(r^2)}{n!r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2</math>(limsup זה גבול עליון), ואז עפ"י השוואה???
:::או מה לגבי : <math>\sum \frac{(-1)^n}{3^n}(x+1)^{n^2}</math> - אני הרי לא יכול לפרק את זה ל: <math>(x+1)^n=t</math> , אז אני חייב להגדיר את המקדמים כאפס כשזה לא "ריבוע שלם", וכ-<math>n^2</math> בריבוע שלם. במקרה הזה, כשמגדירים t=x+1, קבלתי: ש-<math>\frac{1}{R} = 0</math>, ולכן זה תמיד מתכנס.
===תשובה===
לגבי הטור הראשון החישוב שלך נכון. בטור השני לא הבנתי איך פתרת אבל התשובה שגוייהלשכוח לבדוק אם האינטגרל הוא אמיתי בכלל או לא. הרי אם תציב אפילו x=2 תקבל סדרה שאינה חסומה למשל השלישי הוא פשוט בעל אי רציפות סליקה באפס ולכן אינטגרבילי (ולכן וודאי הטור מתבדר. גם מה שרשמת נכון אבל אם תחשב שוב limsup תקבל:בלי קשר)
בראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1. ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם <math>\limsup \sqrt[n^2]{|\frac{(-1)^n}{3^n}|} = \limsup \frac{1-x}{\sqrt[n]{3}} = 1</math> לכן רדיוס ההתכנסות הוא 1/1=1.
לכן הטור מתכנס עבור <math>-1<x+1<1</math>. מה הסיבה? הרי <math>t^{n^2}=(t^n)^n</math> אם t>1 מתישהו t^n יהיה גדול מ3 ומאותו רגע הסדרה גדולה בערך מוחלט מאחד ולכן לא שואפת כלל לאפס.=שאלה==
בקצוות הטור הראשון כמובן מתבדר אבל הטור השני מתכנסנתונה פונקציה f(x) בקטע [a,b] ונתון שהיא חסומה על ידי M.
:אני מבין, ובחישוב שלי הגעתי לאותה תשובה, רק שמאיזשהי סיבה הייתי משוכנע ששלוש בחזקת אחת חלקיי אן שואף לאפסצריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה גורר ש-f^2 אינטגרבילית... תודה!
==תרגיל 8 שאלה 2==בתרגיל 8 שאלה 2: חסימות זה לא היה אפשרי לפתור כך?: f רציפה ולכן יש לה קדומהבעיה,נסמנה g. האינטגרל של f מa עד b הוא בעצם הערך של g בנקודה b פחות ערכה בנקודה a. הפונקציה g היא גזירה, ולכן מתקיים עבודה תנאי לגראנז',(f היא הנגזרת של g): ולכן קיימת נקודה c עבורה ערך הפונקציה f בנקודה שווה לערך של g בנקודה b פחות ערכה בנקודה a חלקי b-a. מ.ש.ל.אבל הסתבכתי עם התנאי השני
לא יותר קל להוכיח ככה?
:זו הוכחה תקינה.אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f,g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, כאשר במקרה הזה g=f?
==שאלה- לגבי נושאי הקורס שהעלתם==האם למדנו בקורס את פונקציה בעלת השתנות חסומה:(לא ארז/תומר) ענו כבר על השאלה הזאת... לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, ומשפט ז'ורדן?למרות שהוא נכון, כי אז התרגיל טריוויאלי. לא זכור לי שלמדנו:הנה ההוכחה- יהי אפסילון גדול מאפס. בכל קטע g(x1)-g(x2)=(f(x1)+f(x2))*(f(x1)-f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע. (g מוגדרת כ f בריבוע).מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M.ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון.
:הקבוצה של רוני למדהתומר - ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . הקבוצה מה עם נקודות האי רציפות של שיין לאהפונקציה בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ? ואם כן מה זה אומר על מידתה ?למיטב ידיעתי, ולאחר בדיקה בקלסר,לא למדנו את שני הנושאים הנ"ל, אשמח אם עוד מישהו יוכל לאשר זאת...
אכן, לא למדנו את הנושאים האלו==שאלה==צריך להוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש.f(x)= sum from 0 to infinity of (e^-nx)* cos(nx) s
אז מה נסגר? האם החומר ירד מהמבחן? לא נוכל ללמוד אותו לבד?!נשמח לקבל עדכון בעניין... תודה!בכל קטע (a, infinity] כאשר a>0
:מה שלא למדתם בהרצאה, לא יופיע במבחןניסיתי עם מבחן ה- m ולא הצלחתי.מישהו?אפשר להשוות עם e^-n במבחן הM לא?
:(לא ארז/תומר) אני חושב שצריך להשוות עם e^-an ...
במבחן שהועלה לאתר, במועד ב', לא היה אפשרי ויותר קל לפתור בדרך הבאה?:הפונקציה רציפה ולכן חסומהעם e^- כמו שכתוב בפתרוןn וזה עובד.ואז- אם הפונקציה עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(x) שזה הסכום הוא פונקציה רציפה בקטע סגור ולכן חסומה- אז נסמן בp את ההפרש בין הערך הכי גדול לערך הכי קטן שלה. ואז צריך להוכיח שלכל a>0 ולכל חלוקה T קיים r שגדול מדלתא T כך ש:סיגמהב(o, כאשר i רץ מ1 עד n של Mi-mi כפול דלתא Xi קטן מa, נכון?ואז נגיד שMi-mi קטן מp ודלתא Xi קטן מr. ולכן הסיגמה היא בעצם קטנה מ- n*r*p. ולכן נבחר את r להיות a/n*pinfinity). ואז הבעיה זה שווה לa וסיימנו. שיניתי את האותיות המקובלות אבל זה אותה כוונה..שזה קטע פתוח ולא סופי..עדין אפשר להשתמש במשפט על טור של פונקציות רציפות המתכנס במ"ש?
:תמיד משתמשים באותו טריק (לא התעמקתי בשאלה, מקווה שרלוונטי) אם ההתכנסות היא במ"ש על כל תת קטע סגור וסופי אז יוצא שפונקצית הגבול רציפה בכל נקודה בלי שתהיה התכנסות במ"ש על הקטע האינסופי/פתוח כולו.
ההוכחה הזאת == תרגיל 11 ==מישהו יכול לכתוב שוב את הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, הלינקים לא אומרת שכל פונקציה חסומה היא אינטגרבילית??? משהו כאן בטוח לא נכון, אבל מה? גם פונקצית דיריכלה יוצאת כאן אינטגרבילית, פשוט להציב p=1......עובדים לי.
: אני לא לגמרי מצליח לעקוב אחרי דרך הרישום הזו אבל:*הכותב מעליי צודק, כביכול הוכחת שכל חסומה היא אינטגרבילית*אני חושב שהבעייה היא שאתה מגדיר את r להיות תלוי בnארכיון 16... אני לא בטוח מה זה r אבל אני דיי בטוח שהוא לא צריך להיות תלוי בn :)
r הוא דלתא==שאלה==מתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני יודע שיש לנו אותם, המספר שגדול מאורך הקטע הגדול ביותר של החלוקה T.... מה הבעיה בלהגדיר אותו תלוי במספר האיברים בחלוקה Tהכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/10 אם אני לא טועה) והאחוזים מהציון הסופי?
:כי ההגדרה לגבול סכומי רימן תלוייה בלבד בפרמטר החלוקה ואין קשר למספר הקטעים בחלוקהמצטרף!! תומר - יפורסם בשעות הקרובות .אני עצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(!) . סבלנות . יש חדש?
==שאלה==
תהי f פונקציה רציפה ב[aאוקי,b] ונניח שקיימת חלוקה P של נניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"ש ב0,אינסוף (חצי סגור) וב[a0,b1] שעבורה הסכום העליון שווה לאינטגרל מa עד B של הפונקציה. צריך להראות כי בהכרח f קבועה בקודם כל בדקתי את 0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש.התחום השני, [a0,b1], מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה עבור אלפא גדול מ2-.רעיון מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?
:נניח בשלילה שפונקציה אינה קבועה. נותר להראות שאם קיימת חלוקה כזו, קיים עידון שלה בעל סכום עליון קטן ממש יותר בסתירה.
===תשובה===
לכאורה כן, אני לא מבין מה השאלה. הרי ברור שאם זה מתכנס במ"ש לכל אלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא. השאלה האמיתי היא אם החישובים שלך נכונים.
:השאלה היא כזו - הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש ב0,infinity. רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש גם ב[0,1]. זה נכון?
::(לא ארז/תומר)הדגש הוא על הקטע הסגור? אם אתה רוצה הוכחה מלאה: נתבונן בקטע החלוקה ה-i-י. נניח בשלילה שקיימת בקטע זה נקודה שערך הפונקציה בה קטן ממש מערך הפונקציה המקסימלי בקטע. ערך הפונקציה בכל x בקטע קטן שווה לערך המקסימום בקטע, וכיוון שיש נקודה בה אי השיוויון חזק, נקבל בתוספת הנתון על הרציפות שיש אי שיוויון חזק באינטגרלים. כלומר, אינטגרל על הערך המקסימלי גדול ממש מאינטגרל על הפונקציה, בקטע המדובר. כיוון שבכל קטע חלוקה אחר מתקיים שערך הפונקציה המקסימלי באותו קטע גדול שווה לכל ערך אחר בקטע (לפי הגדרת המקסימום, שקיים כי זו פונקציה רציפה בקטע סגור)יש התכנסות באפס אז כן, אם נסכום את כל אי השוויונות האלו בתוספת אי השוויון החזק בקטע ה-i-ילא אז לא:::כן, נקבל שהאינטגרל מדובר על הפונקציה ב [a,b] קטן ממש מהסכום העליון של החלוקה P, בסתירה לנתוןקטעים סגורים. לכן בקטע ה-i-י החלוקה קבועה. זה נכון לכל i ולכן בכל אחד מקטעי החלוקה הפונקציה קבועה. כעת נתבונן בנקודות החלוקה של P. לכל נקודה כזו (חוץ מהקיצוניותתודה:) מתקיים שהגבול של הפונקציה כש-x שואף לנקודה מימין הוא הערך הקבוע של הפונקציה בקטע שמימין לנקודה. ובאותו אופן הגבול משמאל יהיה הערך הקבוע בקטע שמשמאל לנקודה. הפונקציה רציפה בפרט בנקודות החלוקה, לכן הגבולות החד-צדדיים שווים כלומר הערכים הקבועים של הפונקציה בקטעי החלוקה הימני והשמאלי לנקודה שווים. זה נכון לכל נקודה בחלוקה ולכן הפונקציה קבועה. מש"ל.
:::קודם כל, תודה רבה על ההשקעה! אני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(לא ממש הבנתי למה אתה מתכוון כשאתה אומר "כלומרכולל הוא עצמו)- הפונקציה מתכנסת, אינטגרל על הערך המקסימליואח"כ הוא אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה....." מה הכוונה?:זה נכון לגבי טור חזקות, אני לא בטוח איך זה קשור פה.
::::הוא מתכוון (יש עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה נראה לי מוזר להוכיח משהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד. למה פה? איפה עוד אני מניח) לאינטגרל על הפונקציה הקבועה שערכה הוא ערך המקסימום שהפונקציה מקבלתיכול לכתוב???
::::::ממש ממש תודה! :) עזרתם לי מאודלא פה בפורום, התכוונתי פה בשאלה הזו... רדיוס התכנסות זה מושג של טור חזקות, וכאן מדובר על סדרת פונקציות.
==שאלה- גזירת טור חזקות==הוכחנו בהרצאה משפט שאומר שניתן לגזור טור חזקות איברמצטער על הבורות רגע לפני המבחן-מה זה גזירה איבר בכל נקודה בתחום התכנסותו.הניסוח של המשפט לא דורש התכנסות במ"ש, רק עושים בזה שימוש בהוכחה.לאור המשפט הזה- האם בתרגיל שהועלה לאתר (שצריך להוכיח שהפונקציה שווה לנגזרת), אפשר פשוט לגזור איבר? ואינטגרציה איבר איבר (כי זה טור חזקות)?בבקשה שלא יהיה מסובך....
===תשובה===
יש בזה משהו, כי הרי כל נקודה בתחום ההתכנסות של נניח ויש לך טור חזקות מוכלת בסביבה סגורה בה ההתכנסות הינה במ"שמתכנס <math>g=\sum f_n</math>. (אני השאלה היא מהי הנגזרת של g. אם מותר לגזור איבר-איבר אזי <math>g' = \sum f_n'</math>. שים לב שזה לא בטוח מה קורה אבל באופן כללי בנקודות הקצה של ההתכנסותתמיד נכון, עם הנגזרת החד צדדיתרק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-איבר. במקרה שלנו זה לא משנה כי ההתכנסות הייתה בכל הממשיים)
התרגיל היה המצאה שלי על מנת לתרגל אתכם, המשפט שאתה מדבר עליו הוא מה שרציתי שתראו בתכלס...אינטגרציה זה דומה <math>\int g = \sum \int f_n</math>
==שאלה==
נתונה פונק' f החסומה אם טור חזקות מתכנס גם בR וגם בR-, זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[a0,bR]. הוכח כי אם f(x) אינטגרבילית בוב[a-R,b0] אז גם f^2(x) אינטגרבילית שם.ואז זה לא נובע ישירות מהמשפט לגבי מכפלת פונק' אינטגרביליותאומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-R,R]?
===תשובה===
לא בטוח באיזה הקשר הגיעה השאלה, אבל דרך אחרת לפתור אותה היא לומר שזו הרכבה של הרציפה x^2 על פונקציה אינטגרבילית:כן, אבל אין שום משפט על הרכבת פונ'.באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש בשני קטעים סגורים צמודים הוא מתכנס במ"ש באיחוד הקטעים.כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של שני הקטעים.::לימדנו אתכם את זה בתרגיל
==אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון:)==איך ניתן להוכיח שהאינטגרל מ1 עד אינסוף, של x^a * sin(xשיהיה בהצלחה לכולם! לא פחות מ100 :) qqqq כאשר a הוא פרמטר שגדול מ0, הוא מתבדר?
===תשובה===תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :):תודה, ותודה לכם על סמסטר נפלא (עד כמה שהיה אפשר למשל לפי מבחן קושי להתכנסות טורים. הרי x^a שואף לאינסוףאינפי, והsin גדול מאיזה ערך חיובי באינסוף קטעים באורך קבועאתם יודעים). לכן כל אינטגרל תודה על הקטעים האלה ישאף לאינסוף בסתירה לתנאי קושי.::מבחן קושי להתכנסות טורים? כלומרהתרגולים המצויינים, להשתמש במבחן האינטגרל?:::לא מבחן האינטגרלאפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה.. הכוונה היא שהחל מM מספיק גדול . ותודה על ההשקעה בנו ועל כל אינטגרל מסויים על הפונקציה בין aהעזרה (האתר,b>M קטן מאפסילוןוכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?:::כשאני חושב על זה אולי אפשר לפתור את זה יותר בקלות עם מבחן ההשוואה הגבוליושיהיה בהצלחה לכולם!
==שאלהלארז ולתומר== איך אפשר להוכיח שהפוקנצייה שמייצגת רגע אחרי המבחן, וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את האינטגרל<math> |cosהכל בשבילם, רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש, ת-ו-ד-ה ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך! מצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...:מצטרפת.. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-wiki..מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(xבטוח יהיה...!!)|</math> חסומה? ::תודה רבה על כל האיחולים - המתרגלים. (או בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס) אני מסכים לגמרי עם כל השאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P=אני רק לא מבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו לחשב תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)... כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי ראיתם את האינטגרל הזההמבחן כבר... לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך.כל מה שאני מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם!תודה על הכול (וזה בשיא הכנות)כי באמת השקעתם בנו
===תשובה===
היא אני אענה לשאלה שלך בשני מישורים* הראשון והחשוב יותר: מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ו'''לא חסומה''' להכין אתכם למבחן. הכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן). קשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, והאינטגרל דיי פשוט לחישובאך אתם מגיעים על מנת ללמוד. פשוט צריך להפריד למקרים בהם הקוסינוס שלילי והמקרים בו הוא חיוביהסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את המבחן.
:היא כן חסומה - הרצתי במייפל*שנית, וקבלתי שזה שווה לאני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת: <math>sin**שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (xהוא היה לפני שראינו את המבחן) * sign. אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (cosxאני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן)</math> . אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.**שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (וזה נראה הגיוני גם לפי ההפרדה למקריםאני העברתי אותה ותומר לא).**יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.**שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים...
::אבל השטח מתחת ל'גבעה' של קוסינוס הוא ערך מסוים, אם תסכום אינסוף כאלה תקבל אינסוף. לכן הקדומה אינה חסומה. איפה הטעות שלך לדעתך?
:::הבנתימעבר לכך, אתה צודק! תראהתודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא כיף, התרגיל המקורי שלי הוא חישוב האינטגרל :<math> \int^\infty_1 \frac{\cos{\sqrt{t}}}{t}dt</math> בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ואחרי הצבה קבלתי שזה שווה לפעמיים האינטגרלומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!:<math> \int^\infty_1 \frac{cos(x)}{x}dx</math>זה לא רק דוקר, וזה כמובן מתכנס לפי דיריכלה. עכשיו נשאר זה גם צמיגי :P::מתי יעלו ציוני תרגיל? :::אנחנו נעלה אותם היום==יש לי לבדוק שאלה==האם בשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס(הוכחה של התכנסות בהחלט, ואני לאפס לא יודע איך לעשות את התכנסות במש)? ===תשובה===כן, זהמוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת)
==שאלה==
באינטגרלים לא אמיתייםלמה מופיע לי ציון 0 בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו? : אפשר לומר שהאינטגרל של f+g [באותו תחום כמובן] שווה לאינטגרל של f ועוד האינטגרל של gS :זו שאלה פילוסופית?ושהאינטגרל ==הודעה== יש ציונים!!== מבחן == היה פקטור במבחן? ואם כן של g כמה? מצטרף לשאלה... מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב[aאו לאבקיצור ממש חשוב לנו לעת האם היה פקטור... :תשאלו את המרצים,b] + האינטגרל של g ב[b,c] שווה לאינטגרל מa עד b? אנחנו (נניח שאחד מהם לא אמיתיהמתרגלים)לא יודעים.