'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 15| ארכיון 15]]''' - תרגיל 10
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 16| ארכיון 16]]''' - לקראת המבחן
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 17| ארכיון 17]]''' - לקראת המבחן
=שאלות=
==שאלה==
מתי תעלו תרגיל 11 + הפתרון שלו על טורי חזקות? זה ממש חשוב לראות תרגילים עם פתרונות למבחן...
נכון זה מאוד חשוב, תוכלו להעלות אותו כמה שיותר מהר?
===תשובה===יהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים?עלה:לא שידוע לי, אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, אם לא אז לא
==שאלה==בבוחן, בשאלה 1, היה אפשר גם להוכיח את האי השיוויון הימני עם טיילור עבור x0=0,n=2 לאתומר - מה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ??? הגיון חבר"ה , הגיון !
:לא נראה לי==שאלה== תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של האינטגרלים של הפונקציות?תודה תומר - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך .ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל אז צריך לבדוק כל מקרה לגופו.. מאיפה אנחנו יודעים איך השארית משפיעה?
==שאלה==
נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם אני רוצה לחשב את סכום הטור : <math>\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{2^n n}</math> |fn| מתכנס במ"ש בI, אבל כשאני מפרק אותו לאינטגרל לפי רימן (חלוקה של <math>\frac{1}{n}</math> ) אז אני מקבל שזה שווה לאינטגרל: <math>\int _0 ^\infty \frac{1}{2^x}dx</math> וזה יוצא <math>\frac{1}{\ln(2)}</math> , למרות שהסכום לפי מה שבדקתי אמור לצאת <math>\ln(2)</math> . איפה הטעות שלי? אני מניח שהיא איפה שהמרתי סכום לאינטגרל לא אמיתי... איך אפשר לחשב את זה בכל מקרהגם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI?
===תשובה===קודם כל אין פה כלל חלוקת רימן (שכן המרחק בין נקודות הדגימה הוא אספוננציאלי עולה, ואילו האורכים הולכים ויורדים לאפס)*נקודתית זה ברור מאינפי 1. לבמ"ש ההוכחה דומה. אפילו אם הייתהשארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, זו חלוקה אינסופית אחת ולא גבול של חלוקותכלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט.
פותרים את זה בדיוק כפי שפתרנו אתמול בכיתה. נגדיר <math>S(x)=\sum \frac{1}{n}x^n</math> קל לראות שרדיוס ההתכנסות הוא אחד ולכן זה טור חזקות שמתכנס ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש בסביבה של חצי. ברור שסכום הטור שמעניין אותנו הוא <math>S(\frac{1}{2})</math>. מכיוון שההתכנסות היא , האם זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש מותר לגזור איבר איבר ולקבל <math>S'(x)=\sum x^{n-1} = \frac{1}{1-x}</math>. ?
לכן *ברור שלא.... אינפי 1. <math>S(x)fn=\int_0^x S'(t)dt=-ln(1-x)^n</math> לא מתכנס בכלל, אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש.
ולכן <math>S(\frac{1}{2})=-ln(\frac{1}{2})=ln2</math>יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא? המשפט הראשון בעמוד הראשון של הסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים???
*נכון מאד, הסרתי את הסיכום. המשפט אומר שאם יש מקסימום/מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (לדוגמא x^3).
שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד כדי טעותc או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x באפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכון?)תודה.
הערה: זה תרגיל נחמד שנותן לנו נוסחא לחישוב lnx עם דיוק אספוננטציאלי עבור *הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x>1 (עבור x<1 ניקח את <math>-ln(\frac{1}{x})</math>)למשל מתבדר. הנוסחא <math>ln(x)=-ln(\frac{1}{x})=-ln(1-\frac{x-1}{x})=S(\frac{x-1}{x})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(\frac{x-1}{x})^n</math>
נחמד מאוד, הבנתי! על הטריק עם ה-ln שכתבת בהערה אני לא חושב שהייתי מצליח לעלות, אבל אני אזכור אותו עכשיו, תודה רבה!!
==שאלה==יהי <math>\sum _{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי מתכנסלמה אם f פונקציה רציפה, ומחזורית ואי- <math>f_n שלילית בממשיים(f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)</math> סדרת פונקציותx^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f חסומה מהנתונים, כך שלכל n טבעי מתקיים: <math>|f_{n+1}לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(x)-f_n(x)|<a_n</math> x מ1 עד אינסוף מתבדר. הוכח או הפרך : <math>f_n</math> מתכנסת במידה ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה.ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???
אני מתקשה להבין את הבעייה ===תשובה=== תומר - כמה שאלות , כמה שאלות ! :) לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , במידה שווה - ראה משפט שהוכחתם . או - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של ההתכנסות קריטריון קושי להתכנסות במ"ש במקרה הזה! . אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא תלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף .זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! . אז אחרי שלא הצלחתי להפריך לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס . ==שאלה מסודרת ==נתונה פונקציה fרציפה, ניסיתי מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח, וראיתי שזה קרוב יותר לקריטריון של קושי להתכנסות במ"שמתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה, אז מספיק להראות שאם לכל k יש n טבעי שעבורו <math>|f_{n+1}לא? ואז הגבול של (f(x)-f_n/x)/x^2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)|<k</math>x מתכנס, אז גם נובע שלכל m>n מתקיים התנאי כי האינטגרל של קושי, אבל זה בדיוק מה שאני לא מצליח להראותx^2 מתכנס... איך אני יכול להפריך ע"י מציאת סדרת פונקציות שהפרש של כל פונקציות קרובות שואף לאפס, אבל כשה-n גדל הפונקציות החדשות שנוצרות רחוקות יותר עד כדי חוסר התכנסות במידה שווה או אפילו חוסר התכנסות?
===תשובה===
(לא ארז/תומר) נראה לי שהטעות שלך היא כזו , כשאתה עשית את מבחן ההשוואה, עשית את זה תרגיל מאינפי עם הפונ' x^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 בתכלס.<math>|f_m-f_n|=|f_m-f_{m-עד אינסוף (אתה מתבלבל עם 1}+f_{m-1}-/x^2)....+f_{n+1}-f_n|\leq a_m+...+a_n</math>
:אבל לפי תנאי קושי להתכנסות טורים הצד הימני קטן מאפסילוןאמרתי בקטע 1 עד אינסוף...לא מאפס!:אהההה:הוא העיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. x^2 זו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי. ובנוגע להוכחה , הבנתיאני עשיתי את זה בדרך הבאה: נסמן את המחזור של F כ-T, וזה מתקיים עבור אנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, לכן יש נקודה X0 בקטע [1,1+T] כך ש- (''f''(''x0'' שווה ל-M גדול ממש מאפס. מכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a,b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f(x)>M/2 (או אפילו גדול שווה, זה לא משנה) וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n*T,m גדולים מספיק b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת. ברור כי שתי הפונ' אי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כש- R>1 (כלומר שגדולים מF רציפה בכל קטע כזה, ול-n0 התחלתיG יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים)ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, כך גם האינטגרל הלא אמיתי של F... יפה! הייתי צריך לנסות לקשר ועכשיו, להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, זה לא כזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את זה לסכום הטור... תודה רבה :) !!!ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x
==שאלה==
אני מוכרח להביןלמה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<g ו f>g והאינטגרל של f מתכנס(לא אמיתי, מה בעצם המשמעות בשנ הסוגים הוא אמר ככה...) אז האינטגרל של "התכנסות במידה שווה" של סדרת פונקציות? ז"אg מתכנס. הוא לא אמר שאם g מתבדר גם f מתבדר, מה המשמעות הגרפית של זה, בלי שימוש באפסילון וכ'ולא נכון? מה בעצם ה"מידה שווה" כאן?
===תשובה===
המשמעות היא שבכל נקודה בפונקציה ההתכנסות היא באותה מהירות פחות או יותרהמשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון. גרפיתלא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, אתה מעתיק את פונקצית הגבול אפסילון למעלה ואפסילון למטה, ואז החלק מn_0 מסויים כל הפונקציות בסדרה מצויירות בגרף בין שתי ההזזות של פונקצית הגבוללכן אם g מתבדר אזי f מתבדר.
במילים אחרות, הפונקציות נמצאות במרחק 'קבוע' מפונקצית הגבול ללא תלות באיקס. למה זה עוזר? למשל רציפות. תהי סדרת פונקציות רציפות. ניקח פונקציה f_n מהסדרה עבור n מספיק גדול, ונקח סביבה קטנה של x_0 כלשהו. מתוך רציפות, f_n שולחת את סביבה של x_0 קרוב מאד לf(x_0). אבל, f_n שולחת כל נקודה בסביבה לגובה קרוב מאד לפונקצית הגבול באותה נקודה כאשר המרחק לא תלוי בבחירת הנקודה. לכן גם כל הסביבה של פונקצית הגבול קרובה מאד לf(x_0( ויוצא שגם פונקצית הגבול רציפה.==שאלה==
בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?:: [לא תומר או ארז] לי דווקא יצא 1==שאלותשאלה==קודם כלאם אני צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימן, בקשר לאינטגרביליות. לפי הגדרת והראיתי שהסכום רימן, מותר לדלתא להיות תלויה במסשלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' הקטעים - n?*עוד שאלה. באחד המשפטים בכיתה, רוני כתב משהו כמו "g אינטגרבילית ולכן לכל אפסילון>0 קיימת דלתא, כך שלכל חלוקה T המקיימת שפרמטר החלוקה שלה קטן מדלתא, יתקיים: s(t!) עליון אחרת פחות s(t) תחתון קטן מאפסילון (סליחה על הכתיבה המסורבלתאפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון..)האם זה לא אמור להיות, שלכל אפסילון קיימת חלוקה מראה לי שהפונק'אחת' T שמקיימת את זהשלי אינטגרבילית גם? זה לא עירבוב ויותר מזאת, שואפת לסכום I של 2 הגדרותאותה הפונקציה השניה?תודה רבה (:הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי?
===תשובה=שאלה==מה זאת אומרת מותר לדלתא? נתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"י M. צ"ל שf^2 אינטגרבילית באותו קטע.יש פרמטר חלוקה - אורך הקטע הגדול ביותר. הסכומים מתכנסים אם על כל החלוקות החל מפרמטר חלוקה מספיק קטן דרך להראות את זה לא ע"י הרכבת פונקציות (דלתאשבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר) הסכום קרוב לגבול עד כדי אפסילון. אין פה שום קשר למספר הקטעים בחלוקה. דלתא תלוי בלבד באפסילון, בפונקציה ובקטע.?מהי הדרך?
קודם כל תבדיל בין הגדרה לבין משפט. הגדרה להתכנסות יש רק אחת. כל שאר התנאים להתכנסות שקולים.:הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן חסומה)
בוודאי שאין חלוקה יחידה כזו, הרי כל עידון של החלוקה יקיים אבל יש דרך להראות את התנאי גם כן. יכול להיות שבהוכחה שלו הוא יכל לרשום פחות דברים, אבל אין ספק שזה מוכיח.::::זה נכון שעידון חוץ מהרכבה של החלוקה יקיים את התנאי, אבל הוא טען שכל T שיקיים שפרמטר החלוקה שלו יהיה קטן מדלתא, יקיים את החלוקה. למה זה נכוןפונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית? אני מסכים שלעידון זה יהיה נכון, אבל לא בהכרח לכל T כנ"ל.
:::::אני מניח שאחר כך הוא הוכיח שבמקרה המסויים זה מתקיים. כמו שאמרתי, יכול להיות שהוא הוכיח יותר ממה שצריך, אבל אם הוא הוכיח, מה רעתומר - מידת קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה החדשה היא אפס ? שנית, עבור פרמטר חלוקה מספיק קטן המרחק בין הסכום העליון לגבול והמרחק בין הסכום התחתון לגבול הם אפסילון חלקי שתים. לכן המרחק ביניהם הוא אפסילון.::::::בקשר למשפט הראשון - הוא לא ניסה להוכיח כלום בהתחלה. הוא פשוט הסיק מהנתון, שאם G אינטגרלית אז בוודאי מתקיים מה שכתבתי למעלה..::::::: אוקיי. כמו שהסברתי, זה נכון.
==שאלה==בתרגיל 3 פה: http:(לא ארז//wwwתומר) כן יש פיתרון אחר, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות.math.tau.ac.il/~boazslom/hedva2/Exercises/ex-02.pdfבפתרונות הם טוענים שמכיוון שf גזירה, ניתן להציב x=f^2 חסומה (tברור), ונותר להראות את התנאי השני. לא ממש הבנתי את הקשרבקשר אליו, מישהו יכול להסביר?קל להראות ש
w(f^2)<= w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), ומכאן קל להמשיך.
מראים את זה כך, לכל x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים:
f(x1)^2-f(x2)^2<=(f(x1)-f(x2))*(f(x1)+f(x2)), ומכאן זה ברור
==שאלה==
התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0,1] כך שfn(x)-->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של fn מ0 עד 1 אינו שווה ל0.
- האם הפונקציה x^n(x^n-1) qq מקיימת את הדרוש? הפונק' אכן רציפות ב[0,1], פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני לא טועה, 1/n פחות 1/(2n+1)..
===תשובה===
strictly monotonic כלומר מונוטונית אתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא '''ממששואף'''. זה התנאי לכך שתהיה לה הופכית ואז תוכל לבצע את ההצבה. כמובן שגם העובדה שהפונקציה גזירה נחוצה לאפס? כי כמעט כל סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (על מנת שההופכית תהיה גזירה, חוץ אולי מנקודה אחתלמשל הסדרה של הפונקציות הקבועות <math>\frac{1}{n}</math>). אם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, קח סדרה של פונקציות הבאה:אופס, התכוונתי לכתוב מונוטונית ממש מלכתחילה ובטעות כתבתי גזירההגרף של הפונקציה ה-n הוא משולש עם בסיס <math>\frac{1}{n}</math> בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. בכל מקרה תודה רבה הסדרה הזו שואפת לאפס (:כמובן שלא במ"ש) והאינטגרל על כל פונקציה בסדרה הוא תמיד 1.
==שאלה==
האם גזירה ברציפות משמעותהנראית נחמדה. f:[0,1] ---> R היא פונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f(x)יש נגזרת<=sinx לכל x בתחום. צריך למצוא את כל פתרונות המשוואה: 2cosx+quad(f,0,x)הנגזרת רציפה -1=0.בלבד(קוסינוסX ועוד האינטגרל של f מ0 עד x פחות 1 = 0.)מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואה, לא הצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/למצוא פתרון נוסף. ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי למשהו שמוכיח. יש רעיון למישהו?תודה::מישהו??
תומר - כמו שאמרת - יש נגזרת והנגזרת הזו היא פונקציה רציפה .
:::אם f=sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס. אם f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפס
==שאלה==
מישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, ומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? תודה.
:כדאי? תמיד. מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה.
ארז ותומר==שאלות מעניינות==* הוכח או הפרך:תהי <math>f_n(x)</math> סדרה של פונקציות גזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה <math>f</math>, אשר גם גזירה ברציפות,ב- אתם יכולים להגיד כבר מעכשיו אם יותר השימוש במחשבונים במבחן? בבקשה תרשו<math>[a,b]</math>.אזי ש- מה אכפת לכם? זה לא יכול להזיק לכם<math>f_n' \rightarrow f'</math> במ"ש על הקטע <math>[a, ואותנו זה מרגיע..b]</math>.* בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור <math>u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)</math>, כך ש-<math>a_n(x)>0</math> והטור מתכנס ב-I.מתי אני יודע אם הפונקציה הגבולית רציפה, כך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש. נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף! תודה.!!! :)
:זה מבחן לא בוחןתומר - אם ניקח את הסידרה cosnx ונחלק הכל ב n . החלטה של המרציםהאם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש ? ומה עם נגזרותיה ? . מוזמנים לשאול אותם..לגבי דיני - פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא אמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! .
תומר - יש סיבה לא להרשות שימוש במחשבון ... יש שאלות שנראה ששימוש במחשבון יכול לעזור לפתור אותן ( כמו במועד ב בבוחן שהיה...) אבל פיתרון מבוסס על חישוב במחשבון לא התקבל ! הנימוקים צריכים להיות מבוססי הוכחה מתמטית ולא חישוב נקודתי .==שאלה==
ארז - מצטרף. מחשבון, מייפל, מטלב, וספרי לימוד הם כלים מאד חשובים למתמטיקאים. בשעת מבחן נבדקת היכולת המתמטית ללא חומרי עזר.שאלתי את רוני-יהיו מחשבונים.שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון:
==בקשר למבחן שהעליתם==קודם כל, תודה רבה :) אבל לא מצאתי אלא שאלה אחת int(arctan(אם בכללx) על כל החצי הראשון של הקורס, שחשוב לא פחות מהחצי השני /[(אינטגרלים לא אמיתיים, טורי חזקות וכו'). יש מבחנים שכוללים גם את החומר הזה? אם לא - האם הבוחן הוא אינדיקטור טוב להבנת החומר? כלומר, השאלות שם סה"כ מסכמות את החומר ברמה די גבוהה? ובנוסף, לגבי המועד ב' שהעליתם, שאלה אחת. הוכחנו לפי משפט לבג בדיוק את אותו המשפט, רק שלא נדרש שהנגזרת תהיה רציפה. למה דורשים את זה כאן? בכלל בפתרונות, הם אומרים שgx*f (הרכבהln(x+1) היא הרכבה של פונק' רציפות)^2)], אבל לא בטוח בכלל שf רציפהx = 0 ..infinity)
ניסיתי דיריכלה, חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי. אשמח לעזרה
===תשובה===::מצטרף לשאלה!! איך היית מגדיר פותרים את שאלות 5 ו6 במועד א' ושאלה 5 במועד ב'הדבר הזה?
אני רואה שהם למדו גם חומר שאנחנו לא למדנו, מן הסתם המבחן יהיה על מה שכן למדנו. אי אפשר להסיק ממבחן של שנה מסוימת בדיוק מה יהיה או לא יהיה במבחן. על מנת שמבחנים לא ימשכו שעות תמיד משמיטים חומר מסוים, והחומר הזה יכול להתחלף משנה לשנה וממועד למועד.
למעשה(לא ארז/תומר) תנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2]. שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, אי ושעם קצת אלגברה אפשר בכלל לדעת מראש מה יהיה במבחן :להוכיח שמנת ה-ln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים
תודה רבה :)
לגבי השאלה השנייה, יכול להיות שהם זה לא לימדו לבג בשנה שעברהנכון, ולכן נתנו שאלה חלשה יותר אבל פתירהכי יש בעיתיות גם בנקודה x=1 וגם באינסוף. ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של האינסוף
שנית, אתה צודק f אינה רציפה, אחרת זו שאלה טריוויאלית לחלוטין (כל פונקציה רציפה על קטע סגור אינטגרבילית שם):תראו איזה מהירותאבל אני לא חושב שאמורה להיות בעיה, שלחתי לרוני את הבעייה שרשמתכי זאת בעיה בנקודה, והוא כבר החזיר לי גרסא מתוקנת. העלאתי אותה...::תודה רבה :). בכל מקרה, אני רוצה לומר תודה על כל הפורום הזה וההשקעה האינסופית.וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני.
==תרגיל==* נגדיר <math>f::אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2) מתכנס (השוואה עם 1/x^n}{n!}</math>2). הוכיחו ..::עכשיו בקשר לאינטגרל מ-0 עד 1 אתה יודע ש<math>f'- ln(1+x)=f<x לכל x ב-[0,1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x)</math>x^4 וזה מתבדר ע"פ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [0,1], ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ).
:(לא ארז/תומר) קודם כלעבור האינטגרל מ- זהו טור חזקות שמתכנס במ"ש לכל x ממשי. לכן ניתן לגזור איבר איבר. ואז <math>f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n*x^{n-עד 1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n*, תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2 . שים לב ש arctanx/x^{n-1}}{שואף לאחד וש ln(n-1+x)!}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{/x^{i}}{i!}=f(גם שואף לאחד כאשר x)</math>שואף לאפס.השוויון השני נכון כי עבור n=0 נקבל אפסובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא בריבוע... בשוויון הלפני אחרון החלפתי משתנה: <math>i:=n-1</math>
:: האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל זה באמת יהיה טוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס.
:: תודה לשניכם :)
:זה שאתה ==שאלות.==*arctanx חיובי בקטע 1,infinity לא אני זה לא מפתיע? היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, כי באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..*במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, אם הגבול יוצא חיובי? לדוגמה, הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x-1..*כאשר אני רשמתי את השאלה :) רק דילגת מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על חלק עיקרי בהוכחההשונים!]. אם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, מדוע הטור מתכנס במ"ש לכל x ממשי? זה נכון בכלל? בלי קשר לחיוביות/שליליות של אחת הפונקציות.. *בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש לי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"א מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את האינטגרל השני גם?
(מישהו אחר) זה נכון כי לפי המבחן של קושי עם הגבול העליוןוזהו, הגבול של שורש nי של nתודה רבה! הוא אינסוף, ולכן הגבול של 1 חלקי זה הוא 0, ולכן הרדיוס הוא אינסוף. ואז אפשר להמשיך כמו שהבחור הקודם הראה, או להראות שan שווה בדיוק לפיתוח לטור חזקות של e^x שמקימת שהנגזרת שווה לפונקציה
::::נתבונן בפונקציה <math>g(x)=e^x</math> בקטע הסגור <math>[-r,r]</math>==תשובה===*כן הוא חיובי.*אם בתחום הפונקציה אי חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה אי שלילית. כמובן שמכפלה במינוס לא משנה התכנסות אינטגרל*נכון.לכל x בקטע ולכל n טבעי מתקיים*נכון
<math>|f^{::כן, אבל כשהפונק' הייתה שלילית, הגבול יצא לי חיובי. אם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי..:::לא יכול להיות שהגבול של המנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי::::::: כעיקרון אני מדברת על הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1] אני משווה אותה עם sinx חלקי (n1 פחות X)}. (xיום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על הסרבול)|=|e^x|<e^r</math>. בכל מקרה, שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה. אבל הגבול של המנה, כאשר X שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת..
לכן בכל קטע סגור כזה ניתן לפתח את הפונקציה לטור חזקות, שזה בדיוק הטור בשאלה:כי ln שלילית בקטע הזה.הטור מתכנס בכל קטע סגור כזה::אוקי, לכן הוא מתכנס (נקודתית) על כל הישר הממשיאז בעצם מכפילים את הפונק' המקורית ב1- ואז מקבלים גבול חיובי, כלומר יש לו רדיוס התכנסות אינסוף.לכן הוא מתכנס במ"ש בכל קטע סגור על הישר.לכן ניתן לגזור איבר איבר כמו למעלה.ואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת ==> כך גם הפונק' המקורית?
:נכון
* אי אפשר להשתמש בפיתוח של e^x ובעובדה שהוא הנגזרת של עצמו, הרי זה מה שאתם מתבקשים להוכיח.==שאלה==*רדיוס ההתכנסות הוא אכן אינסוף ולכן טור החזקות מתכנס התכנסות במ"ש על כל קטע סופי, ולכן מותר לגזור איבר איבר על כל קטע סופי. זו אכן התשובה. (זה לא אומר שהטור מתכנס של ערך מוחלט של טור הפונק' גוררת התכנסות במ"ש על כל הממשיים)של טור הפונק'?:כבר נשאל בעמוד זה.כן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט
למה אי ==שאלה==*הסתבכתי,אפשרעזרה? *נניח שהפונקציה f מוגדרת ורציפה בקטע סגור x=a..b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"ש בקטע זה אם אני מראה שאת eורק אם הסכום הנל(f^x אפשר לפתח לטור חזקות והרדיוס התכנסות שלו n) מתכנס נקודתית בקטע זה אינסוף, ומראה שהטור חזקות זה בדיוק הטור הזה. זה לא אומר שהנגזרת שווה לפונקציה כמו e^x?
:הנחת שהנגזרת של e^x הינה e^x כאשר הראת שהטור הזה הוא הפיתוח של e^x. אבל זה מה שצריך להוכיח...
::איך מראים שרדיוס ההתכנסות השאלה לא מנוסחת טוב. מה זה f ומה הוא קשור? מה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוףלבין טור?<math>\overline{\lim_{n\rightarrow \infty}} \frac{1}{\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}}=\infty</math> מכיוון ש<math>\lim \sqrt[n]{n!}=\infty</math>תיקנתי... מה הבעייה בהגדרה של f פשוט פונקציה f(x)
:::יש לי סתם שאלה, בלי קשר לתרגיל הזה - אם, באותו אופן, היה יוצא שהרדיוס הוא 0, האם זה מספיק, וכל שנותר הוא לבדוק התכנסות בנק' x=0?*מספיק בשביל שאלתי מה? זה אומר שהטור לא מתכנס בשום מקום פרט לנקודההקשר של f. לכן הוא לא רציף ולא גזיר ולא מענייןגם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f. אין מה לבדוק התכנסות בנקודה אפס, זה תמיד מתכנס שם לקבוע a_0.. האם היא פונקצית הגבול של הטור? האם הפונקציות בסדרה רציפות?
::::אבל איך חישבת את הגבול הזה?(לא ארז וגם לא תומר) בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n מתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x נקבל f(x<1 (בערך מוחלט, הלוואי שזה לא היה קופץ כל הזמן). f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc,d בתוך [-1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש. לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa,b עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc,d עבור הטור של x המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה כל מה שצריך).
*זה תרגיל מאינפי אחד. אתה מקטין את חצי מהאיברים של n! לאחד, ואת החצי השני אתה מקטין לn/2 וסה"כ אתה מקבל <math>n!>(\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}</math> ולכן <math>\sqrt[n]{n!}>\sqrt[n]{(\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}}=\sqrt{\frac{n}{2}}\rightarrow \infty</math>
דבר אחר, ניתן להראות שלכל x0 ממשי טור המספרים שמתקבל ממנו מתכנס, ולכן הטור מתכנס נקודתית בכל הישר, ובפרט במ"ש בכל קטע סגור בו.
*איך התכנסות בכל נקודה גוררת התכנסות במ"שאבל למה f(x) בערך מוחלט קטן מ-1? זה מאד :הסברתי במפורט בתשובה. לא נכון. ההתנכסות על כל קטע סופי היא במ"ש מכיוון שזה טור חזקות עם רדיוס אינסוף. טור חזקות בהכרח f<1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש על כל קטע סופי שקטן ממש מהרדיוס שלו.-אבל אם הטור מתכנס בכל נקודה, זה בדיוק כמו לאמר שהרדיוס שלו הוא אינסוף...::כן. אם זו הכוונה שלך אז אתה צודק. (חשוב לפרט שזה טור חזקות, ולכן הרדיוס הוא אינסוף ולכן הוא מתכנס במ"ש על ברור שהוא מתכנס. זה כל קטע סופי)מה שצריך להוכיח.
:::===תשובה===::::אפשר לומר שהגבול שצריך לחשב הוא הממוצע הגיאומטרי של הסדרה <math>a(אה.... התבלבלתי בין f_n לf^n):=n</math>, ולכן שאיפת הסדרה לאינסוף גוררת את שאיפת הממוצע לאינסוף לפי משפט, לא?.*אני לא זוכר משפט כזה, יכול להיות שאתה צודק... מצטער.
==שאלה - טורי חזקות==יש איזו נקודה שלא לגמרי נגענו בה בתרגול ההשלמה - טורי חזקות, הכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר החזקה היא, למשל, <math>n^2|f(x)|</math> , או <math>2^n-1</math>. מתי כדאי להפריד למקרים של מקדמים (ואז הסופרימום הוא מתי שיש מקדם), ומתי כדאי להציב, למשל, והוא מתכנס במ"ש כאשר <math>t=|f(x^{n^2})|<r<1</math> ? אבל בגלל שהפונקציה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (בתרגיל יש רק דוגמא לזוגיים ואי-זוגייםאחרת היא לא הייתה מתכנסת בהם)ולכן התנאי מתקיים.
:קשה קצת לענות בלי לראות דוגמא, צריך להשתמש בשיטה שבעזרתה תצליח לפתור את התרגיל.
::תומר - עשינו דוגמאות בהן למשל החזקות היו רק האי זוגיים למשל , והצגנו דרך להתייחסות למקרים כאלו - מופיע בסיכום תירגול ההשלמה הסרוק . בנוסף נשים לכם דוגמאות נוספות * על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה <math>|f(x)|<r<1</math> כל שצריך הוא מבחן הM<math>|f(x)^n|<r^n</math>.
:::אוקיי, יש לי דוגמא טובה - הטור: * על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי <math>\sum n! |f(x^{n!})|<1</math> - כשפותרים אותו לפי מבחן השורש, מקבלים: כל מה שצריך הוא להסתכל נקודתית על הטור <math>R=limsup \frac{1}{{a_n}sum |f^{\frac{1}{n}}} (x)|= lim \frac{1}{{n!}sum a^{\frac{1}{n!}}} = 1 </math>כאשר <math>|f(limsup זה גבול עליוןx)|=a<1</math> וזה כמובן מתכנס.
* טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר. * על מנת להוכיח שהוא לא מתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל הsup שלה היה אחד:::או מה לגבי : ניקח סדרה <math>x_n</math> כך ש <math>f(x_n) \sum rightarrow 1</math> ולכן <math>\fraclim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-1S_k(x)^n}|>\lim_{3^nk\rightarrow \infty}|S(x+1)^x_{n^2n_k}</math> )- אני הרי לא יכול לפרק את זה ל: <math>S_n(x+1x_{n_k)^n}| =t\infty</math> , אז אני חייב להגדיר (נבחר את המקדמים כאפס כשזה לא "ריבוע שלם", וכ-n_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף. אנחנו יודעים שזה מותר כי <math>n^2f(x_n)\rightarrow 1</math> בריבוע שלם. במקרה הזה, כשמגדירים t) =x+=שאלה==אם יש לי פונקציה ואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1, קבלתיאיך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע?וגם פה שאלה 4 כוון כללי אם אפשר...http: ש-<math>\frac{1}{R} = 0</math>, ולכן זה תמיד מתכנס/moodle.technion.ac.il/file.php/1098/Exams/2004-2005-spring-test-a.pdf
===תשובה===
לגבי הטור הראשון החישוב שלך נכוןהוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות. בטור השני לא הבנתי מה הכוונה איך פתרת אבל התשובה שגוייה. הרי אתה מוודה? אם תציב אפילו x=2 תקבל סדרה שאינה חסומה פתחת נכון זה חייב להיות שווה - הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (ולכן וודאי הטור מתבדר. אבל אם תחשב שוב limsup תקבל:למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הנקודה אפס כמובן])
<math>\limsup \sqrt[n^2]{|\frac{(-1)^n}{3^n}|} = \limsup \frac{1}{\sqrt[n]{3}} = 1</math> לכן רדיוס ההתכנסות הוא 1/1=1.
לכן הטור מתכנס עבור <math>-1<x+1<1</math>. מה הסיבה? הרי <math>t^{n^2}=(t^n)^n</math> אם t>1 מתישהו t^n יהיה גדול מ3 ומאותו רגע הסדרה גדולה בערך מוחלט מאחד ולכן לא שואפת כלל לאפס.לגבי השאלה השנייה כבר שאלו אותה, תסתכל בארכיון 17
בקצוות הטור הראשון כמובן מתבדר אבל הטור השני אתה יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של טיילור, למשל הפונקציה f(0)=0 f(x)=exp(-1/x^2) sהיא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס.בכל הישר (הוא תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס)מה שאני שואל זה איך הייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, רק שזה לא תמיד לערך הפונקציה?
:אני מבין, ובחישוב שלי הגעתי לאותה תשובה, רק שמאיזשהי סיבה הייתי משוכנע ששלוש בחזקת אחת חלקיי אן שואף לאפס... תודה!
==תרגיל 8 שאלה 2==בתרגיל 8 שאלה 2: לא היה אפשרי לפתור כך?: f רציפה ולכן יש לה אל תבלבל. הקטע עם הבדיקה בנקודה זה רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה,נסמנה gשל טור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר. האינטגרל של f מa עד b באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא בעצם הערך של g בנקודה b פחות ערכה בנקודה a. אכן הפונקציה g היא גזירה, ולכן מתקיים עבודה תנאי לגראנז',וזה כאשר הנגזרות חסומות (f היא הנגזרת של gראה את ההשלמה): ולכן קיימת נקודה c עבורה ערך הפונקציה f בנקודה שווה לערך של g בנקודה b פחות ערכה בנקודה a חלקי b-a. מ.ש.לבמקרים אחרים (כמו זה שתארת) אסור סתם להניח שיהיה שיוויון.
כן, אבל בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילורמה שאתה אומר זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא יותר קל להוכיח ככהיודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן?(במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות)
:זו הוכחה תקינהכן. יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, אבל גם יכול להיות שזה פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הנגזרות מכל סדר...
==שאלה- לגבי נושאי הקורס שהעלתם==האם למדנו בקורס את פונקציה בעלת השתנות חסומה, ומשפט ז'ורדן?לא זכור לי שלמדנו...סבבה תודה רבה
:הקבוצה של רוני למדה. הקבוצה של שיין לא?למיטב ידיעתי, ולאחר בדיקה בקלסר,לא למדנו את שני הנושאים הנ"ל, אשמח אם עוד מישהו יוכל לאשר זאת...==שאלה==
אכן, לא למדנו את הנושאים האלו.המבחן ב15:30 נכון? כמה זמן הוא יארך???
אז מה נסגר? האם החומר ירד מהמבחן? לא נוכל ללמוד אותו לבד?!נשמח לקבל עדכון בעניין... תודה!כן, שעתיים
:מה שלא למדתם בהרצאה, לא יופיע במבחן.==שאלה==
למה הסיגמה של 2*(n+1)*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?
:אתה מתכוון ל<math>\sum \frac{2(n+1)3^n}{\sqrt[3]{n!}}</math>? תקח את השורש הn-י ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (הרי <math>\sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty</math>)
במבחן שהועלה לאתר, במועד ב', לא היה אפשרי ויותר קל לפתור בדרך הבאה==התכנסות אינטגרלים==האם האינטגרלים הבאים מתכנסים???:הפונקציה רציפה ולכן חסומה- כמו שכתוב בפתרון* <math>\int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(\theta)}d\theta</math>.ואז- אם הפונקציה רציפה בקטע סגור ולכן חסומה- אז נסמן בp את ההפרש בין הערך הכי גדול לערך הכי קטן שלה. ואז צריך להוכיח שלכל a* <math>\int_0^1 \frac{dx}{\ln(x)}</math>* <math>\int_{r=0 ולכל חלוקה T קיים }^{r שגדול מדלתא T כך =1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr</math>.האם אפשר לומר באינטגרל השלישי ש:סיגמה, כאשר i רץ מ1 עד n של Mi-mi כפול דלתא Xi קטן מa, נכון?ואז נגיד שMi-mi קטן מp ודלתא Xi קטן מr. ולכן הסיגמה היא בעצם קטנה מ- n*<math>\int_{0}^{1} \frac{\sin(r*p. ולכן נבחר את ^2)}{r להיות a}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/n*p. 2</math>, ואז זה שווה לa וסיימנו. שיניתי את האותיות המקובלות אבל זה אותה כוונה....עפ"י השוואה???
ההוכחה הזאת ===תשובה===לא אומרת שכל פונקציה חסומה היא אינטגרבילית??? משהו כאן בטוח לשכוח לבדוק אם האינטגרל הוא אמיתי בכלל או לא . למשל השלישי הוא פשוט בעל אי רציפות סליקה באפס ולכן אינטגרבילי (גם מה שרשמת נכון, אבל מה? גם פונקצית דיריכלה יוצאת כאן אינטגרבילית, פשוט להציב p=1.......בלי קשר)
: אני לא לגמרי מצליח לעקוב אחרי דרך הרישום הזו אבל:*הכותב מעליי צודק, כביכול הוכחת שכל חסומה היא אינטגרבילית*אני חושב שהבעייה היא שאתה מגדיר את r להיות תלוי בnבראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1. אני לא בטוח מה זה r אבל אני דיי בטוח שהוא לא צריך להיות תלוי בn :)ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם <math>\frac{1}{1-x}</math>
r הוא דלתא, המספר שגדול מאורך הקטע הגדול ביותר של החלוקה T.... מה הבעיה בלהגדיר אותו תלוי במספר האיברים בחלוקה T?==שאלה==
נתונה פונקציה f(x) בקטע [a,b] ונתון שהיא חסומה על ידי M. צריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה גורר ש-f^2 אינטגרבילית. חסימות זה לא בעיה, אבל הסתבכתי עם התנאי השני אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f,g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, כאשר במקרה הזה g=f? :(לא ארז/תומר) ענו כבר על השאלה הזאת... לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, למרות שהוא נכון, כי ההגדרה לגבול סכומי רימן תלוייה בלבד בפרמטר החלוקה ואין קשר למספר הקטעים בחלוקהאז התרגיל טריוויאלי. :הנה ההוכחה- יהי אפסילון גדול מאפס. בכל קטע g(x1)-g(x2)=(f(x1)+f(x2))*(f(x1)-f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע. (g מוגדרת כ f בריבוע). מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון. תומר - ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . מה עם נקודות האי רציפות של הפונקציה בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ? ואם כן מה זה אומר על מידתה ? ...
==שאלה==
תהי f פונקציה רציפה ב[a,b] ונניח שקיימת חלוקה P של [a,b] שעבורה הסכום העליון שווה לאינטגרל מa עד B של הפונקציה. צריך להראות כי בהכרח f קבועה ב[a,b]להוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש.רעיון ?f(x)= sum from 0 to infinity of (e^-nx)* cos(nx) s
:נניח בשלילה שפונקציה אינה קבועה. נותר להראות שאם קיימת חלוקה כזובכל קטע (a, קיים עידון שלה בעל סכום עליון קטן ממש יותר בסתירה.infinity] כאשר a>0
ניסיתי עם מבחן ה- m ולא הצלחתי.
מישהו?
אפשר להשוות עם e^-n במבחן הM לא?
::(לא ארז/תומר)אם אתה רוצה הוכחה מלאה: נתבונן בקטע החלוקה האני חושב שצריך להשוות עם e^-i-י. נניח בשלילה שקיימת בקטע זה נקודה שערך הפונקציה בה קטן ממש מערך הפונקציה המקסימלי בקטע. ערך הפונקציה בכל x בקטע קטן שווה לערך המקסימום בקטע, וכיוון שיש נקודה בה אי השיוויון חזק, נקבל בתוספת הנתון על הרציפות שיש אי שיוויון חזק באינטגרלים. כלומר, אינטגרל על הערך המקסימלי גדול ממש מאינטגרל על הפונקציה, בקטע המדובר. כיוון שבכל קטע חלוקה אחר מתקיים שערך הפונקציה המקסימלי באותו קטע גדול שווה לכל ערך אחר בקטע (לפי הגדרת המקסימום, שקיים כי זו פונקציה רציפה בקטע סגור), אם נסכום את כל אי השוויונות האלו בתוספת אי השוויון החזק בקטע ה-i-י, נקבל שהאינטגרל על הפונקציה ב [a,b] קטן ממש מהסכום העליון של החלוקה P, בסתירה לנתון. לכן בקטע ה-i-י החלוקה קבועה. זה נכון לכל i ולכן בכל אחד מקטעי החלוקה הפונקציה קבועה. כעת נתבונן בנקודות החלוקה של P. לכל נקודה כזו (חוץ מהקיצוניות) מתקיים שהגבול של הפונקציה כש-x שואף לנקודה מימין הוא הערך הקבוע של הפונקציה בקטע שמימין לנקודה. ובאותו אופן הגבול משמאל יהיה הערך הקבוע בקטע שמשמאל לנקודה. הפונקציה רציפה בפרט בנקודות החלוקה, לכן הגבולות החד-צדדיים שווים כלומר הערכים הקבועים של הפונקציה בקטעי החלוקה הימני והשמאלי לנקודה שוויםan . זה נכון לכל נקודה בחלוקה ולכן הפונקציה קבועה. מש"ל.
:::קודם כלעם e^-n וזה עובד. עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(x) שזה הסכום הוא פונקציה רציפה ב(o, תודה רבה על ההשקעה! לא ממש הבנתי למה אתה מתכוון כשאתה אומר "כלומר, אינטגרל על הערך המקסימליinfinity).הבעיה זה שזה קטע פתוח ולא סופי.. עדין אפשר להשתמש במשפט על טור של פונקציות רציפות המתכנס במ" מה הכוונהש?
::::הוא מתכוון תמיד משתמשים באותו טריק (אני מניחלא התעמקתי בשאלה, מקווה שרלוונטי) לאינטגרל אם ההתכנסות היא במ"ש על הפונקציה הקבועה שערכה הוא ערך המקסימום שהפונקציה מקבלתכל תת קטע סגור וסופי אז יוצא שפונקצית הגבול רציפה בכל נקודה בלי שתהיה התכנסות במ"ש על הקטע האינסופי/פתוח כולו.
::::::ממש ממש תודה! :) עזרתם == תרגיל 11 ==מישהו יכול לכתוב שוב את הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, הלינקים לא עובדים לי מאוד.
==שאלה- גזירת טור חזקות==הוכחנו בהרצאה משפט שאומר שניתן לגזור טור חזקות איבר-איבר בכל נקודה בתחום התכנסותו:ארכיון 16..הניסוח של המשפט לא דורש התכנסות במ"ש, רק עושים בזה שימוש בהוכחה.לאור המשפט הזה- האם בתרגיל שהועלה לאתר (שצריך להוכיח שהפונקציה שווה לנגזרת), אפשר פשוט לגזור איבר איבר (כי זה טור חזקות)?
===תשובה=שאלה==יש בזה משהו, כי הרי כל נקודה בתחום ההתכנסות של טור חזקות מוכלת בסביבה סגורה בה ההתכנסות הינה במ"ש. מתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני לא בטוח מה קורה אבל באופן כללי בנקודות הקצה של ההתכנסותיודע שיש לנו אותם, הכוונה עם הנגזרת החד צדדית. במקרה שלנו זה פקטור, וציוני תרגיל 8/10 אם אני לא משנה כי ההתכנסות הייתה בכל הממשייםטועה)והאחוזים מהציון הסופי?
התרגיל היה המצאה שלי על מנת לתרגל אתכם, המשפט שאתה מדבר עליו הוא מה שרציתי שתראו בתכלסמצטרף!! תומר - יפורסם בשעות הקרובות .אני עצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(!) .סבלנות . יש חדש?
==שאלה==
נתונה פונק' f החסומה ב[aאוקי,b]. הוכח כי אם fנניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"ש ב0,אינסוף (xחצי סגור) אינטגרבילית בוב[a0,b1] אז גם f^2(x) אינטגרבילית שם. קודם כל בדקתי את 0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש.התחום השני, [0,1], מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה לא נובע ישירות מהמשפט לגבי מכפלת פונק' אינטגרביליותעבור אלפא גדול מ2-. מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?
===תשובה===
לכאורה כן, אני לא בטוח באיזה הקשר הגיעה מבין מה השאלה, אבל דרך אחרת לפתור אותה היא לומר שזו הרכבה של הרציפה x^. הרי ברור שאם זה מתכנס במ"ש לכל אלפא גדול ממינוס 2 על פונקציה אינטגרביליתאו קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא. השאלה האמיתי היא אם החישובים שלך נכונים.:כןהשאלה היא כזו - הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש ב0, אבל אין שום משפט על הרכבת פונ'.infinity.רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש גם ב[0,1].::לימדנו אתכם את זה בתרגילנכון?
==אינטגרל ::הדגש הוא על הקטע הסגור? אם יש התכנסות באפס אז כן, אם לא אז לא אמיתי מסוג ראשון==איך ניתן להוכיח שהאינטגרל מ1 עד אינסוף:::כן, של x^a * sin(xמדובר על קטעים סגורים. תודה:) qqqq כאשר a הוא פרמטר שגדול מ0, הוא מתבדר?
===תשובה===אפשר למשל לפי מבחן קושי להתכנסות טורים. הרי x^a שואף לאינסוףאני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(לא כולל הוא עצמו)- הפונקציה מתכנסת, והsin גדול מאיזה ערך חיובי באינסוף קטעים באורך קבועואח"כ הוא אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה.... לכן כל אינטגרל על הקטעים האלה ישאף לאינסוף בסתירה לתנאי קושי.::מבחן קושי להתכנסות טורים? כלומר, להשתמש במבחן האינטגרל?:::לא מבחן האינטגרל. הכוונה היא שהחל מM מספיק גדול כל אינטגרל מסויים על הפונקציה בין a,b>M קטן מאפסילון:::כשאני חושב על זה אולי אפשר לפתור את זה יותר בקלות עם מבחן ההשוואה הגבולי(לא ארז/תומר) דבר ראשוןנכון לגבי טור חזקות, אני לא בטוח שאפשר לעשות איך זה קשור פה מבחון ההשוואה הגבולי בכלל, כי ה- sin גורם שזו בכלל לא פונקצייה אי שלילית ב-R..ובנוגע לפתרון, אני לא בטוח אם לזה התכוון מי שכתב על קריטריון קושי (וגם אם כן, אז אני לא בטוח שמה שהוא כתב כ"כ ברור) אז אני אראה את איך שאני חשבתי לפתור את זה-יהי E>0 ולכל M>0:נתבונן בפונקצייה f(x)=x^a*sin(x בקטע [2k*pi ,2k*pi+pi/4] כשלכל M חיובי יש קטע כזה כך שכל x בקטע גדול ממנו, ונשים לב לב לישר שעובר בנקודות x=2k*pi+pi/4,2k*pi ולא רק שהשטח שהוא יוצר עם ציר ה-X שואף לאינסוף ולכן בפרט גדול (החל מ-K מסויים) מ-E אלא גם שניתן להראות (ע"י גזירה ובדיקה פשוטה) כי לכל נקודה בקטע מתקבל ש f(x)-g(x) גדול שווה מ-0*ובסה"כ לפי קריטריון קושי הראינו שהאינטגרל בלא אמיתי מ-1 עד אינסוף מתבדר
*כש g הוא הישר שמחבר בין שתי נקודות הקצה.::יש עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה נראה לי מוזר להוכיח משהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד.למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב???
:::לא פה בפורום, התכוונתי פה בשאלה הזו... רדיוס התכנסות זה מושג של טור חזקות, וכאן מדובר על סדרת פונקציות. ==שאלה== איך אפשר להוכיח שהפוקנצייה שמייצגת את האינטגרל<math> |cos(x)|</math> חסומהמצטער על הבורות רגע לפני המבחן- מה זה גזירה איבר-איבר? ואינטגרציה איבר איבר? (או אפילו לחשב את האינטגרל הזה)בבקשה שלא יהיה מסובך....
===תשובה===
נניח ויש לך טור מתכנס <math>g=\sum f_n</math>. השאלה היא מהי הנגזרת של g. אם מותר לגזור איבר-איבר אזי <math>g' = \sum f_n'</math>. שים לב שזה לא חסומהתמיד נכון, והאינטגרל דיי פשוט לחישוב. פשוט צריך להפריד למקרים בהם הקוסינוס שלילי והמקרים בו הוא חיובירק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-איבר.
:היא כן חסומה - הרצתי במייפל, וקבלתי שזה שווה ל: אינטגרציה זה דומה <math>sin(x) * sign(cosx)\int g = \sum \int f_n</math> (וזה נראה הגיוני גם לפי ההפרדה למקרים)
::אבל השטח מתחת ל'גבעה' של קוסינוס הוא ערך מסוים, ==שאלה==אם תסכום אינסוף כאלה תקבל אינסוף. לכן הקדומה אינה חסומה. איפה הטעות שלך לדעתךטור חזקות מתכנס גם בR וגם בR-, זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[0,R] וב[-R,0] ואז זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-R,R]?
:::הבנתי, אתה צודק! תראה, התרגיל המקורי שלי ===תשובה===כן. באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש בשני קטעים סגורים צמודים הוא חישוב האינטגרל :<math> \int^\infty_1 \frac{\cos{\sqrt{t}}}{t}dt</math> , ואחרי הצבה קבלתי שזה שווה לפעמיים האינטגרל:<math> \int^\infty_1 \frac{cos(x)}{x}dx</math>, וזה כמובן מתכנס לפי דיריכלהבמ"ש באיחוד הקטעים. כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של שני הקטעים. עכשיו נשאר לי לבדוק התכנסות בהחלט, ואני לא יודע איך לעשות את זה
== :)==שיהיה בהצלחה לכולם! לא פחות מ100 :::רק על מנת שכולם ידעו - הבעייה בפונקציה הקדומה שהצעת היא שהפונקציה <math>sin(x) * sign(cosx)</math> אינה רציפה. משמאל ל<math>\frac{\pi}{2}</math> היא אחד ומימין מינוס אחד. על מנת שהיא תהיה רציפה צריך להוסיף מספר שלם לכל 'מדרגה' כזו ואז הפונקציה אכן לא תהיה חסומה.
תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :):::בקשר לאינטגרלתודה, ראה תרגיל 9 שאלה 6ותודה לכם על סמסטר נפלא (עד כמה שהיה אפשר. אינפי, אתם יודעים). תודה על התרגולים המצויינים, אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (האתר, וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?:ושיהיה בהצלחה לכולם!
==שאלהלארז ולתומר==באינטגרלים לא אמיתיים: אפשר רגע אחרי המבחן, וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את הכל בשבילם, רציתי לומר שהאינטגרל של f+g [באותו תחום כמובן] שווה לאינטגרל של f לכם, לשניכם במ"ש, ת-ו-ד-ה ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד האינטגרל של g?בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך!
ושהאינטגרל של g ב[a,b] + האינטגרל של g ב[b,c] שווה לאינטגרל מa עד b? (נניח שאחד מהם לא אמיתי)
===תשובה===מצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...אם כולם מתכנסים אז כן:מצטרפת.. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-wiki..מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(בטוח יהיה...!!)
::תודה רבה על כל האיחולים - המתרגלים. (בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס)
==שאלה==
בתרגיל 11 , הלינקים ששמתם שם לא עובדים. יש סיכוי שתוכלו לפרסם פה לינקים תקינים?
http://ocwאני מסכים לגמרי עם כל השאר.openuאתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו.acבאמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P=אני רק לא מבין משהו אחד.il/opus/Static/binaries/Upload/Bank116/mmn-16_0ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן.pdf.. לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)... כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי ראיתם את המבחן כבר... לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך.כל מה שאני מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם!תודה על הכול (וזה בשיא הכנות) כי באמת השקעתם בנו
http===תשובה===אני אענה לשאלה שלך בשני מישורים* הראשון והחשוב יותר://ocwמטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ו'''לא''' להכין אתכם למבחן.openuהכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן).acקשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, אך אתם מגיעים על מנת ללמוד.il/opus/Static/binaries/Upload/Bank116/solution-16_0הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את המבחן.pdf
*שנית, אני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת:**שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (עדיף להעתיק הוא היה לפני שראינו את הלינקים ולא ללחוץ עליהםהמבחן). אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (אני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן). אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.**שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (אני העברתי אותה ותומר לא).**יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.**שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים...
יש אפשרות לקבל את הפתרונות של מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא כיף, בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!:זה לא רק דוקר, זה גם צמיגי :P::מתי יעלו ציוני תרגיל 11?
:::אנחנו נעלה אותם היום==יש לי שאלה==איך מוכיחים התכנסות של האינטגרל מ-0 עד 1 של <math>ln^aהאם בשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס(xהוכחה של התכנסות לאפס לא התכנסות במש)</math> עבור a חיובי? ===תשובה===כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת)
==שאלה==
תהא <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות על [0,1] שמקיימות <math>f_n(0)=0</math> לכל n, ותהי f רציפה על [0,1] המקיימת את אותו התנאי. אם האינטגרל מ-0 ל-x של <math>f_n</math> מתכנס לאינטגרל מ-0 ל-x של f במ"ש ב-[0,1], הוכח או הפרך : <math>f_n</math> מתכנס ל-f בקטע [0,1].
(לא ארז/תומר)הפרכה, תיקח fn(x)= x^n ו f=למה מופיע לי ציון 0 כל התנאים מתקיימים אבל fn לא מתכנסת לf בקטע.בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו? :יפה, תודה רבה!S
:זו שאלה פילוסופית? ==שאלההודעה==הרגע גיליתי משהו שזעזע אותי - למה <math>\frac{e^{4n}}{nיש ציונים!} \rightarrow 0</math> !== מבחן == היה פקטור במבחן? ואם כן של כמה?
(מצטרף לשאלה... מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב או לא ארז/תומר) תנסה את מבחן דלאמבר לסדרותבקיצור ממש חשוב לנו לעת האם היה פקטור... מקבלים ביטוי ששואף לאפס, בפרט קטן מאחד החל מ-N0 מסי\ויים, ומכאן שהסדרה אכן שואפת לאפס!
:למה זה מפתיע? למעלה יש לך e^4 תשאלו את המרצים, אנחנו (קבועהמתרגלים) בחזקת n ולמטה יש n!. שניהם זה מכפלה של n איברים. כאשר n גדול הרבה יותר מe^4 הביטוי למטה גדול יותרלא יודעים.