'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 15| ארכיון 15]]''' - תרגיל 10
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 16| ארכיון 16]]''' - לקראת המבחן
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 17| ארכיון 17]]''' - לקראת המבחן
=שאלות=
==שאלה==
מתי תעלו תרגיל 11 + הפתרון שלו על טורי חזקות? זה ממש חשוב לראות תרגילים עם פתרונות למבחן...
נכון זה מאוד חשוב, תוכלו להעלות אותו כמה שיותר מהר?
===תשובה===יהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים?עלה:לא שידוע לי, אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, אם לא אז לא
==שאלה==בבוחן, בשאלה 1, היה אפשר גם להוכיח את האי השיוויון הימני עם טיילור עבור x0=0,n=2 לאתומר - מה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ??? הגיון חבר"ה , הגיון !
:לא נראה לי==שאלה== תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של האינטגרלים של הפונקציות?תודה תומר - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך .ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל אז צריך לבדוק כל מקרה לגופו.. מאיפה אנחנו יודעים איך השארית משפיעה?
==שאלה==
נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם אני רוצה לחשב את סכום הטור : <math>\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{2^n n}</math> |fn| מתכנס במ"ש בI, אבל כשאני מפרק אותו לאינטגרל לפי רימן (חלוקה של <math>\frac{1}{n}</math> ) אז אני מקבל שזה שווה לאינטגרל: <math>\int _0 ^\infty \frac{1}{2^x}dx</math> וזה יוצא <math>\frac{1}{\ln(2)}</math> , למרות שהסכום לפי מה שבדקתי אמור לצאת <math>\ln(2)</math> . איפה הטעות שלי? אני מניח שהיא איפה שהמרתי סכום לאינטגרל לא אמיתי... איך אפשר לחשב את זה בכל מקרהגם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI?
===תשובה===קודם כל אין פה כלל חלוקת רימן (שכן המרחק בין נקודות הדגימה הוא אספוננציאלי עולה, ואילו האורכים הולכים ויורדים לאפס)*נקודתית זה ברור מאינפי 1. לבמ"ש ההוכחה דומה. אפילו אם הייתהשארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, זו חלוקה אינסופית אחת ולא גבול של חלוקותכלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט.
פותרים את זה בדיוק כפי שפתרנו אתמול בכיתה. נגדיר <math>S(x)=\sum \frac{1}{n}x^n</math> קל לראות שרדיוס ההתכנסות הוא אחד ולכן זה טור חזקות שמתכנס ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש בסביבה של חצי. ברור שסכום הטור שמעניין אותנו הוא <math>S(\frac{1}{2})</math>. מכיוון שההתכנסות היא , האם זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש מותר לגזור איבר איבר ולקבל <math>S'(x)=\sum x^{n-1} = \frac{1}{1-x}</math>. ?
לכן *ברור שלא.... אינפי 1. <math>S(x)fn=\int_0^x S'(t)dt=-ln(1-x)^n</math> לא מתכנס בכלל, אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש.
ולכן <math>S(\frac{1}{2})=-ln(\frac{1}{2})=ln2</math>יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא? המשפט הראשון בעמוד הראשון של הסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים???
*נכון מאד, הסרתי את הסיכום. המשפט אומר שאם יש מקסימום/מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (לדוגמא x^3).
שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד כדי טעותc או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x באפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכון?)תודה.
הערה: זה תרגיל נחמד שנותן לנו נוסחא לחישוב lnx עם דיוק אספוננטציאלי עבור *הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x>1 (עבור x<1 ניקח את <math>-ln(\frac{1}{x})</math>)למשל מתבדר. הנוסחא <math>ln(x)=-ln(\frac{1}{x})=-ln(1-\frac{x-1}{x})=S(\frac{x-1}{x})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(\frac{x-1}{x})^n</math>
נחמד מאוד, הבנתי! על הטריק עם ה-ln שכתבת בהערה אני לא חושב שהייתי מצליח לעלות, אבל אני אזכור אותו עכשיו, תודה רבה!!
==שאלה==יהי <math>\sum _{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי מתכנסלמה אם f פונקציה רציפה, ומחזורית ואי- <math>f_n שלילית בממשיים(xf אינה זהותית אפס)</math> סדרת פונקציות, כך שלכל n טבעי מתקיים: <math>|f_{n+1}אז הגבול של f(x)-f_n(/x)|<a_n</math> . הוכח או הפרך : <math>f_n</math> מתכנסת במידה שווה. אני מתקשה להבין את הבעייה של ההתכנסות במ"ש במקרה הזה... אז אחרי שלא הצלחתי להפריך^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f חסומה מהנתונים, ניסיתי לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח, וראיתי שזה קרוב יותר לקריטריון שהאינטרגל של קושי להתכנסות במ"ש, אז מספיק להראות שאם לכל k יש n טבעי שעבורו <math>|f_{n+1}f(x)-f_n(/x)|<k</math>מ1 עד אינסוף מתבדר. ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז גם נובע שלכל m>n מתקיים התנאי של קושיכנראה שהגבול איננו 0, אבל זה בדיוק מה שאני לא מצליח להראות... איך אני יכול להפריך ע"י מציאת סדרת פונקציות שהפרש של כל פונקציות קרובות שואף לאפס, אבל כשה-n גדל הפונקציות החדשות שנוצרות רחוקות יותר עד כדי חוסר התכנסות במידה שווה או אפילו חוסר התכנסותלמה???
===תשובה===
זה תרגיל מאינפי 1 בתכלס.
<math>|f_m-f_n|=|f_m-f_{m-1}+f_{m-1}-....+f_{n+1}-f_n|\leq a_m+...+a_n</math>
אבל לפי תנאי קושי להתכנסות טורים הצד הימני קטן מאפסילון.תומר - כמה שאלות , כמה שאלות ! :) :אהההה, הבנתי, וזה מתקיים עבור nלשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי ,m גדולים מספיק (כלומר שגדולים מבמידה שווה -n0 התחלתי)ראה משפט שהוכחתם ... יפהאו - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות במ"ש ! הייתי צריך לנסות לקשר את זה לסכום הטור... תודה רבה :) !!!
אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא תלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף . זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! . לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס . ==שאלהמסודרת ==אני מוכרח להביןנתונה פונקציה fרציפה, מה בעצם המשמעות מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של "התכנסות במידה שווה" של סדרת פונקציותf(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? ז"אכי f לפי הנתונים חסומה, מה המשמעות הגרפית של זה, בלי שימוש באפסילון וכ'ולא? מה בעצם ה"מידה ואז הגבול של (f(x)/x)/x^2 שווה" כאן?לאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, כי האינטגרל של x^2 מתכנס...
===תשובה===
המשמעות (לא ארז/תומר) נראה לי שהטעות שלך היא שבכל נקודה בפונקציה ההתכנסות היא באותה מהירות פחות או יותר. גרפיתכזו , אתה מעתיק כשאתה עשית את פונקצית הגבול אפסילון למעלה ואפסילון למטהמבחן ההשוואה, ואז החלק מn_0 מסויים כל הפונקציות בסדרה מצויירות בגרף בין שתי ההזזות עשית את זה עם הפונ' x^2 והאינטרל של פונקצית הגבולזה מתבדר בקטע 1 עד אינסוף (אתה מתבלבל עם 1/x^2).
במילים אחרות, הפונקציות נמצאות במרחק 'קבוע' מפונקצית הגבול ללא תלות באיקס:אבל אמרתי בקטע 1 עד אינסוף. למה זה עוזר? למשל רציפות. תהי סדרת פונקציות רציפות. ניקח פונקציה f_n מהסדרה עבור n מספיק גדול, ונקח סביבה קטנה של x_0 כלשהו. מתוך רציפות, f_n שולחת את סביבה של x_0 קרוב מאד לf(x_0). אבל, f_n שולחת כל נקודה בסביבה לגובה קרוב מאד לפונקצית הגבול באותה נקודה כאשר המרחק לא תלוי בבחירת הנקודהמאפס!::הוא העיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. לכן גם כל הסביבה של פונקצית הגבול קרובה מאד לf(x_0( ויוצא שגם פונקצית הגבול רציפהx^2 זו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי.
==שאלות==קודם כלובנוגע להוכחה , בקשר לאינטגרביליות. לפי הגדרת רימן, מותר לדלתא להיות תלויה במס' הקטעים - n?*עוד שאלה. באחד המשפטים בכיתה, רוני כתב משהו כמו "g אינטגרבילית ולכן לכל אפסילון>0 קיימת דלתא, כך שלכל חלוקה T המקיימת שפרמטר החלוקה שלה קטן מדלתא, יתקיים: s(t) עליון פחות s(t) תחתון קטן מאפסילון (סליחה על הכתיבה המסורבלת..)זה לא אמור להיות, שלכל אפסילון קיימת חלוקה 'אחת' T שמקיימת אני עשיתי את זה? זה לא עירבוב של 2 הגדרות?תודה רבה (בדרך הבאה:
===תשובה===מה זאת אומרת מותר לדלתא? נסמן את המחזור של F כ-T, אנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, לכן יש פרמטר חלוקה נקודה X0 בקטע [1,1+T] כך ש- אורך הקטע הגדול ביותר(''f''(''x0'' שווה ל-M גדול ממש מאפס. הסכומים מתכנסים אם על כל החלוקות החל מפרמטר חלוקה מספיק קטן מכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a,b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f(דלתאx) הסכום קרוב לגבול עד כדי אפסילון. אין פה שום קשר למספר הקטעים בחלוקה. דלתא תלוי בלבד באפסילון>M/2 (או אפילו גדול שווה, זה לא משנה) וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n*T, בפונקציה ובקטעb+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת.
קודם כל תבדיל בין הגדרה לבין משפט. הגדרה להתכנסות ברור כי שתי הפונ' אי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כש- R>1 (F רציפה בכל קטע כזה, ול-G יש רק אחת. כל שאר התנאים להתכנסות שקוליםמספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים) ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, כך גם האינטגרל הלא אמיתי של F.
בוודאי שאין חלוקה יחידה כזוועכשיו, הרי כל עידון להראות שהאינטגרל של החלוקה יקיים את התנאי גם כן. יכול להיות שבהוכחה שלו הוא יכל לרשום פחות דבריםG בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, אבל אין ספק שזה מוכיח.::::זה נכון שעידון של החלוקה יקיים את התנאילא כזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל הוא טען שכל T שיקיים שפרמטר החלוקה שלו יהיה קטן מדלתאאני בטוחשאפשר בעוד דרכים, יקיים ואין לי כח לכתוב את החלוקה. למה זה נכון? אני מסכים שלעידון זה יהיה נכון, אבל לא בהכרח לכל T כנ) ובסה"ל. :::::אני מניח שאחר כך הוא הוכיח שבמקרה המסויים זה מתקיים. כמו שאמרתי, יכול להיות שהוא הוכיח יותר ממה שצריך, אבל אם הוא הוכיח, מה רע? שנית, עבור פרמטר חלוקה מספיק קטן המרחק בין הסכום העליון לגבול והמרחק בין הסכום התחתון לגבול הם אפסילון חלקי שתים. לכן המרחק ביניהם הוא אפסילון.::::::בקשר למשפט הראשון - הוא לא ניסה להוכיח כלום בהתחלה. הוא פשוט הסיק מהנתון, שאם G אינטגרלית אז בוודאי מתקיים מה שכתבתי למעלה..::::::: אוקיי. כמו שהסברתי, זה נכון.כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x
==שאלה==
בתרגיל 3 פה: http://wwwלמה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<g ו f>g והאינטגרל של f מתכנס(לא אמיתי, בשנ הסוגים הוא אמר ככה.math.tau.ac.il/~boazslom/hedva2/Exercises/ex-02.pdfבפתרונות הם טוענים שמכיוון שf גזירה, ניתן להציב x=f(t)אז האינטגרל של g מתכנס. הוא לא ממש הבנתי את הקשראמר שאם g מתבדר גם f מתבדר, מישהו יכול להסבירזה לא נכון??
===תשובה===
strictly monotonic כלומר מונוטונית '''ממש'''המשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון. זה התנאי לכך שתהיה לה הופכית ואז תוכל לבצע את ההצבה. כמובן שגם העובדה שהפונקציה גזירה נחוצה (על מנת שההופכית תהיה גזירה, חוץ אולי מנקודה אחת).:אופסלא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, התכוונתי לכתוב מונוטונית ממש מלכתחילה ובטעות כתבתי גזירהלכן אם g מתבדר אזי f מתבדר. בכל מקרה תודה רבה (:
==שאלה==
האם גזירה ברציפות משמעותה:
1)יש נגזרת
2)הנגזרת רציפה
בלבד?
תודה
בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?:: [לא תומר - כמו שאמרת - יש נגזרת והנגזרת הזו או ארז] לי דווקא יצא 1==שאלה==אם אני צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא פונקציה רציפה אינטגברילית רימן, והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרבילית(!) אחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון.האם זה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה השניה?:הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי?
==שאלה==
נתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"י M. צ"ל שf^2 אינטגרבילית באותו קטע.
יש דרך להראות את זה לא ע"י הרכבת פונקציות (שבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)?
מהי הדרך?
:הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן חסומה)
ארז ותומר- אתם יכולים להגיד כבר מעכשיו אם יותר השימוש במחשבונים במבחןאבל יש דרך להראות את זה חוץ מהרכבה של פונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית? בבקשה תרשו- מה אכפת לכם? זה לא יכול להזיק לכם, ואותנו זה מרגיע..... תודה.
:זה מבחן לא בוחן. החלטה תומר - מידת קבוצת נקודות אי הרציפות של המרצים. מוזמנים לשאול אותםהפונקציה החדשה היא אפס ? ...
(לא ארז/תומר - ) כן יש סיבה לא להרשות שימוש במחשבון פיתרון אחר, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות... יש שאלות שנראה ששימוש במחשבון יכול לעזור לפתור אותן f^2 חסומה ( כמו במועד ב בבוחן שהיה...ברור) אבל פיתרון מבוסס על חישוב במחשבון לא התקבל ! הנימוקים צריכים להיות מבוססי הוכחה מתמטית ולא חישוב נקודתי , ונותר להראות את התנאי השני.בקשר אליו, קל להראות ש
ארז - מצטרף. מחשבוןw(f^2)<= w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), מייפל, מטלב, וספרי לימוד הם כלים מאד חשובים למתמטיקאים. בשעת מבחן נבדקת היכולת המתמטית ללא חומרי עזר.שאלתי את רוני-יהיו מחשבוניםומכאן קל להמשיך.
==בקשר למבחן שהעליתם==קודם כלמראים את זה כך, תודה רבה לכל x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים:f(x1) אבל לא מצאתי אלא שאלה אחת ^2-f(אם בכללx2) על כל החצי הראשון של הקורס, שחשוב לא פחות מהחצי השני ^2<=(אינטגרלים לא אמיתיים, טורי חזקות וכו'f(x1). יש מבחנים שכוללים גם את החומר הזה? אם לא - האם הבוחן הוא אינדיקטור טוב להבנת החומר? כלומר, השאלות שם סה"כ מסכמות את החומר ברמה די גבוהה? ובנוסף, לגבי המועד ב' שהעליתם, שאלה אחת. הוכחנו לפי משפט לבג בדיוק את אותו המשפט, רק שלא נדרש שהנגזרת תהיה רציפה. למה דורשים את זה כאן? בכלל בפתרונות, הם אומרים שgf(x2))*(f (הרכבהx1)+f(x2)) היא הרכבה של פונק' רציפות, אבל לא בטוח בכלל שf רציפה..ומכאן זה ברור
==שאלה==
התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0,1] כך שfn(x)-->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של fn מ0 עד 1 אינו שווה ל0.
- האם הפונקציה x^n(x^n-1) qq מקיימת את הדרוש? הפונק' אכן רציפות ב[0,1], פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני לא טועה, 1/n פחות 1/(2n+1)..
===תשובה===
איך היית מגדיר את שאלות 5 ו6 במועד אאתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא ' ושאלה 5 במועד ב''שואף''' לאפס?כי כמעט כל סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (למשל הסדרה של הפונקציות הקבועות <math>\frac{1}{n}</math>).
אני רואה שהם למדו גם חומר שאנחנו לא למדנואם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, מן הסתם המבחן יהיה על מה שכן למדנו. אי אפשר להסיק ממבחן קח סדרה של שנה מסוימת בדיוק מה יהיה או לא יהיה במבחןפונקציות הבאה: הגרף של הפונקציה ה-n הוא משולש עם בסיס <math>\frac{1}{n}</math> בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. הסדרה הזו שואפת לאפס (כמובן שלא במ"ש) והאינטגרל על מנת שמבחנים לא ימשכו שעות כל פונקציה בסדרה הוא תמיד משמיטים חומר מסוים, והחומר הזה יכול להתחלף משנה לשנה וממועד למועד1.
למעשה==שאלה==נראית נחמדה. f:[0, 1] ---> R היא פונקציה רציפה אי אפשר בכלל לדעת מראש מה יהיה במבחן שלילית המקיימת f(x)<=sinx לכל x בתחום. צריך למצוא את כל פתרונות המשוואה:cosx+quad(f,0,x)-1=0.(קוסינוסX ועוד האינטגרל של f מ0 עד x פחות 1 = 0.)מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואה, לא הצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/למצוא פתרון נוסף. ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי למשהו שמוכיח. יש רעיון למישהו?::מישהו??
לגבי השאלה השנייה, יכול להיות שהם לא לימדו לבג בשנה שעברה, ולכן נתנו שאלה חלשה יותר אבל פתירה:::אם f=sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס. אם f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפס
שנית, אתה צודק f אינה רציפה, אחרת זו ==שאלה טריוויאלית לחלוטין (כל פונקציה רציפה על קטע סגור אינטגרבילית שם)==:תראו איזה מהירותמישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, שלחתי לרוני את הבעייה שרשמת, והוא כבר החזיר לי גרסא מתוקנת. העלאתי אותה..ומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? תודה.::תודה רבה :). בכל מקרה, אני רוצה לומר תודה על כל הפורום הזה וההשקעה האינסופיתכדאי? תמיד.מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה.
==תרגילשאלות מעניינות==* נגדיר הוכח או הפרך:תהי <math>f_n(x)</math> סדרה של פונקציות גזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה <math>f</math>, אשר גם גזירה ברציפות,ב-<math>[a,b]</math>.אזי ש- <math>f_n' \rightarrow f'</math> במ"ש על הקטע <math>[a,b]</math>.* בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור <math>u(x)=\sum_{n=01}^{\infty}\frac{a_n(x^n}{n!})</math>. הוכיחו , כך ש-<math>f'(x)=fa_n(x)>0</math>והטור מתכנס ב-I. מתי אני יודע אם הפונקציה הגבולית רציפה, כך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש.נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף! תודה!!! :)
(לא ארז/תומר) קודם כל- זהו טור חזקות שמתכנס אם ניקח את הסידרה cosnx ונחלק הכל ב n . האם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש לכל x ממשי? ומה עם נגזרותיה ? .. לכן ניתן לגזור איבר איבר. ואז <math>f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n*x^{nלגבי דיני -1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n*x^{nפשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה -1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{nגם לא אמרת שהפונקציות בסידרה רציפות -1}}{(n-1)שים לב לתנאי המשפט !}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}=f(x)</math>.השוויון השני נכון כי עבור n=0 נקבל אפס. בשוויון הלפני אחרון החלפתי משתנה: <math>i:=n-1</math>
==שאלה==
שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון:זה שאתה לא אני זה לא מפתיע, כי אני רשמתי את השאלה :) רק דילגת על חלק עיקרי בהוכחה, מדוע הטור מתכנס במ"ש לכל x ממשי? זה נכון בכלל?
int(מישהו אחרarctan(x) זה נכון כי לפי המבחן של קושי עם הגבול העליון, הגבול של שורש nי של n! הוא אינסוף, ולכן הגבול של /[(x*(ln(x+1 חלקי זה הוא 0, ולכן הרדיוס הוא אינסוף. ואז אפשר להמשיך כמו שהבחור הקודם הראה, או להראות שan שווה בדיוק לפיתוח לטור חזקות של e))^2)], x שמקימת שהנגזרת שווה לפונקציה= 0 .. infinity)
::::נתבונן בפונקציה <math>g(x)=e^x</math> בקטע הסגור <math>[-rניסיתי דיריכלה,r]</math>חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי.לכל x בקטע ולכל n טבעי מתקייםאשמח לעזרה
<math>|f^{(n)}(x)|=|e^x|<e^r</math>::מצטרף לשאלה!! איך פותרים את הדבר הזה?
לכן בכל קטע סגור כזה ניתן לפתח את הפונקציה לטור חזקות, שזה בדיוק הטור בשאלה.
הטור מתכנס בכל קטע סגור כזה, לכן הוא מתכנס (נקודתית) על כל הישר הממשי, כלומר יש לו רדיוס התכנסות אינסוף.
לכן הוא מתכנס במ"ש בכל קטע סגור על הישר.
לכן ניתן לגזור איבר איבר כמו למעלה.
(לא ארז/תומר) תנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2]. שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, ושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה-ln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים
* אי אפשר להשתמש בפיתוח של e^x ובעובדה שהוא הנגזרת של עצמו, הרי זה מה שאתם מתבקשים להוכיח.*רדיוס ההתכנסות הוא אכן אינסוף ולכן טור החזקות מתכנס במ"ש על כל קטע סופי, ולכן מותר לגזור איבר איבר על כל קטע סופי. זו אכן התשובה. (זה לא אומר שהטור מתכנס במ"ש על כל הממשייםתודה רבה :).
למה אי אפשר? אם אני מראה שאת e^x אפשר לפתח לטור חזקות והרדיוס התכנסות שלו זה אינסוףלא נכון, ומראה שהטור חזקות זה בדיוק הטור הזהכי יש בעיתיות גם בנקודה x=1 וגם באינסוף. זה לא אומר שהנגזרת שווה לפונקציה כמו e^x?ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של האינסוף
:הנחת שהנגזרת של e^x הינה e^x כאשר הראת שהטור הזה הוא הפיתוח של e^x. אבל זה מה שצריך להוכיח..אני לא חושב שאמורה להיות בעיה, כי זאת בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני.
::איך מראים שרדיוס ההתכנסות הוא אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף?מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x^2) מתכנס (השוואה עם 1/x^2)...<math>\overline{\lim_{n\rightarrow \infty}} \frac{::עכשיו בקשר לאינטגרל מ-0 עד 1}{\frac{אתה יודע ש- ln(1}{\sqrt+x)<x לכל x ב-[n0,1]{n!}}}=\infty<ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x)/math> מכיוון ש<math>\lim \sqrtx^4 וזה מתבדר ע"פ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [n0,1]{n!}, ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =\infty</math>) ).
:::יש לי סתם שאלה, בלי קשר לתרגיל הזה (לא ארז/תומר) עבור האינטגרל מ- אם, באותו אופן, היה יוצא שהרדיוס הוא 0עד 1, האם זה מספיק, וכל שנותר הוא לבדוק התכנסות בנק' תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x=0?*מספיק בשביל מה? זה אומר שהטור לא מתכנס בשום מקום פרט לנקודה^2 . לכן שים לב ש arctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x)/x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס. ובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא רציף ולא גזיר ולא מענייןבריבוע... אין מה לבדוק התכנסות בנקודה אפס, זה תמיד מתכנס שם לקבוע a_0
::האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל זה באמת יהיה טוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס.::אבל איך חישבת את הגבול הזה?תודה לשניכם :)
==שאלות.==*זה arctanx חיובי בקטע 1,infinity לא? היה תרגיל מאינפי אחדבאחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין. אתה מקטין את חצי מהאיברים של n! לאחד.*במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, ואת החצי השני אתה מקטין לn/2 וסה"כ אתה מקבל <math>n!>(\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}</math> ולכן <math>\sqrtאם הגבול יוצא חיובי? לדוגמה, הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [n0.5,1]{n!}>\sqrt, נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x-1..*כאשר אני מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [nעם דגש על השונים!]{(\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}}=\sqrt{\frac{n}{2}}\rightarrow \infty<. אם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? בלי קשר לחיוביות/mathשליליות של אחת הפונקציות.. *בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש לי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"א מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את האינטגרל השני גם?
דבר אחרוזהו, ניתן להראות שלכל x0 ממשי טור המספרים שמתקבל ממנו מתכנס, ולכן הטור מתכנס נקודתית בכל הישר, ובפרט במ"ש בכל קטע סגור בו.תודה רבה!
===תשובה===*איך התכנסות בכל נקודה גוררת התכנסות במ"ש? זה מאד לא נכון. ההתנכסות על כל קטע סופי היא במ"ש מכיוון שזה טור חזקות עם רדיוס אינסוף. טור חזקות מתכנס במ"ש על כל קטע סופי שקטן ממש מהרדיוס שלו.-אבל אם הטור מתכנס בכל נקודה, זה בדיוק כמו לאמר שהרדיוס שלו כן הוא אינסוף..חיובי.::כן. *אם זו הכוונה שלך בתחום הפונקציה אי חיובית אז אתה צודקאם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה אי שלילית. (חשוב לפרט שזה טור חזקות, ולכן הרדיוס הוא אינסוף ולכן הוא מתכנס במ"ש על כל קטע סופי)כמובן שמכפלה במינוס לא משנה התכנסות אינטגרל*נכון.*נכון
:::כן, אבל כשהפונק' הייתה שלילית, הגבול יצא לי חיובי. אם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי..::::אפשר לומר לא יכול להיות שהגבול שצריך לחשב הוא הממוצע הגיאומטרי של הסדרה <math>aהמנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי::::::: כעיקרון אני מדברת על הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1] אני משווה אותה עם sinx חלקי (n1 פחות X):=n</math>. (יום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על הסרבול). בכל מקרה, ולכן שאיפת הסדרה לאינסוף גוררת את שאיפת הממוצע לאינסוף לפי משפט, לא?שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה.*אני לא זוכר משפט כזהאבל הגבול של המנה, יכול להיות שאתה צודקכאשר X שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת..
==שאלה - טורי חזקות==:כי ln שלילית בקטע הזה.יש איזו נקודה שלא לגמרי נגענו בה בתרגול ההשלמה - טורי חזקות::אוקי, כאשר החזקה היא, למשל, <math>n^2</math> , או <math>2^nאז בעצם מכפילים את הפונק' המקורית ב1-1</math>. מתי כדאי להפריד למקרים של מקדמים (ואז הסופרימום הוא מתי שיש מקדם)מקבלים גבול חיובי, ומתי כדאי להציב, למשל, <math>tואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת ==x^{n^2}</math> כך גם הפונק' המקורית? (בתרגיל יש רק דוגמא לזוגיים ואי-זוגיים)
:קשה קצת לענות בלי לראות דוגמא, צריך להשתמש בשיטה שבעזרתה תצליח לפתור את התרגיל.נכון
==שאלה==התכנסות במ"ש של ערך מוחלט של טור הפונק' גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?::תומר - עשינו דוגמאות בהן למשל החזקות היו רק האי זוגיים למשל , והצגנו דרך להתייחסות למקרים כאלו - מופיע בסיכום תירגול ההשלמה הסרוק . בנוסף נשים לכם דוגמאות נוספות כבר נשאל בעמוד זה.כן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט
:::אוקיי==שאלה==*הסתבכתי, יש לי דוגמא טובה - הטור: <math>\sum n! אפשר עזרה?*נניח שהפונקציה f מוגדרת ורציפה בקטע סגור x^{n!}</math> - כשפותרים אותו לפי מבחן השורש, מקבלים: <math>R=limsup \frac{1}{{a_n}a..b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^{\frac{1}{n}}} = lim \frac{1}{{n!}מתכנס במ"ש בקטע זה אם ורק אם הסכום הנל(f^{\frac{1}{n!}}} = 1 </math>(limsup ) מתכנס נקודתית בקטע זה גבול עליון).
:::או מה לגבי : <math>\sum \frac{(-1)^n}{3^n}(x+1)^{n^2}</math> - אני הרי לא יכול לפרק את זה ל: <math>(x+1)^n=t</math> , אז אני חייב להגדיר את המקדמים כאפס כשזה לא "ריבוע שלם", וכ-<math>n^2</math> בריבוע שלם. במקרה הזה, כשמגדירים t=x+1, קבלתי: ש-<math>\frac{1}{R} = 0</math>, ולכן זה תמיד מתכנס.
===תשובה===:השאלה לא מנוסחת טוב. מה זה f ומה הוא קשור? מה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוף לבין טור?לגבי הטור הראשון החישוב שלך נכוןתיקנתי. בטור השני לא הבנתי איך פתרת אבל התשובה שגוייה. הרי אם תציב אפילו x=2 תקבל סדרה שאינה חסומה (ולכן וודאי הטור מתבדר. אבל אם תחשב שוב limsup תקבל:מה הבעייה בהגדרה של f פשוט פונקציה f(x)
<math>\limsup \sqrt[n^2]{|\frac{(-1)^n}{3^n}|} = \limsup \frac{1}{\sqrt[n]{3}} = 1</math> לכן רדיוס ההתכנסות הוא 1/1=1::שאלתי מה הקשר של f.גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f... האם היא פונקצית הגבול של הטור? האם הפונקציות בסדרה רציפות?
לכן הטור מתכנס עבור <math>-1<x+1<1</math>. מה הסיבה? הרי <math>t^{n^2}=: (t^nלא ארז וגם לא תומר)בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^nמתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x נקבל f(x</math> אם t>1 מתישהו t^n יהיה גדול מ3 ומאותו רגע הסדרה גדולה (בערך מוחלט מאחד ולכן , הלוואי שזה לא שואפת כלל לאפסהיה קופץ כל הזמן). f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc,d בתוך [-1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש. לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa,b עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc,d עבור הטור של x המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה כל מה שצריך).
בקצוות הטור הראשון כמובן מתבדר אבל הטור השני מתכנס.
:אני מבין, ובחישוב שלי הגעתי לאותה תשובה, רק שמאיזשהי סיבה הייתי משוכנע ששלוש בחזקת אחת חלקיי אן שואף לאפס... תודה!
==תרגיל 8 שאלה 2==אבל למה f(x) בערך מוחלט קטן מ-1?בתרגיל 8 שאלה 2: הסברתי במפורט בתשובה. לא היה אפשרי לפתור כך?: בהכרח f רציפה <1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן יש לה קדומה,נסמנה gמתכנס במ"ש. האינטגרל של f מa עד b אם הוא בעצם הערך של g בנקודה b פחות ערכה בנקודה a. הפונקציה g היא גזירה, ולכן מתקיים עבודה תנאי לגראנז',(f היא הנגזרת של g): ולכן קיימת נקודה c עבורה ערך הפונקציה f בנקודה שווה לערך של g בנקודה b פחות ערכה בנקודה a חלקי b-a. מ.מתכנס במ"שברור שהוא מתכנס.לזה כל מה שצריך להוכיח.
לא יותר קל להוכיח ככה?===תשובה===אה.... התבלבלתי בין f_n לf^n.... מצטער.
:זו הוכחה תקינההכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר <math>|f(x)|<1</math>, והוא מתכנס במ"ש כאשר <math>|f(x)|<r<1</math> אבל בגלל שהפונקציה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (אחרת היא לא הייתה מתכנסת בהם) ולכן התנאי מתקיים.
==שאלה- לגבי נושאי הקורס שהעלתם==
האם למדנו בקורס את פונקציה בעלת השתנות חסומה, ומשפט ז'ורדן?
לא זכור לי שלמדנו...
:הקבוצה של רוני למדה. הקבוצה של שיין לא?* על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה <math>|f(x)|<r<1</math> כל שצריך הוא מבחן הMלמיטב ידיעתי, ולאחר בדיקה בקלסר,לא למדנו את שני הנושאים הנ"ל, אשמח אם עוד מישהו יוכל לאשר זאת..<math>|f(x)^n|<r^n</math>.
אכן, לא למדנו את הנושאים האלו* על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי <math>|f(x)|<1</math> כל מה שצריך הוא להסתכל נקודתית על הטור <math>\sum |f^n(x)|=\sum a^n</math> כאשר <math>|f(x)|=a<1</math> וזה כמובן מתכנס.
אז מה נסגר? האם החומר ירד מהמבחן? לא נוכל ללמוד אותו לבד?!נשמח לקבל עדכון בעניין* טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר... תודה!
:מה שלא למדתם בהרצאה, * על מנת להוכיח שהוא לא יופיע במבחן.מתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל הsup שלה היה אחד: ניקח סדרה <math>x_n</math> כך ש <math>f(x_n) \rightarrow 1</math> ולכן <math>\lim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow \infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty</math>
(נבחר את n_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף. אנחנו יודעים שזה מותר כי
<math>f(x_n)\rightarrow 1</math>)
במבחן שהועלה לאתר, במועד ב', לא היה אפשרי ויותר קל לפתור בדרך הבאה?:==שאלה==הפונקציה רציפה ולכן חסומה- כמו שכתוב בפתרון.ואז- אם הפונקציה רציפה יש לי פונקציה ואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1, איך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע סגור ולכן חסומה- אז נסמן בp את ההפרש בין הערך הכי גדול לערך הכי קטן שלה. ואז צריך להוכיח שלכל a>0 ולכל חלוקה T קיים r שגדול מדלתא T כך ש:סיגמה, כאשר i רץ מ1 עד n של Mi-mi כפול דלתא Xi קטן מa, נכון?ואז נגיד שMi-mi קטן מp ודלתא Xi קטן מrוגם פה שאלה 4 כוון כללי אם אפשר.. ולכן הסיגמה היא בעצם קטנה מ- n*r*p. ולכן נבחר את r להיות ahttp://n*pmoodle. ואז זה שווה לa וסיימנו. שיניתי את האותיות המקובלות אבל זה אותה כוונהtechnion.ac.il/file.php/1098/Exams/2004-2005-spring-test-a.pdf
===תשובה===
הוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות. מה הכוונה איך אתה מוודה? אם פתחת נכון זה חייב להיות שווה - הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הנקודה אפס כמובן])
ההוכחה הזאת לא אומרת שכל פונקציה חסומה היא אינטגרבילית??? משהו כאן בטוח לא נכון, אבל מה? גם פונקצית דיריכלה יוצאת כאן אינטגרבילית, פשוט להציב p=1.......
: אני לא לגמרי מצליח לעקוב אחרי דרך הרישום הזו אבל:*הכותב מעליי צודקלגבי השאלה השנייה כבר שאלו אותה, כביכול הוכחת שכל חסומה היא אינטגרבילית*אני חושב שהבעייה היא שאתה מגדיר את r להיות תלוי בn. אני לא בטוח מה זה r אבל אני דיי בטוח שהוא לא צריך להיות תלוי בn :)תסתכל בארכיון 17
r הוא דלתא, המספר שגדול מאורך הקטע הגדול ביותר אבל אתה יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של החלוקה T.... טיילור, למשל הפונקציה f(0)=0 f(x)=exp(-1/x^2) sהיא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (הוא תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס)מה הבעיה בלהגדיר אותו תלוי במספר האיברים בחלוקה Tשאני שואל זה איך הייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, רק שזה לא תמיד לערך הפונקציה?
:כי ההגדרה לגבול סכומי רימן תלוייה בלבד בפרמטר החלוקה ואין קשר למספר הקטעים בחלוקה.
==שאלה==תהי f פונקציה רציפה ב[a,b] ונניח שקיימת חלוקה P של [a,b] שעבורה הסכום העליון שווה לאינטגרל מa עד B :אל תבלבל. הקטע עם הבדיקה בנקודה זה רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה של טור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר. באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציהוזה כאשר הנגזרות חסומות (ראה את ההשלמה). צריך להראות כי בהכרח f קבועה ב[a,b]במקרים אחרים (כמו זה שתארת) אסור סתם להניח שיהיה שיוויון.רעיון ?
:נניח בשלילה שפונקציה אינה קבועה. נותר להראות שאם קיימת חלוקה כזוכן, אבל בתכלס אם קיים עידון שלה בעל סכום עליון קטן ממש יותר בסתירה.טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילורמה שאתה אומר זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא יודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן? (במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות)
:כן. יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, אבל גם יכול להיות שזה פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הנגזרות מכל סדר...
::(לא ארז/תומר)אם אתה רוצה הוכחה מלאה: נתבונן בקטע החלוקה ה-i-י. נניח בשלילה שקיימת בקטע זה נקודה שערך הפונקציה בה קטן ממש מערך הפונקציה המקסימלי בקטע. ערך הפונקציה בכל x בקטע קטן שווה לערך המקסימום בקטע, וכיוון שיש נקודה בה אי השיוויון חזק, נקבל בתוספת הנתון על הרציפות שיש אי שיוויון חזק באינטגרלים. כלומר, אינטגרל על הערך המקסימלי גדול ממש מאינטגרל על הפונקציה, בקטע המדובר. כיוון שבכל קטע חלוקה אחר מתקיים שערך הפונקציה המקסימלי באותו קטע גדול שווה לכל ערך אחר בקטע (לפי הגדרת המקסימום, שקיים כי זו פונקציה רציפה בקטע סגור), אם נסכום את כל אי השוויונות האלו בתוספת אי השוויון החזק בקטע ה-i-י, נקבל שהאינטגרל על הפונקציה ב [a,b] קטן ממש מהסכום העליון של החלוקה P, בסתירה לנתון. לכן בקטע ה-i-י החלוקה קבועה. זה נכון לכל i ולכן בכל אחד מקטעי החלוקה הפונקציה קבועה. כעת נתבונן בנקודות החלוקה של P. לכל נקודה כזו (חוץ מהקיצוניות) מתקיים שהגבול של הפונקציה כש-x שואף לנקודה מימין הוא הערך הקבוע של הפונקציה בקטע שמימין לנקודה. ובאותו אופן הגבול משמאל יהיה הערך הקבוע בקטע שמשמאל לנקודה. הפונקציה רציפה בפרט בנקודות החלוקה, לכן הגבולות החד-צדדיים שווים כלומר הערכים הקבועים של הפונקציה בקטעי החלוקה הימני והשמאלי לנקודה שווים. זה נכון לכל נקודה בחלוקה ולכן הפונקציה קבועה. מש"ל.סבבה תודה רבה
:::קודם כל, תודה רבה על ההשקעה! לא ממש הבנתי למה אתה מתכוון כשאתה אומר "כלומר, אינטגרל על הערך המקסימלי.." מה הכוונה?==שאלה==
המבחן ב15::::הוא מתכוון (אני מניח) לאינטגרל על הפונקציה הקבועה שערכה 30 נכון? כמה זמן הוא ערך המקסימום שהפונקציה מקבלתיארך???
::::::ממש ממש תודהכן, שעתיים ==שאלה== למה הסיגמה של 2*(n+1)*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?:אתה מתכוון ל<math>\sum \frac{2(n+1) עזרתם לי מאוד3^n}{\sqrt[3]{n!}}</math>? תקח את השורש הn-י ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (הרי <math>\sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty</math>) ==התכנסות אינטגרלים==האם האינטגרלים הבאים מתכנסים???* <math>\int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(\theta)}d\theta</math>.* <math>\int_0^1 \frac{dx}{\ln(x)}</math>* <math>\int_{r=0}^{r=1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr</math>.האם אפשר לומר באינטגרל השלישי ש-<math>\int_{0}^{1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2</math>, ואז עפ"י השוואה???
==שאלה- גזירת טור חזקות==
הוכחנו בהרצאה משפט שאומר שניתן לגזור טור חזקות איבר-איבר בכל נקודה בתחום התכנסותו.
הניסוח של המשפט לא דורש התכנסות במ"ש, רק עושים בזה שימוש בהוכחה.
לאור המשפט הזה- האם בתרגיל שהועלה לאתר (שצריך להוכיח שהפונקציה שווה לנגזרת), אפשר פשוט לגזור איבר איבר (כי זה טור חזקות)?
===תשובה===
יש בזה משהו, כי הרי כל נקודה בתחום ההתכנסות של טור חזקות מוכלת בסביבה סגורה בה ההתכנסות הינה במ"שלא לשכוח לבדוק אם האינטגרל הוא אמיתי בכלל או לא. למשל השלישי הוא פשוט בעל אי רציפות סליקה באפס ולכן אינטגרבילי (אני לא בטוח גם מה קורה שרשמת נכון אבל באופן כללי בנקודות הקצה של ההתכנסות, עם הנגזרת החד צדדית. במקרה שלנו זה לא משנה כי ההתכנסות הייתה בכל הממשייםבלי קשר)
התרגיל היה המצאה שלי על מנת לתרגל אתכם, המשפט שאתה מדבר עליו הוא מה שרציתי שתראו בתכלס..בראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1.ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם <math>\frac{1}{1-x}</math>
==שאלה==
נתונה פונק' f החסומה ב[a,b]. הוכח כי אם f(x) אינטגרבילית ב[a,b] אז גם f^2(x) אינטגרבילית שם.
זה לא נובע ישירות מהמשפט לגבי מכפלת פונק' אינטגרביליות?
===תשובה===לא בטוח באיזה הקשר הגיעה השאלה, אבל דרך אחרת לפתור אותה היא לומר שזו הרכבה של הרציפה נתונה פונקציה f(x^2 על פונקציה אינטגרבילית:כן) בקטע [a, אבל אין שום משפט b] ונתון שהיא חסומה על הרכבת פונ'..ידי M.::לימדנו אתכם את זה בתרגיל
==אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון==איך ניתן צריך להוכיח שהאינטגרל מ1 עד אינסוף, של xשאם f אינטגרבילית זה גורר ש-f^a * sin(x) qqqq כאשר a הוא פרמטר שגדול מ0, הוא מתבדר?2 אינטגרבילית.
===תשובה===אפשר למשל לפי מבחן קושי להתכנסות טורים. הרי x^a שואף לאינסוף, והsin גדול מאיזה ערך חיובי באינסוף קטעים באורך קבוע. לכן כל אינטגרל על הקטעים האלה ישאף לאינסוף בסתירה לתנאי קושי.::מבחן קושי להתכנסות טורים? כלומר, להשתמש במבחן האינטגרל?:::לא מבחן האינטגרל. הכוונה היא שהחל מM מספיק גדול כל אינטגרל מסויים על הפונקציה בין a,b>M קטן מאפסילון:::כשאני חושב על חסימות זה אולי אפשר לפתור את זה יותר בקלות עם מבחן ההשוואה הגבולי(לא ארז/תומר) דבר ראשון, אני לא בטוח שאפשר לעשות פה מבחון ההשוואה הגבולי בכלל, כי ה- sin גורם שזו בכלל לא פונקצייה אי שלילית ב-R..ובנוגע לפתרון, אני לא בטוח אם לזה התכוון מי שכתב על קריטריון קושי (וגם אם כן, אז אני לא בטוח שמה שהוא כתב כ"כ ברור) אז אני אראה את איך שאני חשבתי לפתור את זה-יהי E>0 ולכל M>0:נתבונן בפונקצייה f(x)=x^a*sin(x בקטע [2k*pi ,2k*pi+pi/4] כשלכל M חיובי יש קטע כזה כך שכל x בקטע גדול ממנו, ונשים לב לב לישר שעובר בנקודות x=2k*pi+pi/4בעיה,2k*pi ולא רק שהשטח שהוא יוצר אבל הסתבכתי עם ציר ה-X שואף לאינסוף ולכן בפרט גדול (החל מ-K מסויים) מ-E אלא גם שניתן להראות (ע"י גזירה ובדיקה פשוטה) כי לכל נקודה בקטע מתקבל ש f(x)-g(x) גדול שווה מ-0*ובסה"כ לפי קריטריון קושי הראינו שהאינטגרל בלא אמיתי מ-1 עד אינסוף מתבדרהתנאי השני
*כש g הוא הישר שמחבר בין שתי נקודות הקצה..
אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f,g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, כאשר במקרה הזה g==שאלה== איך אפשר להוכיח שהפוקנצייה שמייצגת את האינטגרל<math> |cos(x)|</math> חסומהf? (או אפילו לחשב את האינטגרל הזה)
===תשובה===היא :(לא חסומהארז/תומר) ענו כבר על השאלה הזאת... לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, והאינטגרל דיי פשוט לחישובלמרות שהוא נכון, כי אז התרגיל טריוויאלי. :הנה ההוכחה- יהי אפסילון גדול מאפס. בכל קטע g(x1)-g(x2)=(f(x1)+f(x2))*(f(x1)-f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע. (g מוגדרת כ f בריבוע). מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. פשוט צריך להפריד למקרים בהם הקוסינוס שלילי והמקרים בו הוא חיוביועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון.
:תומר - ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . מה עם נקודות האי רציפות של הפונקציה בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ? ואם כן חסומה - הרצתי במייפל, וקבלתי שזה שווה ל: <math>sin(x) * sign(cosx)</math> (וזה נראה הגיוני גם לפי ההפרדה למקרים)מה זה אומר על מידתה ? ...
::אבל השטח מתחת ל'גבעה' של קוסינוס הוא ערך מסוים, אם תסכום אינסוף כאלה תקבל אינסוף==שאלה==צריך להוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש. לכן הקדומה אינה חסומה. איפה הטעות שלך לדעתך?f(x)= sum from 0 to infinity of (e^-nx)* cos(nx) s
:::הבנתיבכל קטע (a, אתה צודק! תראה, התרגיל המקורי שלי הוא חישוב האינטגרל :<mathinfinity] כאשר a> \int^\infty_1 \frac{\cos{\sqrt{t}}}{t}dt</math> , ואחרי הצבה קבלתי שזה שווה לפעמיים האינטגרל:<math> \int^\infty_1 \frac{cos(x)}{x}dx</math>, וזה כמובן מתכנס לפי דיריכלה. עכשיו נשאר לי לבדוק התכנסות בהחלט, ואני לא יודע איך לעשות את זה0
::::רק על מנת שכולם ידעו ניסיתי עם מבחן ה- הבעייה בפונקציה הקדומה שהצעת היא שהפונקציה <math>sin(x) * sign(cosx)</math> אינה רציפהm ולא הצלחתי. משמאל ל<math>\frac{\pi}{2}</math> היא אחד ומימין מינוס אחד. על מנת שהיא תהיה רציפה צריך להוסיף מספר שלם לכל 'מדרגה' כזו ואז הפונקציה אכן מישהו?אפשר להשוות עם e^-n במבחן הM לא תהיה חסומה.?
::::בקשר לאינטגרל, ראה תרגיל 9 שאלה 6(לא ארז/תומר) אני חושב שצריך להשוות עם e^-an ...
==שאלה==באינטגרלים לא אמיתיים: עם e^-n וזה עובד. עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(x) שזה הסכום הוא פונקציה רציפה ב(o, infinity). הבעיה זה שזה קטע פתוח ולא סופי.. עדין אפשר לומר שהאינטגרל להשתמש במשפט על טור של f+g [באותו תחום כמובן] שווה לאינטגרל של f ועוד האינטגרל של gפונקציות רציפות המתכנס במ"ש?
ושהאינטגרל של g ב[a,b] + האינטגרל של g ב[b,c] שווה לאינטגרל מa עד b? :תמיד משתמשים באותו טריק (נניח שאחד מהם לא אמיתיהתעמקתי בשאלה, מקווה שרלוונטי)אם ההתכנסות היא במ"ש על כל תת קטע סגור וסופי אז יוצא שפונקצית הגבול רציפה בכל נקודה בלי שתהיה התכנסות במ"ש על הקטע האינסופי/פתוח כולו.
===תשובה=תרגיל 11 ==אם כולם מתכנסים אז כןמישהו יכול לכתוב שוב את הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, הלינקים לא עובדים לי.
:ארכיון 16...
==שאלה==
בתרגיל 11 מתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני יודע שיש לנו אותם, הלינקים ששמתם שם הכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/10 אם אני לא עובדים. יש סיכוי שתוכלו לפרסם פה לינקים תקיניםטועה) והאחוזים מהציון הסופי?
http://ocw.openu.ac.il/opus/Static/binaries/Upload/Bank116/mmn-16_0.pdfמצטרף!!
http://ocwתומר - יפורסם בשעות הקרובות .openuאני עצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(!) .ac.il/opus/Static/binaries/Upload/Bank116/solution-16_0סבלנות .pdf יש חדש?
==שאלה==אוקי, נניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"ש ב0,אינסוף (עדיף להעתיק את הלינקים ולא ללחוץ עליהםחצי סגור)וב[0,1]. קודם כל בדקתי את 0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש.התחום השני, [0,1], מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה עבור אלפא גדול מ2-. מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?
יש אפשרות לקבל את הפתרונות של תרגיל 11===תשובה===לכאורה כן, אני לא מבין מה השאלה. הרי ברור שאם זה מתכנס במ"ש לכל אלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא. השאלה האמיתי היא אם החישובים שלך נכונים.:השאלה היא כזו - הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש ב0,infinity. רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש גם ב[0,1]. זה נכון?
==שאלה==איך מוכיחים התכנסות של האינטגרל מ-0 עד 1 של <math>ln^a(x)</math> עבור a חיובי?:(לא תומר/ארז)עבור a חיובי:הדגש הוא על הקטע הסגור? זה נשמע קצת מוזראם יש התכנסות באפס אז כן, כי ln(x) הוא שלילי בתחום הזה, ואם למשל נבחר a=0.5 כל הפונק' אם לא אז לא תהיה מוגדרת בתחום הזה..::עבור a>=1:כן, אפשר להשוות את הערך המוחלט בחזקת אלפא עם הערך המוחלט עצמו (קטן שווה ממנומדובר על קטעים סגורים. תודה:), ואז בגלל ש|lnx| מתכנס ב[0,1] (לפי אינטגרציה בחלקים פשוטה), גם שלנו מתכנס
==שאלה==תהא <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות על [0,1] שמקיימות <math>f_nאני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(0לא כולל הוא עצמו)=0</math> לכל n- הפונקציה מתכנסת, ותהי f רציפה על [0,1] המקיימת את אותו התנאי. אם האינטגרל מ-0 ל-x של <math>f_n</math> מתכנס לאינטגרל מ-0 ל-x של f ואח"כ הוא אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש ב-[0,1], הוכח או הפרך בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה.....?: <math>f_n</math> מתכנס ל-f בקטע [0זה נכון לגבי טור חזקות,1]אני לא בטוח איך זה קשור פה.
(לא ארז/תומר)הפרכה, תיקח fn(x)= x^n ו f=0 כל התנאים מתקיימים אבל fn לא מתכנסת לf בקטע::יש עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה נראה לי מוזר להוכיח משהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד.למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב??? :יפה::לא פה בפורום, תודה רבה!התכוונתי פה בשאלה הזו... רדיוס התכנסות זה מושג של טור חזקות, וכאן מדובר על סדרת פונקציות.
==שאלה==
הרגע גיליתי משהו שזעזע אותי מצטער על הבורות רגע לפני המבחן- למה <math>\frac{e^{4n}}{n!} \rightarrow 0</math> מה זה גזירה איבר-איבר? ואינטגרציה איבר איבר?בבקשה שלא יהיה מסובך....
(לא ארז===תשובה===נניח ויש לך טור מתכנס <math>g=\sum f_n</תומר) תנסה את מבחן דלאמבר לסדרותmath>. מקבלים ביטוי ששואף לאפס, בפרט קטן מאחד החל מהשאלה היא מהי הנגזרת של g. אם מותר לגזור איבר-N0 מסיאיבר אזי <math>g' = \וייםsum f_n'</math>. שים לב שזה לא תמיד נכון, ומכאן שהסדרה אכן שואפת לאפס!רק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-איבר.
:למה אינטגרציה זה מפתיע? למעלה יש לך e^4 (קבוע) בחזקת n ולמטה יש n!. שניהם זה מכפלה של n איברים. כאשר n גדול הרבה יותר מe^4 הביטוי למטה גדול יותר.דומה <math>\int g = \sum \int f_n</math>
==שאלה==
אם יש לי פונקציה שהיא מנה/מכפלה של שתי פונקציות שאני יודע לפתח לטור טור חזקות. האם אפשר לפתח כל אחת מהם בנפרד ואז להכפיל/לחלק את האיבר הכללי? מה קורה לx^n במקרה מתכנס גם בR וגם בR-, זה? הכוונה שלי לפונקציות כמו:f=ln(1+x)/(1+x) wאת הלאן ואת 1+x אני יודע לפתח לטור חזקותאומר שהוא מתכנס במ"ש ב[0, האם במקרה R] וב[-R,0] ואז זה האיבר הan של f בטור שווה לחילוק האיברים an בשני הפיתוחיםאומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-R,R]?
===תשובה===
לאכן. חלוקה וכפל באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש בשני קטעים סגורים צמודים הוא מתכנס במ"ש באיחוד הקטעים. כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של טורים אינה חלוקה וכפל איבר-איברשני הקטעים.
==המשך השאלה:)==אז איך כן מפתחים את הפונקציה הזו לטור חזקות?שיהיה בהצלחה לכולם! לא פחות מ100 :)
תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :):תודה, ותודה לכם על סמסטר נפלא (עד כמה שהיה אפשר. אינפי, אתם יודעים). תודה על התרגולים המצויינים, אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (האתר, וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?:ושיהיה בהצלחה לכולם! ==תזכורת לארזולתומר==היי ארזרגע אחרי המבחן,בשיעור החזרה היום ביקשת ממני להזכיר לך לבדוק וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את ההוכחה שלכם לתרגיל האחרון בקובץ החזרה של תומרהכל בשבילם, רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש, ת-ו-ד-ה ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך! מצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...:מצטרפת.. בקשר להתייחסות לגבול העליון/התחתון כאל גבול ממש, והטענה שמשהו מתקיים לכל n גדול מתודה על הכול! מה נעשה בלי Math-Nwiki. .מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(בטוח יהיה...!!) ::תודהרבה על כל האיחולים - המתרגלים.(בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס) אני מסכים לגמרי עם כל השאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P=אני רק לא מבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)... כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי ראיתם את המבחן כבר... לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך.כל מה שאני מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם!תודה על הכול (וזה בשיא הכנות) כי באמת השקעתם בנו
===תשובה===
מה שרשום שם הוא כךאני אענה לשאלה שלך בשני מישורים* הראשון והחשוב יותר: נניח והגבול העליון מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ו'''לא''' להכין אתכם למבחן. הכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן). קשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, אך אתם מגיעים על מנת ללמוד. הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את המבחן. *שנית, אני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת:**שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (הוא Lהיה לפני שראינו את המבחן). לכל x>L קיים n_0 כך שלכל n>n_0 הסדרה קטנה מxאז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (אני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן). זה נכוןאמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.**שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (אני העברתי אותה ותומר לא).**יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי L הוא הגבול העליוןידעתי שזה יעזור למבחן. אם תמיד **שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים... מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא כיף, בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ומי היה איבר בסדרה שגדול מx אז רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!:זה לא רק דוקר, זה גם צמיגי :P::מתי יעלו ציוני תרגיל? :::אנחנו נעלה אותם היום==יש לי שאלה==האם בשאלה 4ב במבחן היה גבול חלקי גדול אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס(הוכחה של התכנסות לאפס לא התכנסות במש)? ===תשובה===כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת) ==שאלה== למה מופיע לי ציון 0 בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו? :S :זו שאלה פילוסופית? ==הודעה== יש ציונים!!== מבחן == היה פקטור במבחן? ואם כן של כמה? מצטרף לשאלה... מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שווה לx שגדול שלא.... והאם לגשת למועד ב או לאבקיצור ממש מL בסתירהחשוב לנו לעת האם היה פקטור... :תשאלו את המרצים, אנחנו (המתרגלים) לא יודעים.