'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 16| ארכיון 16]]''' - לקראת המבחן
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 17| ארכיון 17]]''' - לקראת המבחן
=שאלות=
=סיכום=מצורף סיכום ממש טוב של כל המשפטים שנלמדו בקורס... תהנו!! (קרדיט ליותם ברקוביץ'): [[מדיה:summary_yotam.pdf|סיכום]]שאלה==
ארז - אתה יכול בבקשה לשים אותו בדף הראשייהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים? תודה...:לא שידוע לי, אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, אם לא אז לא
==שאלה==איך מוכיחים התכנסות של האינטגרל מתומר -0 עד 1 של <math>ln^a(x)</math> עבור a חיובימה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ?:(לא תומר/ארז)עבור a חיובי? זה נשמע קצת מוזר, כי ln(x) הוא שלילי בתחום הזה, ואם למשל נבחר a=0.5 כל הפונק' לא תהיה מוגדרת בתחום הזה..::עבור a>=1, אפשר להשוות את הערך המוחלט בחזקת אלפא עם הערך המוחלט עצמו (קטן שווה ממנו), ואז בגלל ש|lnx| מתכנס ב[0,1] (לפי אינטגרציה בחלקים פשוטה)? הגיון חבר"ה , גם שלנו מתכנסהגיון !
==שאלה==תהא <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על [0,1] שמקיימות <math>f_n(0)=0</math> לכל n, ותהי f רציפה על [0,1] המקיימת את אותו התנאי. אם האינטגרל מ-0 ל-x סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של <math>f_n</math> מתכנס לאינטגרל מ-0 ל-x האינטגרלים של f במ"ש ב-[0,1], הוכח או הפרך : <math>f_n</math> מתכנס ל-f בקטע [0,1].הפונקציות?תודה
(לא ארז/תומר)הפרכה, תיקח fn(x)= x^n ו f=0 כל התנאים מתקיימים - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך . ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל fn לא מתכנסת לf בקטעאז צריך לבדוק כל מקרה לגופו.:יפה, תודה רבה!
==שאלה==
הרגע גיליתי משהו שזעזע אותי - נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה <math>\frac{e^{4n}}{n!} \rightarrow 0</math> אם הטור |fn| מתכנס במ"ש בI, אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI?
(לא ארז/תומר) תנסה את מבחן דלאמבר לסדרות*נקודתית זה ברור מאינפי 1. מקבלים ביטוי ששואף לאפסלבמ"ש ההוכחה דומה. שארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, בפרט קטן מאחד החל מ-N0 מסי\ויים, ומכאן שהסדרה אכן שואפת לאפס!כלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט.
ועוד שאלה:למה אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש, האם זה מפתיעאומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש? למעלה יש לך e^4 (קבוע) בחזקת n ולמטה יש n!. שניהם זה מכפלה של n איברים. כאשר n גדול הרבה יותר מe^4 הביטוי למטה גדול יותר.
==שאלה==אם יש לי פונקציה שהיא מנה/מכפלה של שתי פונקציות שאני יודע לפתח לטור חזקות*ברור שלא.. האם אפשר לפתח כל אחת מהם בנפרד ואז להכפיל/לחלק את האיבר הכללי? מה קורה לx^n במקרה זה? הכוונה שלי לפונקציות כמו:f.. אינפי 1. <math>fn=ln(-1+x)^n</(1+x) wאת הלאן ואת 1+x אני יודע לפתח לטור חזקותmath> לא מתכנס בכלל, האם במקרה זה האיבר הan של f בטור שווה לחילוק האיברים an בשני הפיתוחים?אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש.
===תשובה===יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא. חלוקה וכפל ? המשפט הראשון בעמוד הראשון של טורים אינה חלוקה וכפל איבר-איברהסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים???
==המשך השאלה==אז איך כן מפתחים *נכון מאד, הסרתי את הפונקציה הזו לטור חזקות? הגעתי למצב שאני צריך לפתח את ln^2הסיכום. המשפט אומר שאם יש מקסימום/מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (1+לדוגמא x^3) לטור חזקות, אבל כמו שאמרת, מכפלה של טורים זה לא מכפלה איבר איבר..
תומר שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- יש בתורת טורי החזקות משפטים שמתייחסים למכפלת טורים , שאותם עד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא למדתם (אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה לא שונה ממכפלת פולינומים משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית- רק שכאן יש למשל x באפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף מקדמים ויש להתייחס לשאלת ההתכנסות של הטור שמתקבל פחות אינסוף שזה מתבדר...) פונקציה כזו היא "קלאסית " ליישום אחד המשפטים . מעבר לזה - אפשר לנסות למצוא נוסחא שנותנת נגזרת מסדר n - זה יוצא ארוך , אבל אם מציבים אפס (טור מקלוריין ) אפשר לנסות להשתמש בה . אבל שוב - הדרך לפתח טורים ספציפיים כאלו - ( שלא ניתן למשל למצוא איזה טור הנדסי אינסופי כמו שראינו בכיתהנכון?) היא בעזרת משפטי המכפלה תודה.
*הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x למשל מתבדר.
אז דבר כזה לא יכול להופיע במבחן?
תומר למה אם f פונקציה רציפה, מחזורית ואי- רק מבחן יש לכם בראש ? שלילית בממשיים(יש מונדיאל :f אינה זהותית אפס) - אפשר להניח שדבר כזה לא ישאלו אתכם - ומה שיכולים לשאול זה משהו שבזמן סביר ניתן לפיתוחאז הגבול של f( או על ידי זיהוי אפשרות להגעה לסידרה הנדסית כמו שעשינו בשיעור היום ...x) ==תזכורת לארז==היי ארז/x^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f חסומה מהנתונים,בשיעור החזרה היום ביקשת ממני להזכיר לך לבדוק את ההוכחה שלכם לתרגיל האחרון בקובץ החזרה לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של תומר. בקשר להתייחסות לגבול העליוןf(x)/התחתון כאל גבול ממש, והטענה שמשהו מתקיים לכל n גדול מ-N. תודהx מ1 עד אינסוף מתבדר.ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???
===תשובה===
מה שרשום שם הוא כך: נניח והגבול העליון הוא L. לכל x>L קיים n_0 כך שלכל n>n_0 הסדרה קטנה מx. זה נכון, כי L הוא הגבול העליון. אם תמיד היה איבר בסדרה שגדול מx אז היה גבול חלקי גדול או שווה לx שגדול ממש מL בסתירה.
סבבהתומר - כמה שאלות , תודה כמה שאלות ! :]) לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , במידה שווה - ראה משפט שהוכחתם . או - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות במ"ש ! .
אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא תלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף . זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! . לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס . ==שאלהמסודרת ==אם אני רוצה לפתח לטור חזקות את הפונקציה cosנתונה פונקציה fרציפה,מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. מותר תוכל גם להגיד לי לפתח את cosלמה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (f(x) לטור חזקות ואז רק לחלק את /x^n ב-x ולקבל )/x^n-1 והשאר לא משתנה, וזה הפיתוח של cos2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)/x לטור חזקות?מתכנס, כי האינטגרל של x^2 מתכנס...
===תשובה===
(לא ארז/תומר) כןנראה לי שהטעות שלך היא כזו , מותרכשאתה עשית את מבחן ההשוואה, עשית את זה עם הפונ' x^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 עד אינסוף (אתה מתבלבל עם 1/x^2).
==המשך== :אבל אמרתי בקטע 1 עד אינסוף...לא מאפס!זה לא עזר לי, אני מנסה לפתח לטור חזקות (שאלה ממבחן ) סביב 0 את ::הוא העיר לך על הפונקציה f(ולא על הקטע. x)= integral from 0 to x of 1-cos(t) / t^2 dtניסיתי לעשות גזירה איבר איבר , אבל אין לי מושג איך להתקדם עם הביטוי שבתוך האינטגרלזו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי.
דבר נוסף- ובנוגע להוכחה , אני רוצה לדוגמא לפתח את הפונקציה f(x) =x^-2 . אני יכול להשתמש בסכום של סדרה הנדסית אבל אז אני מקבל (1-x^2) בחזקת n, שזה לא ממש סימפטי. יש דרך לעשות עשיתי את זה יפה יותר?בדרך הבאה:
נסמן את המחזור של F כ-T, אנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, לכן יש נקודה X0 בקטע [1,1+T] כך ש- (''f''(''x0'' שווה ל-M גדול ממש מאפס. מכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a,b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f(x)>M/2 (או אפילו גדול שווה, זה לא משנה) וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n*T,b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת.
===תשובה===לגבי השאלה הראשונה ברור כי שתי הפונ' אי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כש- אתה גוזר את הפונקציה ומקבל <mathR>\frac{1-cosx}{x^2}</math> שזה שווה <math>\frac{1-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(F רציפה בכל קטע כזה, ול-1G יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים)^n x^{2n}}{(2n)!}}{x^2}=\frac{-\sum_{n=ולכן אם האינטגרל של G בטע 1}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}}{x^2}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2(n-1)}}{(2n)!}</math>עד אינסוף מתבדר, כך גם האינטגרל הלא אמיתי של F.
(ועכשיו, להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד כדי טעותאינסוף מתבדר, זה לא כזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את זה) ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x
עכשיו צריך לעשות אינטגרציה איבר איבר לקבל את התוצאה הרצוייה==שאלה==למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<g ו f>g והאינטגרל של f מתכנס(לא אמיתי, בשנ הסוגים הוא אמר ככה...) אז האינטגרל של g מתכנס. הוא לא אמר שאם g מתבדר גם f מתבדר,זה לא נכון?? ===תשובה===המשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון. לא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, לכן אם g מתבדר אזי f מתבדר.
==שאלה==
והשאלה השנייה שלי?
בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?
:: [לא תומר או ארז] לי דווקא יצא 1
==שאלה==
אם אני צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימן, והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרבילית(!) אחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון. האם יש אפשרות שמישהו יעלה את מה שעשו בתרגיל חזרה היום בבקשהזה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה השניה?:הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי?
==שאלה==
מישהו יודע מה המבנה של המבחן, אורךנתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"י M. צ"ל שf^2 אינטגרבילית באותו קטע.יש דרך להראות את זה לא ע"י הרכבת פונקציות (שבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)?מהי הדרך?
תומר - אני יודע ... (שאלת מי יודע :) ...יופיהנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, אתה יכול לפרט?שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן חסומה)
לאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאא! :) די כבר עם הדברים השוליים האלו ! מה משנה מה מבנה המבחן ! התעסקו בלהתכונן ולא בחישובים טקטיים של מספר שאלות ...אתם צריכים להבין שאנחנו לא מורידים חומר לפי המבנה,כי איננו יודעים לפי מספר השאלות מה יהיה במבחן......זה רק עוזר להגיע רגועים יותר,ובכל מוסד כלשהו נהוג לכל הפחות לפרסם אבל יש דרך להראות את מבנה המבחן....אם אתם לא מוכנים לפרסם היום,אז לכל הפחות בבקשה תפרסמו אותו ביום שלישי בלילה זה חוץ מהרכבה של פונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית?
תומר - שאלות על מבנה המבחן הפנו לרוני או מיכאל מידת קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה החדשה היא אפס ? ... אני לא נכנס לפרטים שהם פשוט זניחים . אף אחד לא רוצה להכשיל או לתת מבחן קשה בכוונה - והמבנה של המבחן לא יגיד לכם כלום . עד כאן .
==שאלה==צריך להפריך: אם (fn(xלא ארז/תומר) היא סדרה מונטונית (הסדרה עצמה מונוטוניתכן יש פיתרון אחר, לא הפונק', כלומר מונוטונית לפי n) של פונקציות רציפות המתכנסות נקודתית לפונק' f(x) בקטע Iוהוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות. אזי f^2 חסומה (xברור) מונוטונית, ונותר להראות את התנאי השני.יש למישהו דוגמה להפרכה?בקשר אליו, קל להראות ש
: [לא תומר/ארז] אולי הסדרה xw(f^2 + 1/n המתכנסת נקודתית לx^2?:::איך זה מפריך? פונק' הגבול היא x^)<= w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), מונוטוניתומכאן קל להמשיך.:::: קח את I להיות [1-,1] וזה לא
נכון, כל סדרה קבועה של פונקציה שאינה מונוטונית גם תקיים מראים את זה כך, לכל x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים:f(בדוגמא הזו פשוט מזיזים את כל הפונקציה למטה.x1)^2-f(x2)^2<=(f(x1)-f(x2))*(f(x1)+f(x2)), ומכאן זה ברור
==שאלונת.שאלה==נניח והגדרנו את Gהתבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0,1] כך שfn(x) להיות -->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של f fn מ0 ועד עד 1 אינו שווה ל0. - האם הפונקציה x^n(x^n-1) qq מקיימת את הדרוש? הפונק' אכן רציפות ב[0,1], פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני לא טועה, 1/n פחות 1/(2n+1)..
האם זה מוגדר היטב עבור x<0? כלומר, זה שווה למינוס האינטגרל כאשר מחליפים את הגבולות, אבל האם בפונק===תשובה===אתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא ' זו, ובכלל כשאני מגדירה פונק' קדומה לפונקציה אחרת 'שואף''' לאפס? כי כמעט כל סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (במידה והיא אינטגרבילית למשל בכל קטע סגורהסדרה של הפונקציות הקבועות <math>\frac{1}{n}</math>), מותר לי להכניס X שקטן מ0?.
תומר - בעצם , אם לוקחים איזושהיא נקודה קבועה c בקטע אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, ומגדירים אינטגרל מסויים קח סדרה של פונקציה רציפה מ c כגבול תחתון , ל פונקציות הבאה: הגרף של הפונקציה ה- x כגבול עליון - נקבל , שהפונקציה n הוא משולש עם בסיס <math>\frac{1}{n}</math> בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. הסדרה הזו היא קדומה של הפונקציה באיטגרנד ! שואפת לאפס (הסתכלו כמובן שלא במ"ש) והאינטגרל על ההוכחה ותראו שאפשר לעשות התאמה כזו כל פונקציה בסדרה הוא תמיד 1...)::אז לא ממש הבנתי.. כן מותר להציב x<0?תומר - מותר להציב כל x - בין היתר קטן מ c
==שאלה==
נראית נחמדה. f:[0,1] ---> R היא פונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f(x)<=sinx לכל x בתחום. צריך למצוא את כל פתרונות המשוואה:
cosx+quad(f,0,x)-1=0.
(קוסינוסX ועוד האינטגרל של f מ0 עד x פחות 1 = 0.)
מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואה, לא הצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/למצוא פתרון נוסף. ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי למשהו שמוכיח. יש רעיון למישהו?
::מישהו??
השאלה היא אם f אינטגרבילית גם בשליליים. אם כן, האינטגרל מאפס עד x שלילי הוא פשוט מינוס האינטגרל מx עד 0 (כמו שאמרת) ולכן זה בוודאי מוגדר היטב.
תומר - שאלת וענית בעצמך ! אני הוספתי שאפשר למצוא קדומה לפונקציה רציפה כאשר האינטגרל מהמשפט היסודי של החוודא מוגדר גם כאשר ה-x כגבול עליון , בעצם קטן יותר מהגבול התחתון ! כמובן כאשר הגבול התחתון :::אם f=sinx אזי זו נקודה פנימית בקטע כך שיש סביבה שלה שמוכלת כולה בקטע !הפונקציה הקבועה אפס. אם f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפס
==שאלה==
לא צריך לדעת לשנן משפטים לפי נוסח מדויקמישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, נכוןומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? לא יבקשו מאיתנו 'לצטט במדויק את המשפט היסודי של החדו"אתודה.:כדאי? תמיד.מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה.'
תומר - לגבי הוכחת המשפטים עצמם - לזה כבר התייחסו המרצים . אבל נוסח משפט - ברור שחייבים לדעת ! אחרת איך תדעו האם בכלל אתם יכולים להשתמש במשפט ?==שאלות מעניינות==* הוכח או הפרך::ואם אנחנו יודעים באופן כללי? צריך לדעת ממש באופן מדויק כל משפט ומשפט?.תהי <math>f_n(x)</math> סדרה של פונקציות גזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה <math>f</math>, אשר גם גזירה ברציפות,ב-<math>[a,b]</math>. תומר אזי ש- לא יודע מה זה <math>f_n' \rightarrow f'</math> במ"כללי" - או שיודעים מה טענת המשפט או שלא יודעים ש על הקטע <math>[a,b]</math>. לדוגמא * בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור <math>u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)</math>, כך ש- יש הבדל <math>a_n(x)>0</math> והטור מתכנס ב-I. מתי אני יודע אם באיזה משפט פונקציה צריכה להיות הפונקציה הגבולית רציפה , או שצריך לדרוש גזירה שזה תנאי חזק יותר כך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש. או למשל בתנאי דיני להתכנסות במידה שווה בקטע נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף! תודה!!! :) תומר - הקטע צריך להיות סגור או שלא חייבים שיהיה סגור אם ניקח את הסידרה cosnx ונחלק הכל ב n .האם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש ? ומה עם נגזרותיה ? .. למשל . אם לגבי דיני - פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא נזכור נוסח של משפט איך נדע שמותר להשתמש בו ???אמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! .
==שאלה==
שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון: int(arctan(x)/[(x*(ln(x+1))^2)], x = 0 .. infinity) ניסיתי דיריכלה, חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי. אשמח לעזרה ::מצטרף לשאלה!! איך מראים שהטור מפותרים את הדבר הזה? (לא ארז/תומר) תנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2]. שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, ושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה-nln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים תודה רבה :) זה לא נכון, כי יש בעיתיות גם בנקודה x=1 וגם באינסוף. ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של האינסוף : אבל אני לא חושב שאמורה להיות בעיה, כי זאת בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני. ::אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x^2) מתכנס (השוואה עם 1/x^2)...::עכשיו בקשר לאינטגרל מ-0 עד 1 אתה יודע ש- ln(1+x)<x לכל x ב-[0,1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של sinarctan(nxx) /x^4 וזה מתבדר? ע"פ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [0,1], ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ).
:(לא ארז/תומר ) עבור האינטגרל מ- האם האיבר הכללי בטור 0 עד 1, עבור תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x קבוע (וכמובן שונה מכפולות של פאי ..^2 .שים לב ש arctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x) /x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס ? זו שאלה שמזכירה אינפי 1 . האם הגבול של הסידרה sinnx שואף לאפס ? וביתר כלליות ובקשר לזה שכתב מעלי- האם בכלל קיים גבול לסידרה זו ? ה-x במכנה הוא לא בריבוע...
חישבו על :: האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל זה קצת - ואם אראה שבעייתי - אצרף פיתרון באמת יהיה טוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס. נסו להשתמש בנוסחאות טריגונומטריות :: תודה לשניכם : )
sin(n+1)x-sin(n-1)x=2cos(nx)=שאלות.==*sinx (הפרש סינוסים arctanx חיובי בקטע 1,infinity לא? היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..*במבחן ההשוואה הגבולי.) מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, ובסינוס זווית כפולה : sin2nx=2sinnxאם הגבול יוצא חיובי? לדוגמה, הפונקציה sinx חלקי x*cosnx lnx.בתחום [0.5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x-1..::::לא ממש הבנתי לאיזה נושא השאלה עצמה קשורה*כאשר אני מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על השונים!].. טורי חזקותאם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? טורים בלי קשר לחיוביות/שליליות של פונק'?אחת הפונקציות.. בטורים *בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש לי שאלה של פונק' דיברנו על התכנסות והתכנסות במלאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"שא מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, כשאתם מדברים על התבדרות, אתם מתכוונים שהוא לא מתכנס נקודתית פשוטאין מה לבדוק את האינטגרל השני גם?
תומר - אני מדבר על כך שלכל x קבוע יש לך הרי טור מספרים . ואתם יודעים שתנאי הכרחי לטור להתכנס הוא שהאיבר הכללי שלו שואף לאפס . אכן כאן מדובר על התבדרות (נקודתית...)וזהו, תודה רבה!
==עוד תרגיל==
תהי סדרת פונקציות מונוטוניות מתכנסת. הוכח/הפרך: פונקצית הגבול הינה מונוטונית
===תשובה===
(לא ארז/תומר)-נראה לי שזה נכון*כן הוא חיובי. תניח בשלילה שפונקצית הגבול לא מונוטונית. נניח ב.ה.כ שמדברים על מונוטונית יורדת. ואז קיימת נקודה b>a כך ש: (f(b)>f(a.כעת נתבונן באפסילון שקטן מ-f(b)-f(a))/2), וע"פ הגדרת הגבול *אם בתחום הפונקציה אי חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל שקיים N כך שלכל n>N קיימת נקודה x1 כך ש-fn(x1) קרובה ל-f(b) עד כדי אפסילון וכן אותו הדבר לגבי x2 כך שfn(x2) קרובה ל-f(a) עד כדי אפסילוןפונקציה אי שלילית. מכיוון שאין חיתוך בין תחומי האפסילון אזי בהכרח (fn(x1)>f(nx2 לכל n>N, בעוד שמכיוון שx1 שואף לb וx2 שואף לa אזי x1>x2 בסתירה למונוטוניות (היורדת) של fn.כל מה שנותר להוכיח זה שאם fn מונוטוניות יורדות אזי f כמובן שמכפלה במינוס לא יכולה להיות מונוטונית עולה שזה פשוטמשנה התכנסות אינטגרל*נכון.*נכון
::כן, אבל כשהפונק' הייתה שלילית, הגבול יצא לי חיובי. אם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי..
:::לא יכול להיות שהגבול של המנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי
::::::: כעיקרון אני מדברת על הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1] אני משווה אותה עם sinx חלקי (1 פחות X). (יום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על הסרבול). בכל מקרה, שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה. אבל הגבול של המנה, כאשר X שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת..
ארז - קודם כל השאלה היא שלי. שנית, לא נתון שהפונקציות כולן מונוטוניות באותו כיוון. חלק עולות חלק יורדות. ההוכחה מאד קרובה בכל מקרה, אבל אפשר היה לוותר על השימוש באפסילון:כי ln שלילית בקטע הזה.:אז פשוט אפשר להתסכל על כל פונקציה n בנפרד וזה מוכיח לא?::מה זה פונקציה n? ומה זה יוכיח?:::זאת אומרת על כל פונקציה fn(x) בנפרד...ואם לא אוקי, אז איך מוכיחיםבעצם מכפילים את הפונק' המקורית ב1- ואז מקבלים גבול חיובי, ואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת ==> כך גם הפונק' המקורית?
: גם אני רוצה לנסות -- יהיו שתי נקודות x>y. אם החל מn מסוים הסדרה כולה לא יורדת (בה"כ) אז גם בגבולות נקבל f(x)>=f(y. אם אין n כזה אז קיימת פונקצית גבול חלקי לעולות עבורה g(x)>=g(y ופונקצית גבול ליורדות שתקיים h(x)<=h(y. אך משום שההתכנסות היא לפונקציה יחידה נקבל f(x) = f(y (בין x וy במקרה הזה הפונקציה תהיה קבועה, שכן לכל z ביניהן סדרת הפונקציות תשנה מונוטוניות [אחרת תהיה סתירה במונוטוניות של פונקציה מהסדרה]) ובסה"כ נקבל שf מונוטוניתנכון
==שאלה==
תחום ההתכנסות התכנסות במ"ש של ערך מוחלט של טור חזקות הפונק' גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?:כבר נשאל בעמוד זה. כן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט ==שאלה==*הסתבכתי,אפשר עזרה?*נניח שהפונקציה f מוגדרת ורציפה בקטע סגור x=a..b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"ש בקטע זה אם ורק אם הסכום הנל(f^n) מתכנס נקודתית בקטע זה. :השאלה לא מנוסחת טוב. מה זה f ומה הוא קשור? מה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוף לבין טור?תיקנתי... מה הבעייה בהגדרה של f פשוט פונקציה f(x) ::שאלתי מה הקשר של f. גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק תחום ההתכנסות שלוכמו f... האם היא פונקצית הגבול של הטור?האם הפונקציות בסדרה רציפות? : (לא ארז וגם לא תומר) בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n מתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x נקבל f(x<1 (בערך מוחלט, הלוואי שזה לא היה קופץ כל הזמן). f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc,d בתוך [-1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש. לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa,b עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc,d עבור הטור של x המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה כל מה שצריך).
תומר - לחזור על נוסח המשפטים !!!
ארז - במילים אחרות אבל למה f(x) בערך מוחלט קטן מ- 1?:הסברתי במפורט בתשובה. לא :)בהכרח f<1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש. אם הוא מתכנס במ"ש ברור שהוא מתכנס. זה כל מה שצריך להוכיח.
===תשובה===
<s>אם הוא מתכנס (אפילו בתנאי) בR הוא מתכנס במידה שווה בקטע הפתוח (R,-R)</s>אם הוא מתכנס (אפילו בתנאי) בR וגם במינוס R אזי הוא מתכנס במידה שווה בקטע הפתוח (R,-R)אה.... התבלבלתי בין f_n לf^n.... מצטער.
אם הוא מתבדר בR או מינוס R הוא לא הכותב מעליי צודק שהטור מתכנס במידה שווה בקטע הפתוח כאשר <math>|f(Rx)|<1</math>,-Rוהוא מתכנס במ"ש כאשר <math>|f(x)|<r<1</math> אבל בגלל שהפונקציה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (אחרת היא לא הייתה מתכנסת בהם)ולכן התנאי מתקיים.
בכל מקרה לכל 0<R>r הוא מתכנס במידה שווה בקטע הסגור [r,r-]
:אני לא חושב שזה נכון - בהרצאה למדנו שאם הטור מתכנס ב-x=R אז הטור * על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש ב-[R,0] , וכך גם עבור בתנאי למעלה <math>|f(x=-R , אז בסה"כ מקבלים שתחום ההתכנסות במ"ש תמיד שווה לתחום ההתכנסות )|<r<1</math> כל שצריך הוא מבחן הM<math>|f(אלא אם R=0 ואז יש רק התכנסות נקודתיתx)^n|<r^n</math>.
ברור שאם הוא * על מנת להוכיח שהוא מתכנס בR אתה צודק, אבל עבור התנאי <math>|f(x)|<1</math> כל מה אם שצריך הוא לא..להסתכל נקודתית על הטור <math>\sum |f^n(x)|=\sum a^n</math> כאשר <math>|f(x)|=a<1</math> וזה כמובן מתכנס.?
* טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר.
ארז - אני חוזר * על הקריאה של תומר - שאלות כאלה '''אינן לפורום''' אלא למחברת. זה מנת להוכיח שהוא לא שאלת הבנה, זה פשוט קריאת החומרמתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל הsup שלה היה אחד: ניקח סדרה <math>x_n</math> כך ש <math>f(x_n) \rightarrow 1</math> ולכן <math>\lim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow \infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty</math> (נבחר את n_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף.אנחנו יודעים שזה מותר כי <math>f(x_n)\rightarrow 1</math>)
==שאלה==
לא הבנתי משהו. כתוב אם יש לי במחברת שהטור פונקציות x^k מ1 עד אינסוףפונקציה ואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1, איך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע (1,1-) פונ' הגבול שלו רציפה: x/1-x ?וגם כל x^k רציפות, אבל ההתכנסות אינה במ"שפה שאלה 4 כוון כללי אם אפשר. השאלה שלי היא למה? הרי הסכום הN של הטור, הוא מ1 עד N, וSn זה סכום סדרה אינסופית מתכנסת Sn=a1/1-q. ואז Sn-S=0 ואז זה בסדר. איפה הטעות שלי? עריכהhttp: לא משנה//moodle. זה כי הנוסחא S=a1technion.ac.il/1file.php/1098/Exams/2004-q עובדת רק על סדרה הנדסית *אינסופית*..2005-spring-test-a.pdf
:שמח שענית לעצמך, בכל מקרה זו לא התכנסות במ"ש כי ככל שמתקרבים לאחד הטור מתקרב להיות הטור של הסדרה הקבוצה 1 ולכן ===תשובה===הוא מתכנס לאט כרצוננו ולא במהירות אחידה עם שאר הקטעשווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות.מה הכוונה איך אתה מוודה? אם פתחת נכון זה חייב להיות שווה - הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הנקודה אפס כמובן])
==שאלה==
נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם הטור |fn| מתכנס במ"ש בI, אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI?
*נקודתית זה ברור מאינפי 1. לבמ"ש ההוכחה דומה. שארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלטלגבי השאלה השנייה כבר שאלו אותה, כלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט.תסתכל בארכיון 17
ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"שאבל אתה יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של טיילור, האם למשל הפונקציה f(0)=0 f(x)=exp(-1/x^2) sהיא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (הוא תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס)מה שאני שואל זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"שאיך הייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, רק שזה לא תמיד לערך הפונקציה?
*ברור שלא.... אינפי 1. <math>fn=(-1)^n</math> לא מתכנס בכלל, אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש.
יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא? המשפט הראשון בעמוד הראשון :אל תבלבל. הקטע עם הבדיקה בנקודה זה רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה של הסיכוםטור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר.באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציה וזה כאשר הנגזרות חסומות (ראה את ההשלמה).במקרים אחרים (כמו זה שתארת) אסור סתם להניח שיהיה שיוויון.התנאים לא צריעכים להיות הפוכים???
*נכון מאדכן, הסרתי את הסיכום. המשפט אבל בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילורמה שאתה אומר שאם יש מקסימום/מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא יודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן? (לדוגמא x^3במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות).
שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים כן. יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x באפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, אבל גם יכול להיות שזה מתבדר...פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הנגזרות מכל סדר..(נכון?)תודה.
*הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x למשל מתבדר.סבבה תודה רבה
==שאלה==
למה אם f פונקציה רציפה, מחזורית ואי-שלילית בממשיים(f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)/x^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוףהמבחן ב15:30 נכון?? הרי f חסומה מהנתונים,לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(x)/x מ1 עד אינסוף מתבדר. ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למהכמה זמן הוא יארך???
===תשובה===כן, שעתיים
תומר - כמה שאלות , כמה שאלות ! :) לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , במידה שווה - ראה משפט שהוכחתם . או - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות במ"ש ! .==שאלה==
אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים למה הסיגמה של 2*(n+1)*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?:אתה מתכוון ל<math>\sum \frac{2(n+1)3^n}{\sqrt[3]{n!}}</math>? תקח את השורש הn- אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס י ותקבל 3 חלקי אינסוף - הם לא תלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי כלומר שואף לאינסוף . זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!לאפס (הרי <math>\sqrt[n]{n! .}\rightarrow \infty</math>)
לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס ==התכנסות אינטגרלים==האם האינטגרלים הבאים מתכנסים???* <math>\int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(\theta)}d\theta</math>.* <math>\int_0^1 \frac{dx}{\ln(x)}</math>* <math>\int_{r=0}^{r=1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr</math>.האם אפשר לומר באינטגרל השלישי ש-<math>\int_{0}^{1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2</math>, ואז עפ"י השוואה???
==שאלה מסודרת ==
נתונה פונקציה fרציפה,מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (f(x)/x)/x^2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, כי האינטגרל של x^2 מתכנס...
===תשובה===
(לא ארז/תומר) נראה לי שהטעות שלך היא כזו , כשאתה עשית את מבחן ההשוואה, עשית את זה עם הפונ' x^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 עד אינסוף לשכוח לבדוק אם האינטגרל הוא אמיתי בכלל או לא. למשל השלישי הוא פשוט בעל אי רציפות סליקה באפס ולכן אינטגרבילי (אתה מתבלבל עם 1/x^2גם מה שרשמת נכון אבל בלי קשר).
:אבל אמרתי בקטע בראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1 עד אינסוף...לא מאפס!::הוא העיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם <math>\frac{1}{1-x^2 זו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי.}</math>
ובנוגע להוכחה , אני עשיתי את זה בדרך הבאה:==שאלה==
נסמן את המחזור של F כ-T, אנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, לכן יש נקודה X0 בקטע [1,1+T] כך ש- (''f''(''x0'' שווה ל-M גדול ממש מאפס. מכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a,b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים נתונה פונקציה f(x)>M/2 (או אפילו גדול שווה, זה לא משנה) וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה בקטע [a+n*T,b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרתונתון שהיא חסומה על ידי M.
ברור כי שתי הפונ' אי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כשצריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה גורר ש- R>1 (F רציפה בכל קטע כזה, ול-G יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים) ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, כך גם האינטגרל הלא אמיתי של Ff^2 אינטגרבילית.
ועכשיו, להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, חסימות זה לא כזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושיבעיה, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את זה) ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/xהסתבכתי עם התנאי השני
==שאלה==
למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<g ו f>g והאינטגרל של f מתכנס(לא אמיתי, בשנ הסוגים הוא אמר ככה...) אז האינטגרל של g מתכנס. הוא לא אמר שאם g מתבדר גם f מתבדר,זה לא נכון??
אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f,g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, כאשר במקרה הזה g===תשובה===f?המשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון. :(לא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדרארז/תומר) ענו כבר על השאלה הזאת... לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, לכן אם למרות שהוא נכון, כי אז התרגיל טריוויאלי. :הנה ההוכחה- יהי אפסילון גדול מאפס. בכל קטע g מתבדר אזי (x1)-g(x2)=(f מתבדר(x1)+f(x2))*(f(x1)-f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע. (g מוגדרת כ f בריבוע). מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון. תומר - ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . מה עם נקודות האי רציפות של הפונקציה בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ? ואם כן מה זה אומר על מידתה ? ...
==שאלה==
צריך להוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש.
f(x)= sum from 0 to infinity of (e^-nx)* cos(nx) s
בכל קטע (a, infinity] כאשר a>0
ניסיתי עם מבחן ה- m ולא הצלחתי.
מישהו?
אפשר להשוות עם e^-n במבחן הM לא?
:(לא ארז/תומר) אני חושב שצריך להשוות עם e^-an ...
עם e^-n וזה עובד. עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(x) שזה הסכום הוא פונקציה רציפה ב(o, infinity). הבעיה זה שזה קטע פתוח ולא סופי.. עדין אפשר להשתמש במשפט על טור של פונקציות רציפות המתכנס במ"ש?
:תמיד משתמשים באותו טריק (לא התעמקתי בשאלה, מקווה שרלוונטי) אם ההתכנסות היא במ"ש על כל תת קטע סגור וסופי אז יוצא שפונקצית הגבול רציפה בכל נקודה בלי שתהיה התכנסות במ"ש על הקטע האינסופי/פתוח כולו.
== תרגיל 11 ==
מישהו יכול לכתוב שוב את הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, הלינקים לא עובדים לי.
:ארכיון 16...
בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?
:: [לא תומר או ארז] לי דווקא יצא 1
==שאלה==
אם מתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימןיודע שיש לנו אותם, והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרביליתהכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/10 אם אני לא טועה) והאחוזים מהציון הסופי? מצטרף!! תומר - יפורסם בשעות הקרובות . אני עצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(!) אחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון. האם זה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה השניה?סבלנות .:הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי יש חדש?
==שאלה==
נתון כי f אינטגרבילית וחסומה עאוקי, נניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"י Mש ב0,אינסוף (חצי סגור) וב[0,1]. צ"ל שf^2 אינטגרבילית באותו קטעקודם כל בדקתי את 0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש.יש דרך להראות את התחום השני, [0,1], מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה לא ע"י הרכבת פונקציות (שבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)?מהי הדרךעבור אלפא גדול מ2-. מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?
:הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן חסומה)
אבל יש דרך להראות את ===תשובה===לכאורה כן, אני לא מבין מה השאלה. הרי ברור שאם זה חוץ מהרכבה של פונקציה רציפה ופונקציה אינטגרביליתמתכנס במ"ש לכל אלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא. השאלה האמיתי היא אם החישובים שלך נכונים.:השאלה היא כזו - הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש ב0,infinity. רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש גם ב[0,1]. זה נכון?
תומר - מידת קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה החדשה היא אפס ::הדגש הוא על הקטע הסגור? אם יש התכנסות באפס אז כן, אם לא אז לא:::כן, מדובר על קטעים סגורים...תודה:)
אני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(לא ארז/תומרכולל הוא עצמו) כן יש פיתרון אחר- הפונקציה מתכנסת, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליותואח"כ הוא אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה..f^2 חסומה (ברור), ונותר להראות את התנאי השני...?בקשר אליו:זה נכון לגבי טור חזקות, קל להראות ש w(f^2)<= w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), ומכאן קל להמשיךאני לא בטוח איך זה קשור פה.
מראים את זה כך, לכל x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים::יש עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה נראה לי מוזר להוכיח משהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד. למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב???f(x1)^2-f(x2)^2<=(f(x1)-f(x2))*(f(x1)+f(x2)):::לא פה בפורום, ומכאן התכוונתי פה בשאלה הזו... רדיוס התכנסות זה ברורמושג של טור חזקות, וכאן מדובר על סדרת פונקציות.
==שאלה==
התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0,1] כך שfn(x)מצטער על הבורות רגע לפני המבחן-מה זה גזירה איבר->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של fn מ0 עד 1 אינו שווה ל0. - האם הפונקציה x^n(x^n-1) qq מקיימת את הדרושאיבר? הפונק' אכן רציפות ב[0,1], פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני לא טועה, 1/n פחות 1/(2n+1)ואינטגרציה איבר איבר? בבקשה שלא יהיה מסובך....
===תשובה===
אתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא '''שואף''' לאפס? כי כמעט כל סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (למשל הסדרה נניח ויש לך טור מתכנס <math>g=\sum f_n</math>. השאלה היא מהי הנגזרת של הפונקציות הקבועות g. אם מותר לגזור איבר-איבר אזי <math>g' = \frac{1}{n}sum f_n'</math>). שים לב שזה לא תמיד נכון, רק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-איבר.
אם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, קח סדרה של פונקציות הבאה: הגרף של הפונקציה ה-n הוא משולש עם בסיס אינטגרציה זה דומה <math>\frac{1}{n}int g = \sum \int f_n</math> בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. הסדרה הזו שואפת לאפס (כמובן שלא במ"ש) והאינטגרל על כל פונקציה בסדרה הוא תמיד 1.
==שאלה==
נראית נחמדה. f:אם טור חזקות מתכנס גם בR וגם בR-, זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[0,1R] וב[---> R היא פונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f(x)<=sinx לכל x בתחום. צריך למצוא את כל פתרונות המשוואה: cosx+quad(f,0,x)] ואז זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-1=0.(קוסינוסX ועוד האינטגרל של f מ0 עד x פחות 1 = 0.)מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואהR, לא הצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/למצוא פתרון נוסף. ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי למשהו שמוכיח. יש רעיון למישהוR]?
===תשובה===
כן. באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש בשני קטעים סגורים צמודים הוא מתכנס במ"ש באיחוד הקטעים. כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של שני הקטעים.
== :)==
שיהיה בהצלחה לכולם! לא פחות מ100 :)
תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :)
:תודה, ותודה לכם על סמסטר נפלא (עד כמה שהיה אפשר. אינפי, אתם יודעים). תודה על התרגולים המצויינים, אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (האתר, וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?
:ושיהיה בהצלחה לכולם!
==לארז ולתומר==
רגע אחרי המבחן, וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את הכל בשבילם, רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש, ת-ו-ד-ה ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך!
מצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...
:מצטרפת.. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-wiki..
מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(בטוח יהיה...!!)
::תודה רבה על כל האיחולים - המתרגלים. (בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס)
אני מסכים לגמרי עם כל השאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P=
אני רק לא מבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)... כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי ראיתם את המבחן כבר... לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך.
כל מה שאני מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם!
תודה על הכול (וזה בשיא הכנות) כי באמת השקעתם בנו
===תשובה===
אני אענה לשאלה שלך בשני מישורים
* הראשון והחשוב יותר: מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ו'''לא''' להכין אתכם למבחן. הכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן). קשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, אך אתם מגיעים על מנת ללמוד. הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את המבחן.
*שנית, אני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת:
**שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (הוא היה לפני שראינו את המבחן). אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (אני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן). אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.
**שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (אני העברתי אותה ותומר לא).
**יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.
**שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים...
מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא כיף, בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!
:זה לא רק דוקר, זה גם צמיגי :P
::מתי יעלו ציוני תרגיל?
:::אנחנו נעלה אותם היום
==יש לי שאלה==
האם בשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס
(הוכחה של התכנסות לאפס לא התכנסות במש)?
===תשובה===
כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת)
==שאלה==
מישהו מוכן להסביר למה מופיע לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, ומתי לעשות אינטגרציה איבר איברציון 0 בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו? תודה:S :זו שאלה פילוסופית? ==הודעה== יש ציונים!!== מבחן == היה פקטור במבחן? ואם כן של כמה? מצטרף לשאלה... מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב או לאבקיצור ממש חשוב לנו לעת האם היה פקטור... :תשאלו את המרצים, אנחנו (המתרגלים) לא יודעים.