שינויים
/* כלל המנה */
====טענה====
תהי סדרה <math>a_n\to L</math> אזי <math>\frac{a_1+...+a_n}{n}\to L</math>.
כלומר הממוצע החשבוני של סדרה מתכנסת, מתכנס לאותו הגבול.
הוכחה עבור <math>L\in \mathbb{R}</math>:
יהי <math>\varepsilon>0</math>.
קיים <math>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים כי <math>|a_n-L|<\frac{\varepsilon}{2}</math>
נסמן <math>M=|a_1-L|+...+|a_{n_1}-L|</math>.
אזי <math>\left|\frac{a_1+...+a_n}{n}-L\right| = \left|\frac{(a_1-L)+...+(a_n-L)}{n}\right|\leq \frac{M+(n-n1)\frac{\varepsilon}{2}}{n}\leq\frac{M+n\frac{\varepsilon}{2}}{n}</math>
נבחר <math>n_2>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_2</math> מתקיים כי <math>\frac{M}{n}<\frac{\varepsilon}{2}</math>.
סה"כ, לכל <math>n>n_2</math> מתקיים כי <math>\left|\frac{a_1+...+a_n}{n}-L\right|<\varepsilon</math> כפי שרצינו.
הוכחה עבור <math>L=\infty</math>:
יהי <math>M>0</math>.
קיים <math>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים כי <math>a_n>2M</math>.
נסמן <math>x=a_1+...+a_{n_1}</math>.
אזי <math>\frac{a_1+...+a_n}{n}> \frac{x+(n-n_1)2M}{n} = 2M + \frac{x-n_1}{n}</math>
נבחר <math>n_2>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_2</math> מתקיים כי <math>\frac{x-n_1}{n}>-M</math>
וביחד נקבל כי לכל <math>n>n_2</math> מתקיים <math>\frac{a_1+...+a_n}{n}>M</math>
==ביבליוגרפיה==
*אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות, בנו ארבל.
*The Cauchy-Schwarz Master Class, J. Michael Steele.
