שינויים
/* המספר e */
:<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}> \left(\frac{n+2}{\frac{n+1}{1+\frac{1}{n}}+1}\right)^{n+2} = \left(\frac{n+2}{\frac{n+1}{\frac{n+1}{n}}+1}\right)^{n+2} =\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+2} =
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+2}</math>
לכן סה"כ לכל <math>n</math> מתקיים כי <math>a_1<a_n<b_n<b_1</math> ושתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.
'''נגדיר''' את המספר e להיות הגבול של הסדרה <math>a_n</math>.
לכן <math>b_n=a_n\left(1+\frac{1}{n}\right)\to e\cdot 1 = e</math>
ומתקיים לכל n כי <math>a_n<e<b_n</math>.
למשל עבור n=1 מקבלים כי <math>2<e<4</math>.
==אי שיוויון ברנולי==
יהי <math>\epsilon>-1</math>, אזי לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\cdot \epsilon</math>
אמנם לא מסובך במיוחד להוכיח את אי שיוויון ברנולי באינדוקציה, אנחנו נוכיח אותו באמצעות אי שיוויון הממוצעים.
למעשה באמצעות אי שיוויון הממוצעים, נוכיח גרסא רציונלית של אי השיוויון:
:אם <math>\frac{m}{n}\geq 1</math> אזי <math>\left(1+\epsilon\right)^{\frac{m}{n}}\geq 1 + \frac{m}{n}\cdot \epsilon</math>
ראשית, אם <math>1+\frac{m}{n}\cdot\epsilon <0</math> אי השיוויון ברור.
לכן נניח כי <math>1+\frac{m}{n}\cdot\epsilon\geq 0</math>.
לכן אי השיוויון שקול ל
:<math>1+\epsilon\geq \sqrt[m]{\left(1+\frac{m}{n}\epsilon\right)^n}</math>
כעת
:<math>\sqrt[m]{\left(1+\frac{m}{n}\epsilon\right)^n\cdot 1^{m-n}}\leq \frac{n\cdot (1+\frac{m}{n}\epsilon) + (m-n)}{m} = 1+\epsilon</math>
===שימוש באי שיוויון ברנולי===
יהי <math>a>1</math> אזי <math>a^n\to \infty</math>.
נסמן <math>a=1+\epsilon</math>, כאשר <math>\epsilon>0</math>.
לכן <math>a^n=(1+\epsilon)^n\geq 1+n\epsilon\to \infty</math>.
יהי <math>0<a<1</math> אזי <math>a^n\to 0</math>.
כיוון ש <math>0<a<1</math> נובע כי <math>\frac{1}{a}>1</math>.
לכן, <math>a^n = \frac{1}{\left(\frac{1}{a}\right)^n}\to \frac{1}{\infty}=0</math>
=ביבליוגרפיה=
*אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות, בנו ארבל.
*The Cauchy-Schwarz Master Class, J. Michael Steele.
