שינויים

נסמן <math>x_1\cdot x_{n+1}=y_n</math>, אזי <math>x_2\cdots x_n\cdot y_n = 1</math>, ולפי הנחת האינדוקציה מתקיים כי <math>x_2+...+x_n+y_n\geq n</math> ושיוויון אם"ם כולם שווים 1.

כעת נוכיח את אי השיוויון הרצוי

זה נכון אם"ם

זה שקול לאי השיוויון

:<math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)\leq 0</math>

לכן <math>x_1=x_{n+1}=1</math> וביחד עם הנחת האינדוקציה נקבל כי <math>x_2=...=x_n=1</math>.

==הוכחת אי שיוויון הממוצעים==