שינויים

"נהוג לומר כי אם פותרים בעיה מסוימת אחת באופן מסוים אז זה תיחכום, ואם פותרים שתיים בעזרת אותו רעיון אז זו כבר '''שיטה'''"."

==אי <videoflash>v7tyKNPU-שוויון הממוצעים7I</videoflash>  =אי־שוויון הממוצעים=יהיו מספרים חיוביים <math>0<a_1,...\ldots,a_n\in\mathbb{R}</math> אזי::<math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...\cdots+\frac{1}{a_n}}\leq le\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\leq le\frac{a_1+...\cdots+a_n}{n}</math>

שיוויון מתקיים אם ורק אם כל המספרים שווים <math>a_1=...\cdots=a_n</math>.

:יהיו <math>x_1,...\ldots,x_n</math> ממשיים חיוביים המקיימים <math>x_1\cdots x_n=1</math>.:אזי <math>x_1+...\cdots+x_n\geq ge n</math>, ושיוויון מתקיים אם ורק אם כולם שווים 1.

יהיו <math>x_1<...<\le\cdots\le x_{n+1}</math> ממשיים חיוביים המקיימים <math>x_1\cdots x_{n+1}=1</math>.

כיוון שש־<math>x_1</math> הינו הוא המספר הקטן ביותר, ואילו <math>x_{n+1}</math> הינו הוא המספר הגדול ביותר נובע כי <math>x_1\leq 1le1</math> ואילו <math>x_{n+1}\geq 1ge1</math>.

נסמן <math>x_1\cdot x_{n+1}=y_n</math>, אזי <math>x_2\cdots x_n\cdot y_n = 1</math>, ולפי הנחת האינדוקציה מתקיים כי <math>x_2+...\cdots+x_n+y_n\geq ge n</math> ושיוויון ושוויון אם"ם כולם שווים 1.

לכן אם נוכיח <math>x_1+...\cdots+x_{n+1}-1\geq ge x_2+...\cdots+x_n+x_1\cdot x_{n+1} +1</math>, נקבל <math>x_1+...\cdots+x_{n+1}-1\geq ge n+1</math>.

כעת נוכיח את אי השיוויון אי־השוויון הרצוי:<math>x_1+...\cdots+x_{n+1}-1\geq ge x_2+...\cdots+x_n+x_1\cdot x_{n+1} +1</math>.

:<math>x_1+x_{n+1}-1\geq ge x_1\cdot x_{n+1}+1</math>זה שקול לאי השיוויוןלאי־שוויון:<math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)\leq 0le0</math>הוא נכון כיוון ש<math>x_1\le1</math> ואילו <math>x_{n+1}\ge1</math>.

כעת שיוויון לכן <math>x_1+...+x_{n+1}=n+1</math> גורר כי או <math>x_1+...+x_{n+1}-1= x_2+...+x_n+x_1\cdot x_{n+1}=n</math> ולכן <math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)= 0</math>.

לכן אם <math>x_1=x_{n+1}=1</math> וביחד עם הנחת האינדוקציה נקבל כיוון שהוא הגדול מבין המספרים ומכפלתם היא 1, נובע כי <math>x_2x_1=...\cdots=x_n=1</math>. באופן דומה אם <math>x_1=1</math> גם כל המספרים שווים 1.

 ===הוכחת אי שיוויון אי־שיוויון הממוצעים===

:<math>x_1\cdots x_n = \frac{a_1}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}\cdots \frac{a_n}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}=1</math>

:<math>x_1+...\cdots+x_n = \frac{a_1+...\cdots+a_n}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}\geq ge n</math>

ולכן <math>\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\leq le\frac{a_1+...\cdots+a_n}{n}</math> ושיוויון ושוויון אם"ם <math>x_1=...\cdots=x_n=1</math>.

כלומר שיוויון שוויון אם"ם <math>a_1=...\cdots=a_n=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>

כעת נציב את המספרים <math>\frac{1}{a_1},...\ldots,\frac{1}{a_n}</math> ונקבל כי:

:<math>\sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\cdots \frac{1}{a_n}}\leq le\frac{\frac{1}{a_1}+...\cdots+\frac{1}{a_n}}{n}</math>

:<math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}\cdots \frac{1}{a_n}}\leq le\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>

ושיוויון ושוויון אם"ם <math>\frac{1}{a_1}=...\cdots=\frac{1}{a_n}</math>.

=משמעות הממוצעים=נתון מלבן עם צלעות באורכים a,b. אנחנו רוצים למצוא 'ממוצע' של אורכי הצלעות, כלומר מספר אחד שיכול 'להחליף' את שניהם. *אם חשוב לנו השטח, אנחנו בעצם מחפשים אורך x של צלע ריבוע ששטחו יהיה שווה לשטח המלבן. נקבל כמובן את '''הממוצע ההנדסי''' <math>x=\sqrt{ab}</math>. *אם חשוב לנו ההיקף, אנחנו בעצם מחפשים אורך x של צלע ריבוע שהיקפו יהיה שווה להיקף המלבן. נקבל כמובן את '''הממוצע החשבוני''' <math>x=\frac{a+b}{2}</math>. *ואם חשוב לנו השילוב בין השטח להיקף? בריבוע השטח חלקי ההיקף שווה לרבע הצלע. לכן אם רוצים לשמור על היחס בין השטח להיקף, אפשר לומר שהצלע 'הממוצעת' של המלבן היא 4 פעמים היחס בין השטח לבין ההיקף. נקבל במקרה זה <math>x=4\cdot\frac{ab}{2(a+b)}=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}</math>, הוא '''הממוצע ההרמוני'''.  נדגים את הממוצע ההרמוני בדרך נוספת: נניח שהיום נסעתי לעבודה במהירות a וחזרתי הבייתה במהירות b (היו פקקים), כיצד נגדיר את המהירות הממוצעת של הנסיעה? ובכן, מהירות * זמן = דרך. נסמן את המרחק בין ביתי לעבודה בx, לכן נסעתי בדרך לעבודה במשך זמן של <math>\frac{x}{a}</math>, וחזרתי בזמן של <math>\frac{x}{b}</math>. אם כך, המהירות הכוללת של הדרך הכפולה שעברתי היא <math>\frac{2x}{\frac{x}{a}+\frac{x}{b}}</math> וזה שוב הממוצע ההרמוני.  הערה: ניתן להכליל את כל הדוגמאות הללו עבור n מספרים. =שימושים===דוגמאות גאומטריות==

נסמן את שטח הצורות בsב‏־s, ואת צלעות המלבן ב<math>a\neq ne b</math>.

אזי היקף המלבן הינו הוא <math>2(a+b)</math> ואילו היקף הריבוע הינו הוא <math>4\sqrt{s}</math>. לפי אי שיוויון הממוצעים נקבל כי:

==ביבליוגרפיה==הכללה למקרה ה־n־ממדי====סכום הצלעות (פאות מממד 1) של תיבה תלת‏־ממדית היא <math>4(a+b+c)</math> ומתקיים כי:<math>4(a+b+c)=12\cdot\frac{a+b+c}{3}>12\sqrt[3]{abc}</math>ואילו <math>12\sqrt[3]{abc}</math> הוא סכום הצלעות של הקוביה התלת־ממדית בעלת אותו השטח כמו התיבה.  כעת עבור תיבה n־ממדית, סכום הצלעות הוא <math>2^{n-1}(a_1+\cdots+a_n)</math>,  אכן, צלע היא המעבר בציר i מ־0 ל־<math>a_i</math> כאשר כל שאר הצירים קבועים באחד הקצוות שלהם. :<math>2^{n-1}(a_1+\cdots+a_n)=n2^{n-1}\cdot\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}>n2^{n-1}\cdot\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math> אורך הצלע של הקוביה ה־n־מימדית בעלת שטח זהה לתיבה הוא <math>\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>, וכמות הצלעות הינה <math>n2^{n-1}</math>. לכן שוב קיבלנו שסכום הצלעות התיבה גדול מסכום צלעות הקוביה. ===היקפי ריבוע ומשולש בעלי שטח זהה===יהיו משולש וריבוע בעלי שטח זהה, אזי היקף המשולש גדול מהיקף הריבוע. נביט בבניית העזר הבאה:[[קובץ:AM-GM-trangle-square.png|1000px]] (נבנה באמצעות [https://www.geogebra.org/graphing גאוגברה].) שטח המשולש זהה לשטח המלבן ושניהם שווים ל־<math>\frac{h\cdot a}{2}</math>. היקף המשולש הוא <math>a+b+c</math> והיקף המלבן <math>2(h+\frac{a}{2})=2h+a</math>, שהוא כאמור גדול מהיקף הריבוע (או שווה לו במקרה <math>h=\frac{a}{2}</math>). כעת צלעות המשלוש גדולות או שווה לגובה, ולפחות אחת מהן גדולה ממש (במקרה שמדובר במשולש ישר זוית, הגובה שווה לאחת הצלעות). :<math>a+b+c>h+h+a=2h+a</math>  ===המחשה גאומטרית לשלושת הממוצעים עבור 2 מספרים===נביט בשרטוט הבא:[[קובץ:AM-GM-geometric.png|1000px]] (נבנה באמצעות [https://www.geogebra.org/graphing גאוגברה].) נניח כי אורך הקטע AD הינו a ואורך הקטע DB הינו b. הנקודה O הינה מרכז המעגל, שרדיוסו <math>\frac{a+b}{2}</math> הרי הוא הממוצע החשבוני. נרים את הגובה CD. נשים לב כי הזוית C היא ישרה כיוון שהיא מונחת על הקוטר, ולכן המשולשים ADC ו CDB דומים. מכאן <math>\frac{CD}{DB}=\frac{CD}{AD}</math>. לכן <math>CD^2=a\cdot b</math> וקיבלנו ש <math>CD=\sqrt{ab}</math> הרי הוא הממוצע ההנדסי. לבסוף, נעביר גובה DF, ונקבל כי המשולשים CFD ו CDO דומים. לכן <math>\frac{CF}{CD}=\frac{CD}{CO}</math> ולכן <math>CF=\frac{CD^2}{CO}=\frac{ab}{\frac{a+b}{2}}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}</math> הרי הוא הממוצע ההרמוני.  ===משולש שווה צלעות=== יהי משולש בעל צלעות באורך a,b,c. הוכיחו כי המשולש שווה צלעות אם ורק אם <math>\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} =3</math>.  ראשית, <math>\sqrt[3]{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}}\leq \frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3}</math> ושיוויון אם"ם כולם שווים. לכן <math>\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3</math> ושיוויון רק אם <math>\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}=1</math>, כלומר <math>a=b=c</math> ==כלל המנה== תהי סדרה חיובית <math>0<a_n</math> כך ש <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}\to L</math> אזי <math>\sqrt[n]{a_n}\to L</math>. ===הממוצע החשבוני===תהי סדרה <math>a_n\to L</math> אזי <math>\frac{a_1+...+a_n}{n}\to L</math>. כלומר הממוצע החשבוני של סדרה מתכנסת במובן הרחב, מתכנס לאותו הגבול.  הוכחה עבור <math>L\in \mathbb{R}</math>: יהי <math>\varepsilon>0</math>.  קיים <math>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים כי <math>|a_n-L|<\frac{\varepsilon}{2}</math> נסמן <math>M=|a_1-L|+...+|a_{n_1}-L|</math>. אזי <math>\left|\frac{a_1+...+a_n}{n}-L\right| = \left|\frac{(a_1-L)+...+(a_n-L)}{n}\right|\leq \frac{M+(n-n_1)\frac{\varepsilon}{2}}{n}\leq\frac{M+n\frac{\varepsilon}{2}}{n}</math> נבחר <math>n_2>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_2</math> מתקיים כי <math>\frac{M}{n}<\frac{\varepsilon}{2}</math>. סה"כ, לכל <math>n>n_2</math> מתקיים כי <math>\left|\frac{a_1+...+a_n}{n}-L\right|<\varepsilon</math> כפי שרצינו.  הוכחה עבור <math>L=\infty</math>: יהי <math>M>0</math>. קיים <math>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים כי <math>a_n>2M</math>. נסמן <math>x=a_1+...+a_{n_1}</math>. אזי <math>\frac{a_1+...+a_n}{n}> \frac{x+(n-n_1)2M}{n} = 2M + \frac{x-n_1}{n}</math> נבחר <math>n_2>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_2</math> מתקיים כי <math>\frac{x-n_1}{n}>-M</math> וביחד נקבל כי לכל <math>n>n_2</math> מתקיים <math>\frac{a_1+...+a_n}{n}>M</math> ===הממוצע ההרמוני===תהי סדרה <math>0< a_n\to L</math> אזי <math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}\to L</math> כלומר הממוצע ההרמוני של סדרה מתכנסת במובן הרחב, מתכנס לאותו הגבול. שימו לב שדרשנו שהסדרה חיובית, אחרת ייתכן צמצום שיוביל לאפס במכנה.  הוכחה עבור <math>0\neq L\in\mathbb{R}</math>: <math>a_n\to L</math>, לכן <math>\frac{1}{a_n}\to \frac{1}{L}</math>. לכן <math>\frac{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}{n}\to \frac{1}{L}</math> ולכן <math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}\to L</math>   הוכחה עבור <math>L=0</math>: <math>\frac{1}{a_n}\to \infty</math> לכן <math>\frac{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}{n}\to \infty</math> ולכן <math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}\to 0</math>   הוכחה עבור <math>L=\infty</math>: <math>\frac{1}{a_n}\to 0</math> לכן <math>0<\frac{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}{n}\to 0</math> ולכן <math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}\to \infty</math>  ===הממוצע ההנדסי=== לפי אי שיוויון הממוצעים, נובע כי אם <math>0<a_n\to L</math> אזי <math>\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\to L</math>  ===הוכחת כלל המנה===תהי סדרה חיובית <math>0<a_n</math> כך ש <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}\to L</math>. נגדיר את הסדרה <math>b_n</math> ע"י <math>b_1=a_1</math> ולכל <math>n>1</math> מתקיים <math>b_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> לכן הממוצע ההנדסי של הסדרה <math>b_n</math> מקיים :<math>\sqrt[n]{a_1\cdot\frac{a_2}{a_1}\cdot\frac{a_3}{a_2}\cdots\frac{a_n}{a_{n-1}}}\to L</math> לכן בעצם <math>\sqrt[n]{a_n}\to L</math> כפי שרצינו.  ==המספר e== נוכיח כי הסדרה <math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> מונוטונית עולה ממש.  נחשב (סתם ככה בלי תירוצים נוספים) ממוצע הנדסי וחשבוני בין n+1 המספרים החיוביים הבאים (כי מותר, אז למה לא). :<math>x_1=(1+\frac{1}{n}),x_2=(1+\frac{1}{n}),...,x_n=(1+\frac{1}{n}),x_{n+1}=1</math>  לפי אי שיוויון הממוצעים (שהוא נכון תמיד, גם למספרים שבחרנו ככה באופן חסר אחריות), כיוון שלא מדובר במספרים שווים, הממוצע ההנדסי קטן ממש מהממוצע החשבוני:  :<math>\sqrt[n+1]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}<\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)+...+\left(1+\frac{1}{n}\right)+1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}</math> ולכן :<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}</math>   נוכיח כי הסדרה <math>b_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math> מונוטונית יורדת ממש.  באופן דומה, נשווה בין הממוצע ההרמוני לממוצע ההנדסי של n+2 המספרים הבאים:  :<math>x_1=(1+\frac{1}{n}),x_2=(1+\frac{1}{n}),...,x_{n+1}=(1+\frac{1}{n}),x_{n+2}=1</math>  ונקבל:  :<math>\sqrt[n+2]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}}> \frac{n+2}{\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)} + ...+\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}+1 }</math>  :<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}> \left(\frac{n+2}{\frac{n+1}{1+\frac{1}{n}}+1}\right)^{n+2} = \left(\frac{n+2}{\frac{n+1}{\frac{n+1}{n}}+1}\right)^{n+2} =\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+2} =\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+2}</math>    לכן סה"כ לכל <math>n</math> מתקיים כי <math>a_1<a_n<b_n<b_1</math> ושתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. '''נגדיר''' את המספר e להיות הגבול של הסדרה <math>a_n</math>. לכן <math>b_n=a_n\left(1+\frac{1}{n}\right)\to e\cdot 1 = e</math> ומתקיים לכל n כי <math>a_n<e<b_n</math>. למשל עבור n=1 מקבלים כי <math>2<e<4</math>. ==אי שיוויון ברנולי== יהי <math>\epsilon>-1</math>, אזי לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\cdot \epsilon</math> אמנם לא מסובך במיוחד להוכיח את אי שיוויון ברנולי באינדוקציה, אנחנו נוכיח אותו באמצעות אי שיוויון הממוצעים. למעשה באמצעות אי שיוויון הממוצעים, נוכיח גרסא רציונלית של אי השיוויון::אם <math>\frac{m}{n}\geq 1</math> אזי <math>\left(1+\epsilon\right)^{\frac{m}{n}}\geq 1 + \frac{m}{n}\cdot \epsilon</math>  ראשית, אם <math>1+\frac{m}{n}\cdot\epsilon <0</math> אי השיוויון ברור. לכן נניח כי <math>1+\frac{m}{n}\cdot\epsilon\geq 0</math>.  לכן אי השיוויון שקול ל :<math>1+\epsilon\geq \sqrt[m]{\left(1+\frac{m}{n}\epsilon\right)^n}</math> כעת :<math>\sqrt[m]{\left(1+\frac{m}{n}\epsilon\right)^n\cdot 1^{m-n}}\leq \frac{n\cdot (1+\frac{m}{n}\epsilon) + (m-n)}{m} = 1+\epsilon</math>  ===שימוש באי שיוויון ברנולי===יהי <math>a>1</math> אזי <math>a^n\to \infty</math>. נסמן <math>a=1+\epsilon</math>, כאשר <math>\epsilon>0</math>. לכן <math>a^n=(1+\epsilon)^n\geq 1+n\epsilon\to \infty</math>.   יהי <math>0<a<1</math> אזי <math>a^n\to 0</math>. כיוון ש <math>0<a<1</math> נובע כי <math>\frac{1}{a}>1</math>. לכן, <math>a^n = \frac{1}{\left(\frac{1}{a}\right)^n}\to \frac{1}{\infty}=0</math>  ==אי שיוויון קושי-שוורץ== ===עבור <math>\mathbb{R}^n</math>===לכל <math>a_1,...,a_n,b_1,...,b_n\in\mathbb{R}</math> מתקיים:<math>|a_1b_1+...+a_nb_n|\leq \sqrt{a_1^2+...+a_n^2}\sqrt{b_1^2+...+b_n^2}</math> קל לראות שמספיק להוכיח את הטענה למספרים אי שליליים, וכך נעשה. ראשית, אם נציב את <math>x^2,y^2</math> באי שיוויון הממוצעים נקבל <math>xy\leq \frac{x^2+y^2}{2}</math>. לכן, :<math>\sum_{k=1}^n x_ky_k\leq \frac{\sum_{k=1}^nx_k^2 + \sum_{k=1}^ny_k^2}{2}</math> כעת נציב <math>x_k=\frac{a_k}{\sqrt{a_1^2+...+a_n^2}}</math> ו<math>y_k=\frac{b_k}{\sqrt{b_1^2+...+b_n^2}}</math> לכל k ונקבל:<math>\frac{\sum_{k=1}^n a_kb_k}{\sqrt{a_1^2+...+a_n^2}\sqrt{b_1^2+...+b_n^2}}\leq 1</math> וזהו בדיוק אי שיוויון קושי שוורץ.  ===עבור מכפלה פנימית ממשית===האם אותה הוכחה מתרגמת עבור מכפלה פנימית '''ממשית''' כללית? ובכן, :<math>\langle v-w,v-w \rangle\geq 0</math> ולכן:<math>\langle v,w \rangle \leq \frac{\langle v,v \rangle + \langle w,w \rangle}{2}</math> שזה אנלוגי לאי שיוויון הממוצעים. נציב את הנרמול של הוקטורים, ונקבל: :<math>\langle \frac{v}{||v||},\frac{w}{||w||} \rangle \leq 1</math> ולכן <math>\langle v,w\rangle \leq ||v||\cdot ||w||</math> ע"י הצבה של <math>-v</math>, נקבל :<math>-\langle v,w\rangle \leq ||v||\cdot ||w||</math> וביחד סה"כ קיבלנו את אי שיוויון קושי-שוורץ: :<math>|\langle v,w\rangle| \leq ||v||\cdot ||w||</math> ===עבור מכפלה פנימית מרוכבת=== נתחיל מאי השיוויון :<math>\langle v-w,v-w \rangle\geq 0</math> אך הפעם נקבל :<math>Re(\langle v,w \rangle) \leq \frac{\langle v,v \rangle + \langle w,w \rangle}{2}</math> על ידי הצבת הוקטורים המנורמלים נקבל את אי השיוויון החלש יותר: :<math>Re(\langle v,w \rangle)\leq ||v||\cdot ||w||</math> נשים לב כי :<math>Re(\langle v,\langle v,w \rangle w \rangle) = Re(\overline{\langle v,w \rangle}\langle v,w \rangle) = |\langle v,w \rangle|^2</math> כיוון שהערך המוחלט הוא מספר ממשי. לכן, :<math>|\langle v,w \rangle|^2=Re(\langle v,\langle v,w \rangle w \rangle) \leq ||v||\cdot ||\langle v,w \rangle w|| = ||v||\cdot ||w|| \cdot |\langle v,w \rangle|</math> ושוב קיבלנו את אי שיוויון קושי שוורץ, כפי שרצינו. =ביבליוגרפיה=