שינויים

=אי <videoflash>v7tyKNPU-שוויון 7I</videoflash>  =אי־שוויון הממוצעים=יהיו מספרים חיוביים <math>0<a_1,...\ldots,a_n\in\mathbb{R}</math> אזי::<math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...\cdots+\frac{1}{a_n}}\leq le\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\leq le\frac{a_1+...\cdots+a_n}{n}</math>

שיוויון מתקיים אם ורק אם כל המספרים שווים <math>a_1=...\cdots=a_n</math>.

:יהיו <math>x_1,...\ldots,x_n</math> ממשיים חיוביים המקיימים <math>x_1\cdots x_n=1</math>.:אזי <math>x_1+...\cdots+x_n\geq ge n</math>, ושיוויון מתקיים אם ורק אם כולם שווים 1.

יהיו <math>x_1<...<\le\cdots\le x_{n+1}</math> ממשיים חיוביים המקיימים <math>x_1\cdots x_{n+1}=1</math>.

כיוון שש־<math>x_1</math> הינו הוא המספר הקטן ביותר, ואילו <math>x_{n+1}</math> הינו הוא המספר הגדול ביותר נובע כי <math>x_1\leq 1le1</math> ואילו <math>x_{n+1}\geq 1ge1</math>.

נסמן <math>x_1\cdot x_{n+1}=y_n</math>, אזי <math>x_2\cdots x_n\cdot y_n = 1</math>, ולפי הנחת האינדוקציה מתקיים כי <math>x_2+...\cdots+x_n+y_n\geq ge n</math> ושיוויון ושוויון אם"ם כולם שווים 1.

לכן אם נוכיח <math>x_1+...\cdots+x_{n+1}\geq ge x_2+...\cdots+x_n+x_1\cdot x_{n+1}+1 </math>, נקבל <math>x_1+...\cdots+x_{n+1}\geq ge n+1</math>.

כעת נוכיח את אי השיוויון אי־השוויון הרצוי:<math>x_1+...\cdots+x_{n+1}\geq ge x_2+...\cdots+x_n+x_1\cdot x_{n+1}+1 </math>.

:<math>x_1+x_{n+1}\geq ge x_1\cdot x_{n+1}+1</math>זה שקול לאי השיוויוןלאי־שוויון:<math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)\leq 0le0</math>הוא נכון כיוון ש<math>x_1\le1</math> ואילו <math>x_{n+1}\ge1</math>.

כעת שיוויון לכן <math>x_1+...+x_{n+1}=n+1</math> גורר כי או <math>x_1+...+x_{n+1}= x_2+...+x_n+x_1\cdot x_{n+1}+1=n+1</math> ולכן <math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)= 0</math>.

לכן אם <math>x_1=x_{n+1}=1</math> וביחד עם הנחת האינדוקציה נקבל כיוון שהוא הגדול מבין המספרים ומכפלתם היא 1, נובע כי <math>x_2x_1=...\cdots=x_n=1</math>. באופן דומה אם <math>x_1=1</math> גם כל המספרים שווים 1.

===הוכחת אי שיוויון אי־שיוויון הממוצעים===

:<math>x_1\cdots x_n = \frac{a_1}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}\cdots \frac{a_n}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}=1</math>

:<math>x_1+...\cdots+x_n = \frac{a_1+...\cdots+a_n}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}\geq ge n</math>

ולכן <math>\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\leq le\frac{a_1+...\cdots+a_n}{n}</math> ושיוויון ושוויון אם"ם <math>x_1=...\cdots=x_n=1</math>.

כלומר שיוויון שוויון אם"ם <math>a_1=...\cdots=a_n=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>

כעת נציב את המספרים <math>\frac{1}{a_1},...\ldots,\frac{1}{a_n}</math> ונקבל כי:

:<math>\sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\cdots \frac{1}{a_n}}\leq le\frac{\frac{1}{a_1}+...\cdots+\frac{1}{a_n}}{n}</math>

:<math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}\cdots \frac{1}{a_n}}\leq le\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>

ושיוויון ושוויון אם"ם <math>\frac{1}{a_1}=\cdots=\frac{1}{a_n}</math>. =משמעות הממוצעים=נתון מלבן עם צלעות באורכים a,b.אנחנו רוצים למצוא 'ממוצע' של אורכי הצלעות, כלומר מספר אחד שיכול 'להחליף' את שניהם. *אם חשוב לנו השטח, אנחנו בעצם מחפשים אורך x של צלע ריבוע ששטחו יהיה שווה לשטח המלבן. נקבל כמובן את '''הממוצע ההנדסי''' <math>x=\sqrt{ab}</math>. *אם חשוב לנו ההיקף, אנחנו בעצם מחפשים אורך x של צלע ריבוע שהיקפו יהיה שווה להיקף המלבן. נקבל כמובן את '''הממוצע החשבוני''' <math>x=\frac{a+b}{2}</math>. *ואם חשוב לנו השילוב בין השטח להיקף? בריבוע השטח חלקי ההיקף שווה לרבע הצלע. לכן אם רוצים לשמור על היחס בין השטח להיקף, אפשר לומר שהצלע 'הממוצעת' של המלבן היא 4 פעמים היחס בין השטח לבין ההיקף. נקבל במקרה זה <math>x=4\cdot\frac{ab}{2(a+b)}=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2}{\frac{1}{a_na}+\frac{1}{b}}</math>, הוא '''הממוצע ההרמוני'''.  נדגים את הממוצע ההרמוני בדרך נוספת: נניח שהיום נסעתי לעבודה במהירות a וחזרתי הבייתה במהירות b (היו פקקים), כיצד נגדיר את המהירות הממוצעת של הנסיעה? ובכן, מהירות * זמן = דרך. נסמן את המרחק בין ביתי לעבודה בx, לכן נסעתי בדרך לעבודה במשך זמן של <math>\frac{x}{a}</math>, וחזרתי בזמן של <math>\frac{x}{b}</math>. אם כך, המהירות הכוללת של הדרך הכפולה שעברתי היא <math>\frac{2x}{\frac{x}{a}+\frac{x}{b}}</math> וזה שוב הממוצע ההרמוני.  הערה: ניתן להכליל את כל הדוגמאות הללו עבור n מספרים.

נסמן את שטח הצורות בsב‏־s, ואת צלעות המלבן ב<math>a\neq ne b</math>.

אזי היקף המלבן הינו הוא <math>2(a+b)</math> ואילו היקף הריבוע הינו הוא <math>4\sqrt{s}</math>. לפי אי שיוויון הממוצעים נקבל כי:

 ====הכללה למקרה הn מימדיה־n־ממדי====סכום הצלעות (פאות ממימד מממד 1) של תיבה תלת מימדים הינה תלת‏־ממדית היא <math>4(a+b+c)</math> ומתקיים כי

ואילו <math>12\sqrt[3]{abc}</math> הוא סכום הצלעות של הקוביה התלת מימדים התלת־ממדית בעלת אותו השטח כמו התיבה.

אכןכעת עבור תיבה n־ממדית, צלע הינה המעבר בציר i מ0 לסכום הצלעות הוא <math>a_i2^{n-1}(a_1+\cdots+a_n)</math> כאשר כל שאר הצירים קבועים באחד הקצוות שלהם.,

:אכן, צלע היא המעבר בציר i מ־0 ל־<math>2^{n-1}(a_1+...+a_n) = n2^{n-1}\cdot\frac{a_1+...+a_n}{n}>n2^{n-1}\cdot\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}a_i</math>כאשר כל שאר הצירים קבועים באחד הקצוות שלהם.

:<math>2^{n-1}(a_1+\cdots+a_n)=n2^{n-1}\cdot\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}>n2^{n-1}\cdot\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math> אורך הצלע של הקוביה הn-מימדית ה־n־מימדית בעלת שטח זהה לתיבה הינו הוא <math>\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>, וכמות הצלעות הינה <math>n2^{n-1}</math>.

[[קובץ:AM-GM-trangle-square.png|1500px1000px]]

שטח המשולש זהה לשטח המלבן ושניהם שווים לל־<math>\frac{h\cdot a}{2}</math>.

היקף המשולש הינו הוא <math>a+b+c</math> והיקף המלבן <math>2(h+\frac{a}{2})=2h+a</math>, שהוא כאמור גדול מהיקף הריבוע (או שווה לו במקרה ש<math>h=\frac{a}{2}</math>).

:<math>a+b+c>h+h+a = 2h+a</math>

[[קובץ:AM-GM-geometric.png|1500px1000px]]

אזי <math>\left|\frac{a_1+...+a_n}{n}-L\right| = \left|\frac{(a_1-L)+...+(a_n-L)}{n}\right|\leq \frac{M+(n-n1n_1)\frac{\varepsilon}{2}}{n}\leq\frac{M+n\frac{\varepsilon}{2}}{n}</math>

 נחשב (סתם ככה בלי תירוצים נוספים) ממוצע הנדסי וחשבוני בין n+1 המספרים החיוביים הבאים (כי מותר, אז למה לא). :<math>\leftx_1=(1+\frac{1}{n}\right)^n,x_2= \left(1+\frac{1}{n}\right)\cdots \left,...,x_n=(1+\frac{1}{n}\right)\cdot ,x_{n+1}=1</math>  לפי אי שיוויון הממוצעים (שהוא נכון תמיד, גם למספרים שבחרנו ככה באופן חסר אחריות), כיוון שלא מדובר במספרים שווים, הממוצע ההנדסי קטן ממש מהממוצע החשבוני: 

וזהו ולכן <math>\langle v,w\rangle \leq ||v||\cdot ||w||</math> ע"י הצבה של <math>-v</math>, נקבל :<math>-\langle v,w\rangle \leq ||v||\cdot ||w||</math> וביחד סה"כ קיבלנו את אי שיוויון קושי-שוורץ.: