שינויים

=אי <videoflash>v7tyKNPU-שוויון 7I</videoflash>  =אי־שוויון הממוצעים=יהיו מספרים חיוביים <math>0<a_1,...\ldots,a_n\in\mathbb{R}</math> אזי::<math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...\cdots+\frac{1}{a_n}}\leq le\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\leq le\frac{a_1+...\cdots+a_n}{n}</math>

שיוויון מתקיים אם ורק אם כל המספרים שווים <math>a_1=...\cdots=a_n</math>.

:יהיו <math>x_1,...\ldots,x_n</math> ממשיים חיוביים המקיימים <math>x_1\cdots x_n=1</math>.:אזי <math>x_1+...\cdots+x_n\geq ge n</math>, ושיוויון מתקיים אם ורק אם כולם שווים 1.

יהיו <math>x_1\leq...le\leq cdots\le x_{n+1}</math> ממשיים חיוביים המקיימים <math>x_1\cdots x_{n+1}=1</math>.

כיוון שש־<math>x_1</math> הינו הוא המספר הקטן ביותר, ואילו <math>x_{n+1}</math> הינו הוא המספר הגדול ביותר נובע כי <math>x_1\leq 1le1</math> ואילו <math>x_{n+1}\geq 1ge1</math>.

נסמן <math>x_1\cdot x_{n+1}=y_n</math>, אזי <math>x_2\cdots x_n\cdot y_n = 1</math>, ולפי הנחת האינדוקציה מתקיים כי <math>x_2+...\cdots+x_n+y_n\geq ge n</math> ושיוויון ושוויון אם"ם כולם שווים 1.

לכן אם נוכיח <math>x_1+...\cdots+x_{n+1}\geq ge x_2+...\cdots+x_n+x_1\cdot x_{n+1}+1 </math>, נקבל <math>x_1+...\cdots+x_{n+1}\geq ge n+1</math>.

כעת נוכיח את אי השיוויון אי־השוויון הרצוי:<math>x_1+...\cdots+x_{n+1}\geq ge x_2+...\cdots+x_n+x_1\cdot x_{n+1}+1 </math>.

:<math>x_1+x_{n+1}\geq ge x_1\cdot x_{n+1}+1</math>זה שקול לאי השיוויוןלאי־שוויון:<math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)\leq 0le0</math> הוא נכון כיוון ש<math>x_1\leq 1le1</math> ואילו <math>x_{n+1}\geq 1ge1</math>.

כעת שיוויון שוויון <math>x_1+...\cdots+x_{n+1}=n+1</math> גורר כי <math>x_1+...\cdots+x_{n+1}= x_2+...\cdots+x_n+x_1\cdot x_{n+1}+1=n+1</math> ולכן <math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)= 0</math>.

אם <math>x_{n+1}=1</math> כיוון שהוא הגדול מבין המספרים ומכפלתם היא 1, נובע שכי <math>x_1=...\cdots=x_n=1</math>. באופן דומה אם <math>x_1=1</math> גם כל המספרים שווים 1.

===הוכחת אי שיוויון אי־שיוויון הממוצעים===

:<math>x_1\cdots x_n = \frac{a_1}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}\cdots \frac{a_n}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}=1</math>

:<math>x_1+...\cdots+x_n = \frac{a_1+...\cdots+a_n}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}\geq ge n</math>

ולכן <math>\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\leq le\frac{a_1+...\cdots+a_n}{n}</math> ושיוויון ושוויון אם"ם <math>x_1=...\cdots=x_n=1</math>.

כלומר שיוויון שוויון אם"ם <math>a_1=...\cdots=a_n=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>

כעת נציב את המספרים <math>\frac{1}{a_1},...\ldots,\frac{1}{a_n}</math> ונקבל כי:

:<math>\sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\cdots \frac{1}{a_n}}\leq le\frac{\frac{1}{a_1}+...\cdots+\frac{1}{a_n}}{n}</math>

:<math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}\cdots \frac{1}{a_n}}\leq le\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>

ושיוויון ושוויון אם"ם <math>\frac{1}{a_1}=...\cdots=\frac{1}{a_n}</math>.

*אם חשוב לנו השטח, אנחנו בעצם מחפשים אורך x של צלע ריבוע ששטחו יהיה שווה לשטח המלבן. נקבל כמובן את '''הממוצע ההנדסי''' <math>x=\sqrt{ab}</math>.

*אם חשוב לנו ההיקף, אנחנו בעצם מחפשים אורך x של צלע ריבוע שהיקפו יהיה שווה להיקף המלבן. נקבל כמובן את '''הממוצע החשבוני''' <math>x=\frac{a+b}{2}</math>.

*ואם חשוב לנו השילוב בין השטח להיקף? בריבוע השטח חלקי ההיקף שווה לרבע הצלע. כלומר לכן אם רוצים לשמור על היחס בין השטח להיקף, אפשר לומר שהצלע 'הממוצעת' של המלבן היא היחס בין 4 פעמים היחס בין השטח לבין ההיקף.

נקבל במקרה זה <math>x=4\cdot\frac{4abab}{2(a+b)}=\frac{2ab}{a+b} = \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}</math>, הוא '''הממוצע ההרמוני'''.

אם כך, המהירות הכוללת של הדרך הכפולה שעברתי הינה היא <math>\frac{2x}{\frac{x}{a}+\frac{x}{b}}</math> וזה שוב הממוצע ההרמוני.

נסמן את שטח הצורות בsב‏־s, ואת צלעות המלבן ב<math>a\neq ne b</math>.

אזי היקף המלבן הינו הוא <math>2(a+b)</math> ואילו היקף הריבוע הינו הוא <math>4\sqrt{s}</math>. לפי אי שיוויון הממוצעים נקבל כי:

 ====הכללה למקרה הn מימדיה־n־ממדי====סכום הצלעות (פאות ממימד מממד 1) של תיבה תלת מימדים הינה תלת‏־ממדית היא <math>4(a+b+c)</math> ומתקיים כי

ואילו <math>12\sqrt[3]{abc}</math> הוא סכום הצלעות של הקוביה התלת מימדים התלת־ממדית בעלת אותו השטח כמו התיבה. 

כעת עבור תיבה n-מימדיתn־ממדית, סכום הצלעות הינו הוא <math>2^{n-1}(a_1+...\cdots+a_n)</math>,

אכן, צלע הינה היא המעבר בציר i מ0 למ־0 ל־<math>a_i</math> כאשר כל שאר הצירים קבועים באחד הקצוות שלהם.

:<math>2^{n-1}(a_1+...\cdots+a_n) = n2^{n-1}\cdot\frac{a_1+...\cdots+a_n}{n}>n2^{n-1}\cdot\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>

אורך הצלע של הקוביה הn-מימדית ה־n־מימדית בעלת שטח זהה לתיבה הינו הוא <math>\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>, וכמות הצלעות הינה <math>n2^{n-1}</math>.

[[קובץ:AM-GM-trangle-square.png|1500px1000px]]

שטח המשולש זהה לשטח המלבן ושניהם שווים לל־<math>\frac{h\cdot a}{2}</math>.

היקף המשולש הינו הוא <math>a+b+c</math> והיקף המלבן <math>2(h+\frac{a}{2})=2h+a</math>, שהוא כאמור גדול מהיקף הריבוע (או שווה לו במקרה ש<math>h=\frac{a}{2}</math>).

:<math>a+b+c>h+h+a = 2h+a</math>

[[קובץ:AM-GM-geometric.png|1500px1000px]]

אזי <math>\left|\frac{a_1+...+a_n}{n}-L\right| = \left|\frac{(a_1-L)+...+(a_n-L)}{n}\right|\leq \frac{M+(n-n1n_1)\frac{\varepsilon}{2}}{n}\leq\frac{M+n\frac{\varepsilon}{2}}{n}</math>

 נחשב (סתם ככה בלי תירוצים נוספים) ממוצע הנדסי וחשבוני בין n+1 המספרים החיוביים הבאים (כי מותר, אז למה לא). :<math>\leftx_1=(1+\frac{1}{n}\right)^n,x_2= \left(1+\frac{1}{n}\right)\cdots \left,...,x_n=(1+\frac{1}{n}\right)\cdot ,x_{n+1}=1</math>  לפי אי שיוויון הממוצעים (שהוא נכון תמיד, גם למספרים שבחרנו ככה באופן חסר אחריות), כיוון שלא מדובר במספרים שווים, הממוצע ההנדסי קטן ממש מהממוצע החשבוני: 

וזהו ולכן <math>\langle v,w\rangle \leq ||v||\cdot ||w||</math> ע"י הצבה של <math>-v</math>, נקבל :<math>-\langle v,w\rangle \leq ||v||\cdot ||w||</math> וביחד סה"כ קיבלנו את אי שיוויון קושי-שוורץ.: