שינויים
הגהה, שיפוץ קודים מתמטיים
=אי-שוויון אי־שוויון הממוצעים=יהיו מספרים חיוביים <math>0<a_1,...\ldots,a_n\in\mathbb{R}</math> אזי::<math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...\cdots+\frac{1}{a_n}}\leq le\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\leq le\frac{a_1+...\cdots+a_n}{n}</math>
כאשר משמאל מופיע הממוצע ההרמוני, במרכז הממוצע ההנדסי (גאומטרי) ומימין הממוצע החשבוני (אלגברי).
שיוויון מתקיים אם ורק אם כל המספרים שווים <math>a_1=...\cdots=a_n</math>.
===טענת עזר===
ראשית, נוכיח את הטענה הבאה:
:יהיו <math>x_1,...\ldots,x_n</math> ממשיים חיוביים המקיימים <math>x_1\cdots x_n=1</math>.:אזי <math>x_1+...\cdots+x_n\geq ge n</math>, ושיוויון מתקיים אם ורק אם כולם שווים 1.
עבור n=1 הטענה טריוויאלית.
יהי n עבורו הטענה נכונה, ונוכיח אותה עבור n+1.
יהיו <math>x_1\leq...le\leq cdots\le x_{n+1}</math> ממשיים חיוביים המקיימים <math>x_1\cdots x_{n+1}=1</math>.
כיוון שש־<math>x_1</math> הינו הוא המספר הקטן ביותר, ואילו <math>x_{n+1}</math> הינו הוא המספר הגדול ביותר נובע כי <math>x_1\leq 1le1</math> ואילו <math>x_{n+1}\geq 1ge1</math>.
נסמן <math>x_1\cdot x_{n+1}=y_n</math>, אזי <math>x_2\cdots x_n\cdot y_n = 1</math>, ולפי הנחת האינדוקציה מתקיים כי <math>x_2+...\cdots+x_n+y_n\geq ge n</math> ושיוויון ושוויון אם"ם כולם שווים 1.
לכן אם נוכיח <math>x_1+...\cdots+x_{n+1}\geq ge x_2+...\cdots+x_n+x_1\cdot x_{n+1}+1 </math>, נקבל <math>x_1+...\cdots+x_{n+1}\geq ge n+1</math>.
כעת נוכיח את אי השיוויון אי־השוויון הרצוי:<math>x_1+...\cdots+x_{n+1}\geq ge x_2+...\cdots+x_n+x_1\cdot x_{n+1}+1 </math>.
זה נכון אם"ם
:<math>x_1+x_{n+1}\geq ge x_1\cdot x_{n+1}+1</math>זה שקול לאי השיוויוןלאי־שוויון:<math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)\leq 0le0</math>הוא נכון כיוון ש<math>x_1\le1</math> ואילו <math>x_{n+1}\ge1</math>.
כעת שיוויון שוויון <math>x_1+...\cdots+x_{n+1}=n+1</math> גורר כי <math>x_1+...\cdots+x_{n+1}= x_2+...\cdots+x_n+x_1\cdot x_{n+1}+1=n+1</math> ולכן <math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)= 0</math>.
לכן <math>x_{n+1}=1</math> או <math>x_1=1</math>.
אם <math>x_{n+1}=1</math> כיוון שהוא הגדול מבין המספרים ומכפלתם היא 1, נובע שכי <math>x_1=...\cdots=x_n=1</math>. באופן דומה אם <math>x_1=1</math> גם כל המספרים שווים 1.
===הוכחת אי שיוויון אי־שיוויון הממוצעים===
נגדיר <math>x_i=\frac{a_i}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}</math> ונבחין כי:
:<math>x_1\cdots x_n = \frac{a_1}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}\cdots \frac{a_n}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}=1</math>
לכן לפי טענת העזר נקבל כי:
:<math>x_1+...\cdots+x_n = \frac{a_1+...\cdots+a_n}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}\geq ge n</math>
ולכן <math>\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\leq le\frac{a_1+...\cdots+a_n}{n}</math> ושיוויון ושוויון אם"ם <math>x_1=...\cdots=x_n=1</math>.
כלומר שיוויון שוויון אם"ם <math>a_1=...\cdots=a_n=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>
כעת נציב את המספרים <math>\frac{1}{a_1},...\ldots,\frac{1}{a_n}</math> ונקבל כי:
:<math>\sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\cdots \frac{1}{a_n}}\leq le\frac{\frac{1}{a_1}+...\cdots+\frac{1}{a_n}}{n}</math>
כלומר
:<math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}\cdots \frac{1}{a_n}}\leq le\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>
=משמעות הממוצעים=
נתון מלבן עם צלעות באורכים a,b. אנחנו רוצים למצוא 'ממוצע' של אורכי הצלעות, כלומר מספר אחד שיכול 'להחליף' את שניהם.
*ואם חשוב לנו השילוב בין השטח להיקף? בריבוע השטח חלקי ההיקף שווה לרבע הצלע. לכן אם רוצים לשמור על היחס בין השטח להיקף, אפשר לומר שהצלע 'הממוצעת' של המלבן היא 4 פעמים היחס בין השטח לבין ההיקף.
נקבל במקרה זה <math>x=4\cdot\frac{ab}{2(a+b)}=\frac{2ab}{a+b} = \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}</math>, הוא '''הממוצע ההרמוני'''.
ובכן, מהירות * זמן = דרך. נסמן את המרחק בין ביתי לעבודה בx, לכן נסעתי בדרך לעבודה במשך זמן של <math>\frac{x}{a}</math>, וחזרתי בזמן של <math>\frac{x}{b}</math>.
אם כך, המהירות הכוללת של הדרך הכפולה שעברתי הינה היא <math>\frac{2x}{\frac{x}{a}+\frac{x}{b}}</math> וזה שוב הממוצע ההרמוני.
יהיו מלבן וריבוע בעלי שטח זהה, אזי היקף המלבן גדול מהיקף הריבוע.
נסמן את שטח הצורות בsב־s, ואת צלעות המלבן ב<math>a\neq ne b</math>.
אזי היקף המלבן הינו הוא <math>2(a+b)</math> ואילו היקף הריבוע הינו הוא <math>4\sqrt{s}</math>. לפי אי שיוויון הממוצעים נקבל כי:
לפי אי־שוויון הממוצעים נקבל כי:
:<math>2(a+b)=4\frac{a+b}{2}>4\sqrt{ab}=4\sqrt{s}</math>
====הכללה למקרה הn מימדיה־n־ממדי====סכום הצלעות (פאות ממימד מממד 1) של תיבה תלת מימדים הינה תלת־ממדית היא <math>4(a+b+c)</math> ומתקיים כי
:<math>4(a+b+c)=12\cdot\frac{a+b+c}{3}>12\sqrt[3]{abc}</math>
ואילו <math>12\sqrt[3]{abc}</math> הוא סכום הצלעות של הקוביה התלת מימדית התלת־ממדית בעלת אותו השטח כמו התיבה.
כעת עבור תיבה n-מימדיתn־ממדית, סכום הצלעות הינו הוא <math>2^{n-1}(a_1+...\cdots+a_n)</math>,
אכן, צלע הינה היא המעבר בציר i מ0 למ־0 ל־<math>a_i</math> כאשר כל שאר הצירים קבועים באחד הקצוות שלהם.
:<math>2^{n-1}(a_1+...\cdots+a_n) = n2^{n-1}\cdot\frac{a_1+...\cdots+a_n}{n}>n2^{n-1}\cdot\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>
אורך הצלע של הקוביה הn-מימדית ה־n־מימדית בעלת שטח זהה לתיבה הינו הוא <math>\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>, וכמות הצלעות הינה <math>n2^{n-1}</math>.
לכן שוב קיבלנו שסכום הצלעות התיבה גדול מסכום צלעות הקוביה.
נביט בבניית העזר הבאה:
[[קובץ:AM-GM-trangle-square.png|1500px1000px]]
(נבנה באמצעות [https://www.geogebra.org/graphing גאוגברה].)
שטח המשולש זהה לשטח המלבן ושניהם שווים לל־<math>\frac{h\cdot a}{2}</math>.
היקף המשולש הינו הוא <math>a+b+c</math> והיקף המלבן <math>2(h+\frac{a}{2})=2h+a</math>, שהוא כאמור גדול מהיקף הריבוע (או שווה לו במקרה ש<math>h=\frac{a}{2}</math>).
כעת צלעות המשלוש גדולות או שווה לגובה, ולפחות אחת מהן גדולה ממש (במקרה שמדובר במשולש ישר זוית, הגובה שווה לאחת הצלעות).
:<math>a+b+c>h+h+a = 2h+a</math>
===המחשה גאומטרית לשלושת הממוצעים עבור 2 מספרים===
נביט בשרטוט הבא:
[[קובץ:AM-GM-geometric.png|1500px1000px]]
(נבנה באמצעות [https://www.geogebra.org/graphing גאוגברה].)
