נוספו 2,846 בתים,
15:49, 29 בנובמבר 2018 "נהוג לומר כי אם פותרים בעיה מסוימת אחת באופן מסוים אז זה תיחכום, ואם פותרים שתיים בעזרת אותו רעיון אז זו כבר '''שיטה'''".
(אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות, פרופ' [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%91%D7%A0%D7%95_%D7%90%D7%A8%D7%91%D7%9C בנו ארבל].)
==אי-שוויון הממוצעים==
יהיו מספרים חיוביים <math>0<a_1,...,a_n\in\mathbb{R}</math> אזי:
:<math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}\leq \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\leq \frac{a_1+...+a_n}{n}</math>
כאשר משמאל מופיע הממוצע ההרמוני, במרכז הממוצע ההנדסי (גאומטרי) ומימין הממוצע החשבוני (אלגברי).
שיוויון מתקיים אם ורק אם כל המספרים שווים <math>a_1=...=a_n</math>.
===טענת עזר===
ראשית, נוכיח את הטענה הבאה:
:יהיו <math>x_1,...,x_n</math> ממשיים חיוביים המקיימים <math>x_1\cdots x_n=1</math>.
:אזי <math>x_1+...+x_n\geq n</math>, ושיוויון מתקיים אם ורק אם כולם שווים 1.
עבור n=1 הטענה טריוויאלית.
יהי n עבורו הטענה נכונה, ונוכיח אותה עבור n+1.
יהיו <math>x_1<...<x_{n+1}</math> ממשיים חיוביים המקיימים <math>x_1\cdots x_{n+1}=1</math>.
כיוון ש<math>x_1</math> הינו המספר הקטן ביותר, ואילו <math>x_{n+1}</math> הינו המספר הגדול ביותר נובע כי <math>x_1\leq 1</math> ואילו <math>x_{n+1}\geq 1</math>.
נסמן <math>x_1\cdot x_{n+1}=y_n</math>, אזי <math>x_2\cdots x_n\cdot y_n = 1</math>, ולפי הנחת האינדוקציה מתקיים כי <math>x_2+...+x_n+y_n\geq n</math> ושיוויון אם"ם כולם שווים 1.
לכן אם נוכיח <math>x_1+...+x_{n+1}-1\geq x_2+...+x_n+x_1\cdot x_{n+1} </math>, נקבל <math>x_1+...+x_{n+1}-1\geq n</math>.
כעת נוכיח את אי השיוויון הרצוי
:<math>x_1+...+x_{n+1}-1\geq x_2+...+x_n+x_1\cdot x_{n+1} </math>.
זה נכון אם"ם
:<math>x_1+x_{n+1}-1\geq x_1\cdot x_{n+1}</math>
זה שקול לאי השיוויון
:<math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)\leq 0</math>
הוא נכון כיוון ש<math>x_1\leq 1</math> ואילו <math>x_{n+1}\geq 1</math>.
כעת שיוויון <math>x_1+...+x_{n+1}=n+1</math> גורר כי <math>x_1+...+x_{n+1}-1= x_2+...+x_n+x_1\cdot x_{n+1}=n</math> ולכן <math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)= 0</math>.
לכן <math>x_1=x_{n+1}=1</math> וביחד עם הנחת האינדוקציה נקבל כי <math>x_2=...=x_n=1</math>.
===הוכחת אי שיוויון הממוצעים===
==ביבליוגרפיה==
*אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות, בנו ארבל.