שינויים

אי-שוויון הממוצעים

נוספו 2,846 בתים, 15:49, 29 בנובמבר 2018
יצירת דף עם התוכן ""נהוג לומר כי אם פותרים בעיה מסוימת אחת באופן מסוים אז זה תיחכום, ואם פותרים שתיים בעזרת א..."
"נהוג לומר כי אם פותרים בעיה מסוימת אחת באופן מסוים אז זה תיחכום, ואם פותרים שתיים בעזרת אותו רעיון אז זו כבר '''שיטה'''".

(אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות, פרופ' [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%91%D7%A0%D7%95_%D7%90%D7%A8%D7%91%D7%9C בנו ארבל].)
==אי-שוויון הממוצעים==
יהיו מספרים חיוביים <math>0<a_1,...,a_n\in\mathbb{R}</math> אזי:
:<math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}\leq \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\leq \frac{a_1+...+a_n}{n}</math>
כאשר משמאל מופיע הממוצע ההרמוני, במרכז הממוצע ההנדסי (גאומטרי) ומימין הממוצע החשבוני (אלגברי).

שיוויון מתקיים אם ורק אם כל המספרים שווים <math>a_1=...=a_n</math>.


===טענת עזר===
ראשית, נוכיח את הטענה הבאה:
:יהיו <math>x_1,...,x_n</math> ממשיים חיוביים המקיימים <math>x_1\cdots x_n=1</math>.
:אזי <math>x_1+...+x_n\geq n</math>, ושיוויון מתקיים אם ורק אם כולם שווים 1.

עבור n=1 הטענה טריוויאלית.

יהי n עבורו הטענה נכונה, ונוכיח אותה עבור n+1.

יהיו <math>x_1<...<x_{n+1}</math> ממשיים חיוביים המקיימים <math>x_1\cdots x_{n+1}=1</math>.

כיוון ש<math>x_1</math> הינו המספר הקטן ביותר, ואילו <math>x_{n+1}</math> הינו המספר הגדול ביותר נובע כי <math>x_1\leq 1</math> ואילו <math>x_{n+1}\geq 1</math>.


נסמן <math>x_1\cdot x_{n+1}=y_n</math>, אזי <math>x_2\cdots x_n\cdot y_n = 1</math>, ולפי הנחת האינדוקציה מתקיים כי <math>x_2+...+x_n+y_n\geq n</math> ושיוויון אם"ם כולם שווים 1.

לכן אם נוכיח <math>x_1+...+x_{n+1}-1\geq x_2+...+x_n+x_1\cdot x_{n+1} </math>, נקבל <math>x_1+...+x_{n+1}-1\geq n</math>.



כעת נוכיח את אי השיוויון הרצוי
:<math>x_1+...+x_{n+1}-1\geq x_2+...+x_n+x_1\cdot x_{n+1} </math>.
זה נכון אם"ם
:<math>x_1+x_{n+1}-1\geq x_1\cdot x_{n+1}</math>
זה שקול לאי השיוויון
:<math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)\leq 0</math>

הוא נכון כיוון ש<math>x_1\leq 1</math> ואילו <math>x_{n+1}\geq 1</math>.


כעת שיוויון <math>x_1+...+x_{n+1}=n+1</math> גורר כי <math>x_1+...+x_{n+1}-1= x_2+...+x_n+x_1\cdot x_{n+1}=n</math> ולכן <math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)= 0</math>.

לכן <math>x_1=x_{n+1}=1</math> וביחד עם הנחת האינדוקציה נקבל כי <math>x_2=...=x_n=1</math>.


===הוכחת אי שיוויון הממוצעים===
==ביבליוגרפיה==
*אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות, בנו ארבל.