שינויים
/* הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים */
=חומר עזר=
*[[מדיה:16Linear1Orit.pdf|סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016]]
*[[אלגברה לינארית 1/מבחנים|מבחנים ובחנים עם פתרונות מלאים באלגברה לינארית 1]]
=סרטוני ותקציר הרצאות=
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-s2FLlORO26_lglSVhtF-Fy פלייליסט של כל הסרטונים]
==פרק 1 - שדות==
===הגדרה ותכונות של שדה===
====הגדרת המספרים המרוכבים====
*<math>\mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}</math>
*<math>(a,b)+(c,d)=(a+b,c,b+d)</math>
*<math>(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)</math>
*הגדרות עבור <math>z=a+b\cdot i</math>
**<math>\overline{Zz}=a-b\cdot i</math>
**<math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math>
**<math>Re(z)=a</math>
*<math>\alpha(AB) = (\alpha A)B = A (\alpha B)</math>
*<math>(\alpha+\beta)A = \alpha A+\beta A</math> וכן <math>\alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B</math>
*<math>(\alpha \beta)A=\alpha(\beta A)</math>
*דוגמא: לא קיימות מטריצות ממשייות ממשיות <math>A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}</math> כך ש <math>AB-BA=I</math>
**<math>tr(AB-BA)=0</math> אך <math>tr(I)=n\neq 0</math>
*מרחב וקטורי <math>V</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות:
#סגירות: <math>\forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w\in V \and \alpha u\in V</math>
#חילופיות: <math>\forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w=w+u</math>
#אסוציאטיביות (קיבוץ): <math>\forall u,w,v\in V\forall \alpha,\beta\in\mathbb{F}:(u+w)+v=u+(w+v) \and \alpha(\beta v) = (\alpha \beta) v</math>
#נייטרלי לחיבור: <math>\exists 0_V\in V\forall v\in V:0_V+v=v</math>
<videoflash>OLYp1kVAPrA</videoflash>
===תתי מרחבים===
<videoflash>UR9LnbO4QGE</videoflash>
====העשרה====
*לכל מרחב וקטורי יש בסיס.
*ניקח שרשרת מקסימלית של קבוצות בת"ל M.
*נגדיר את האיחוד הכללי של M להיות B.
*B בת"ל, כי אם יש בה וקטורים תלויים, הם הגיעו מאחד הקבוצות (בשרשרת כל מספר סופי של קבוצות מוכלות באחת מהן)
*B פורשת, אחרת היה ניתן להגדיל אותה באמצעות וקטור שאינו נפרש על ידה, היינו מקבלים קבוצה בת"ל חדשה שניתן להוסיף לשרשרת המקסימלית, בסתירה.
<videoflash>qzUDzq2pB1Q</videoflash>
====משפט השלישי חינם====
<videoflash>WWcHqqshzlo</videoflash>
*על מנת למצוא בסיס לחיתוך בין תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה אלגברית והחיתוך הוא אוסף הפתרונות של המשוואות משתי המערכות.
*על מנת למצוא בסיס לסכום תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה פרמטרית והסכום נפרש ע"י איחוד הקבוצות הפורשות.
<videoflash>W3jcV4O-FLc</videoflash>
*ניתן להשלים כל קבוצה בת"ל לבסיס.
*לוקחים את הקבוצה הבת"ל, מוסיפים לה בסיס כלשהו, מדרגים בעמודות ומוחקים את הוקטורים המיותרים.
<videoflash>XKutm8q2elw</videoflash>
====תרגול====
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|תרגול בנושא מרחבי המטריצה]]
===דרגה של מטריצה===
*בכל צורה מדורגת של A, האיברים הפותחים נמצאים באותן העמודות.
<videoflash>pMNQF8yucGs</videoflash>
*כל הגדלים הבאים שווים:
**דרגה של מטריצה
**מימד מרחב העמודות
**מימד מרחב השורות
**מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת
**מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית
*כמו כן, מימד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים.
*ביחד מקבלים את משפט הדרגה (שנוכיח במדויק בהמשך): דרגת המטריצה ועוד מימד מרחב האפס שווה לכמות עמודות המטריצה (מספר המשתנים).
====משפט הדרגה להעתקות לינאריות ולמטריצות====
*תהי העתקה לינארית <math>T:V\to W</math> ויהי <math>\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס לV.
*אזי <math>Im T=span\{Tv_1,...,Tv_n\}</math>
<videoflash>jT-LlnbGFmM</videoflash>
*תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית אזי <math>\dim \ker T +\dim Im T = \dim V</math>
<videoflash>iJWnxV8jZ3A</videoflash>
*תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית בין מרחבים וקטוריים נוצרים סופית.
**אם T חח"ע אז <math>\dim V\leq \dim W</math>
**אם T על אזי <math>\dim V \geq \dim W</math>
**אם <math>\dim V = \dim W</math> אזי T חח"ע אם"ם T על.
*העתקה לינארית נקראת גם '''הומומורפיזם'''. העתקה לינארית הפיכה נקראת '''איזומורפיזם'''.
*מרחבים וקטוריים נקראים '''איזומורפייים''' זה לזה, אם קיים איזומורפיזם בינהם (זהו יחס שקילות).
*מרחבים וקטוריים נוצרים סופית איזומורפיים זה לזה, אם ורק אם המימדים שלהם שווים.
<videoflash>Y-NJvNQWFzM</videoflash>
====תרגול====
===יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה===
*יהי V מ"ו ויהי <math>\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס סדור לV.
*אזי לכל <math>x\in V</math> '''קיימת''' הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של איברי הבסיס:
**<math>x=a_1v_1+...+a_nv_n</math>
<videoflash>qzvrMPhp3eY</videoflash>
*יהיו V,W מ"ו מעל אותו שדה, ויהי <math>\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס סדור לV.
*תהיינה סדרת וקטורים <math>w_1,...,w_n\in W</math> לאו דווקא שונים.
*אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\to W</math> המקיימת:
**לכל i מתקיים כי <math>Tv_i=w_i</math>
<videoflash>NvTFxVhaenY</videoflash>
===מטריצה מייצגת העתקה===
<videoflash>IOYMxNgkQoY</videoflash>
====קואורדינטות====
*יהי V מ"ו ויהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס סדור לV.
*לכל <math>v\in V</math> נגדיר את '''וקטור הקואורדינטות לפי B''' להיות הסקלים מההצגה היחידה:
**<math>[v]_B=\begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n\end{pmatrix}</math> אם ורק אם <math>v=\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n</math>
*מה עושים עם הקואורדינטות? כופלים באיברי הבסיס!
<videoflash>wi8TNSA5Los</videoflash>
*נגדיר פונקציה <math>T:V\to \mathbb{F}^n</math> ע"י <math>Tv=[v]_B</math>, אזי T היא איזומורפיזם. לכן
**<math>[a_1u_1+...+a_ku_k]_B=a_1[u_1]_B+...+a_k[u_k]_B</math>
**הסדרה <math>u_1,...,u_k\in V</math> בת"ל אם ורק אם הסדרה <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל
**<math>v\in span\{u_1,...,u_k\}</math> אם ורק אם <math>[v]_B\in span \{[u_1]_B,...,[u_k]_B\}</math>
<videoflash>VSpBzsMVgMw</videoflash>
====משפט קיום ויחידות====
*יהיו <math>V,W</math> מ"ו מעל אותו שדה <math>\mathbb{F}</math>.
*נניח V ממימד n וB בסיס סדור שלו.
*נניח W ממימד m וC בסיס סדור שלו.
*תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית.
*אזי:
**'''קיימת''' מטריצה '''יחידה''' <math>[T]_C^B\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> המקיימת:
**לכל <math>v\in V</math> מתקיים כי <math>[T]_C^B[v]_B=[Tv]_C</math>
*על מנת למצוא את המטריצה המייצגת:**נפעיל את ההעתקה על איברי הבסיס של התחום.**נמצא את הקואורדינטות של תמונות איברי בסיס התחום לפי בסיס הטווח.**נשים את וקטורי הקואורדינטות שמצאנו בעמודות ונקבל את המטריצה המייצגת. *<math>[T]_C^B=\begin{pmatrix}| & & | \\ \left[T v_1 \right]_C & \cdots & \left[ T v_n \right]_C \\ | & & | \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^{m\times n}</math> <videoflash>iglkE9qqy84</videoflash> ===מטריצת סכום והרכבה=המטריצה המייצגת את ההעתקה ההופכית==== *יהיו <math>V,W</math> מ"ו ממימד סופי מעל השדה <math>\mathbb{F}</math> עם בסיסים <math>B,C</math> בהתאמה.*תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית, ויהי סקלר <math>\alpha\in\mathbb{F}</math>*אזי**<math>[T+S]^B_C=[T]^B_C+[S]^B_C</math>**<math>[\alpha T]^B_C=\alpha[T]^B_C</math>**<math>[S\circ T]_D^B=[S]^C_D[T]_C^B</math>**ההעתקה T הפיכה אם ורק אם המטריצה המייצגת <math>[T]^B_C</math> הפיכה***אם ההעתקה הפיכה, מתקיים כי <math>[T^{-1}]^C_B = \left([T]^B_C\right)^{-1}</math> <videoflash>EYU0bMBYEJM</videoflash>
====מטריצות מעבר בין בסיסים====
*<math>[I]_{C_2}^{C_1}[T]_{C_1}^{B_1}[I]_{B_1}^{B_2}=[T]_{C_2}^{B_2}</math>
*<math>\left([I]_C^B\right)^{-1}=[I]_B^C</math>
<videoflash>FIoJr-dRk9Y</videoflash>
===שלוש צורות הצגת ההעתקה===
*ניתן להציג העתקה לינארית בשלוש דרכים:
**נוסחא מפורשת
**לפי בסיס
**בעזרת מטריצה מייצגת
<videoflash>ouEdwylqPiQ</videoflash>
=====תרגול=====
===תמורות===
*לכל תמורה (פונקציה) <math>f\in S_n</math> נגדיר את סימן התמורה <math>sign(f)===כפליות הדטרמיננטה===\Pi_{i<j}\frac{f(j)-f(i)}{j-i}</math>*תמורה נקראת חיובית או זוגית אם סימנה שווה 1, ושלילית או אי זוגית אם סימנה שווה מינוס 1.
*כפליות הסימן - לכל שתי תמורות מתקיים כי <math>sign(f\circ g)=sign(f)\cdot sign(g)</math> *עבור תמורת הזהות <math>I\in S_n</math> מתקיים כי<math>sign(I)=1</math> <videoflash>Lmk0izbQR08</videoflash> *חילוף הוא תמורה <math>(i\ j)\in S_n</math> המחליפה בין האיברים <math>i,j</math> ושולחת את שאר האיברים לעצמם. *חילוף הוא תמורה שלילית (אי זוגית). *מחזור הוא תמורה <math>(p_1\ p_2\ \cdots\ p_k)=כלל קרמר(p_1\ p_2)\circ(p_2\ p_3)\circ \cdots \circ(p_{k-1}\ p_k)</math> וסימנו הוא <math>(-1)^{k-1}</math>*המחזור שולח כל איבר <math>p_{i-1}</math> ל<math>p_i</math>, את <math>p_k</math> ל<math>p_1</math> ואת שאר האיברים לעצמם. *כל תמורה ניתן להציג כהרכבה של מחזורים (זרים) וכך ניתן בקלות לחשב את סימנה. <videoflash>oXntZnnoHfM</videoflash> ===הגדרת הדטרמיננטה ותכונות===*עבור מטריצה ריבועית <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> נגדיר את הדטרמיננטה:**<math>det(A)=|A|=\sum_{f\in S_n}sign(f)\Pi_{i=1}^n[A]_{i,f(i)}</math> <videoflash>iS2k9gdW51A</videoflash> *תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ויהיו <math>1\leq i\neq j\leq n</math> כך ש <math>R_i(A)=R_j(A)</math> אזי <math>det(A)=0</math>*כלומר הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית עם שתי שורות זהות היא אפס. <videoflash>OJG5zEfaJRE</videoflash> *תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ותהי <math>B</math> המתקבלת מהפעלת פעולת דירוג על <math>A</math> אזי:**אם פעולת הדירוג היא <math>R_i+a\cdot R_j</math> עבור <math>i\neq j</math> אזי <math>|B|=|A|</math>**אם פעולת הדירוג היא <math>a\cdot R_i</math> אזי <math>|B|=a\cdot |A|</math>**אם פעולת הדירוג היא <math>R_i \leftrightarrow R_j</math> עבור <math>i\neq j</math> אזי <math>|B|=-|A|</math> <videoflash>QpfCfN5K8VY</videoflash> ===חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות=== *עבור מטריצה משולשית <math>A</math> מתקיים כי הדטרמיננטה היא מכפלת איברי האלכסון. *מטריצה ריבועית היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס. *לכל שתי מטריצות ריבועיות מתקיים כי <math>|AB|=|A|\cdot |B|</math> <videoflash>kaM3ugX7izs</videoflash> ===דטרמיננטת המשוחלפת=== *<math>|A^t|=|A|</math> *פעולות דירוג עמודות משפיעות על הדטרמיננטה בדיוק כמו פעולות דירוג שורות <videoflash>i6tF0z_cXN8</videoflash> ===נוסחת לפלס - חישוב הדטרמיננטה לפי שורה, ופיתוח הדטרמיננטה לפי עמודה=== *<math>A_{ij}</math> היא המטריצה המתקבלת מ<math>A</math> על ידי מחיקת השורה הi והעמודה הj שלה.*הדטרמיננטה <math>|A_{ij}|</math> נקראית '''מינור'''. *לכל i מתקיים כי <math>det(A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|</math>*לכל j מתקיים כי <math>det(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|</math> <videoflash>Yb1rS4lNyWk</videoflash>
===מטריצה נלווית===
*תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> נגדיר את המטריצה הנלווית <math>adj(A)\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ע"י:
**<math>[adj(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}|A_{ji}|</math>
*מתקיים כי <math>A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A = |A|\cdot I</math>
*אם A הפיכה מתקיים כי <math>A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)</math>
*מתקיים כי <math>|adj(A)|=|A|^{n-1}</math>
<videoflash>yAnz13JHpK8</videoflash>
===כלל קרמר===
*תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> '''הפיכה''' ויהי <math>b\in\mathbb{F}^n</math> וקטור קבועים.
*אזי הפתרון היחיד <math>\vec{x}=(x_1,...,x_n)</math> למערכת המשוואות <math>A\vec{x}=b</math> מקיים כי:
*לכל i ערך המשתנה נתון ע"י <math>x_i =\frac{|A_i|}{|A|}</math>
*כאשר <math>A_i</math> היא המטריצה המתקבלת מ<math>A</math> על ידי החלפת העמודה ה<math>i</math> בוקטור הקבועים <math>b</math>
*במקרה בו יש לנו מטריצה עם שימוש נרחב בפרמטרים, קשה לדרג אותה אך קל לחשב דטרמיננטה.
*במקרים אלה ייתכן ויהיה רצוי למצוא את ההופכית בעזרת הנלווית, ולפתור מערכת משוואות באמצעות כלל קרמר.
<videoflash>1Avy8_3DzdU</videoflash>
===תרגול===
