אלגברה לינארית 1/הוכחות - דרגת שורות שווה דרגת עמודות

הוכחה שדרגת העמודות שווה לדרגת השורות

נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה $A$ היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות $A$).

ודרגת השורות של מטריצה $A$ היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות $A$).

הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:

תהי $A \in \mathbb{F}^{m\times n}$ מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא $k$.

כלומר $dim{C(A)}=k$.

ההוכחה מחולקת לכמה שלבים.

שלב א': למצוא מטריצות $D,R$ כך שמספר העמודות ב $D$ ומספר השורות ב $R$ הם $k$. ומתקיים $A=DR$.

יהיה $B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m$ בסיס עבור $C(A)$.

נסמן ב $D$ את המטריצה שעמודותיה הם איברי $B$.

כלומר

$D=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix}\in \mathbb{F}^{m\times k}$

נשים לב שבגלל ש $B$ בסיס ל $C(A)$ הוא פורש כל עמודה של $A$.

כלומר לכל עמודה $C_i(A)$ מתקיים ש $C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\}$.

נסמן $[C_i(A)]_B=\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}$

כלומר $C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{k,i}b_k$

כלומר $C_i(A)=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} = D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}$

נגדיר מטריצה $R \in \mathbb{F}^{k \times n}$ לפי $R_{i,j}=\alpha_{i,j}$.

נשים לב ש הכפל $DR$ מוגדר היות ומספר העמודות ב $D$ ומספר השורות ב $R$ הם $k$.

נקבל ש$C_i(DR)=DC_i(R)=D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}=C_i(A)$

כלומר $DR=A$.

סוף שלב א'.

שלב ב': לראות ש $A=DR$ אומר שדרגת השורות של $A$ קטנה מדרגת השורות של $R$ ולהסיק מסקנות.

לפי כפל שורה שורה $R_i(A)=R_i(D)R=D_{i,1}R_1(R)+D_{i,2}R_2(R)+\ldots + D_{i,k}R_k(R)$

כלומר

$R_i(A) \in span\{R_1(R),R_2(R), \ldots , R_k(R)\}$

לכן $R(A) \subseteq R(R)$

ולכן $dimR(A) \leq dimR(R) \leq k = dimC(A)$

(מרחב השורות של המטריצה $R$ לא יכול להיות יותר מ $k$ כי יש ב $R$ רק $k$ שורות.)

זה מוכיח שלכל מטריצה $A$ מתקיים ש $dimR(A) \leq dimC(A)$.

סוף שלב ב'

שלב ג': סיום.

נשים לב ש $dimC(A) = dim R(A^t) \leq dimC(A^t) = dimR(A)$

בסה"כ קיבלנו $dimC(A) \leq dimR(A)$ וגם $dimR(A) \leq dimC(A)$ ולכן

$dimR(A)=dimC(A)$ מש"ל.