הבדלים בין גרסאות בדף "אלגברה לינארית 1/מבחנים/פתרון מבחן דמה תשעא"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "=שאלה 1= משפט ההגדרה =שאלה 2= התרגיל בסוף [[88-112 לינארית 1 תיכוניס...") |
(←שאלה 2) |
||
| שורה 3: | שורה 3: | ||
=שאלה 2= | =שאלה 2= | ||
התרגיל בסוף [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|מערך תרגול 7]] | התרגיל בסוף [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|מערך תרגול 7]] | ||
| + | =שאלה 3= | ||
| + | ==סעיף א== | ||
| + | נניח כי v ניתן להצגה בצורה הנ"ל, וכך נחשב את w1,w2. לאחר שנחשב אותם, נוכיח שהם אכן מקיימים את התכונות הדרושות. | ||
| + | |||
| + | <math>v=w_1+w_2</math>, נפעיל את T על שני האגפים לקבל | ||
| + | |||
| + | :<math>Tv=Tw_1+Tw_2=w_1-w_2</math> | ||
| + | |||
| + | אם כן קיבלנו 2 משוואות בשני נעלמים, ואנו מחלצים מתוכן: | ||
| + | |||
| + | :<math>w_1=\frac{v+tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-tv}{2}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | אם כן, לכל <math>v\in V</math> נגדיר <math>w_1=\frac{v+tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-tv}{2}</math>. קל לוודא שאכן מתקיים | ||
| + | |||
| + | :<math>v=w_1+w_2,Tw_1=w_1,Tw_2=-w_2</math> | ||
| + | |||
| + | ==סעיף ב== | ||
| + | נגדיר <math>V_1=\{w|Tw=w\},V_2=\{w|Tw=-w\}</math>. נובע בקלות מסעיף א כי <math>v_1+v_2=V</math>. אם נוכיח כי החיתוך בינהם הוא אפס, נקבל בקלות ממשפט המימדים כי <math>v_1\oplus v_2=V</math>. אז איחוד הבסיסים בינהם יהווה בסיס העונה על דרישות התרגיל. | ||
| + | |||
| + | אבל אם וקטור w נמצא באיחוד הוא מקיים w=-w ולכן w=0. משל. | ||
גרסה מ־00:27, 18 בספטמבר 2011
תוכן עניינים
שאלה 1
שאלה 2
התרגיל בסוף מערך תרגול 7
שאלה 3
סעיף א
נניח כי v ניתן להצגה בצורה הנ"ל, וכך נחשב את w1,w2. לאחר שנחשב אותם, נוכיח שהם אכן מקיימים את התכונות הדרושות.
, נפעיל את T על שני האגפים לקבל
אם כן קיבלנו 2 משוואות בשני נעלמים, ואנו מחלצים מתוכן:
אם כן, לכל 
נגדיר 
. קל לוודא שאכן מתקיים
סעיף ב
נגדיר 
. נובע בקלות מסעיף א כי 
. אם נוכיח כי החיתוך בינהם הוא אפס, נקבל בקלות ממשפט המימדים כי 
. אז איחוד הבסיסים בינהם יהווה בסיס העונה על דרישות התרגיל.
אבל אם וקטור w נמצא באיחוד הוא מקיים w=-w ולכן w=0. משל.
