הבדלים בין גרסאות בדף "אלגברה לינארית 1/מבחנים/פתרון מבחן דמה תשעא"
(←שאלה 4) |
(←סעיף ג) |
||
| שורה 33: | שורה 33: | ||
נניח כי <math>AA^t=0</math>. נובע בקלות מהתרגיל שפתרנו ב[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/2#תרגיל 5.11|מערך תרגול 2]] כי A=0. כעת, נניח כי <math>BAA^t=0</math> נכפול במשוחלפת של B ונקבל <math>0=BAA^tB^t=BA(BA)^t</math> ואז שוב BA=0 | נניח כי <math>AA^t=0</math>. נובע בקלות מהתרגיל שפתרנו ב[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/2#תרגיל 5.11|מערך תרגול 2]] כי A=0. כעת, נניח כי <math>BAA^t=0</math> נכפול במשוחלפת של B ונקבל <math>0=BAA^tB^t=BA(BA)^t</math> ואז שוב BA=0 | ||
==סעיף ג== | ==סעיף ג== | ||
| + | הוכחה: | ||
| + | |||
| + | נובע ממשפט המימדים כי <math>dimV_1+dimV_2\geq 2n+1</math> לכן בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח כי <math>dimV_1\geq n+1</math>. באופן דומה <math>dimV_1\geq n+1</math> ומכיוון ש <math>V_1+U_1\subseteq V</math> מתקיים לפי משפט המימדים כי <math>dim (V_1\cap U_1)>0</math>. | ||
| + | |||
| + | מכיוון שהסכום מכיל את כל החיתוכים האפשריים, זוג אחד מבינהם חייב להיות חיתוך לא אפס, ולכן הסכום אינו אפס. | ||
גרסה מ־00:36, 18 בספטמבר 2011
תוכן עניינים
שאלה 1
שאלה 2
התרגיל בסוף מערך תרגול 7
שאלה 3
סעיף א
נניח כי v ניתן להצגה בצורה הנ"ל, וכך נחשב את w1,w2. לאחר שנחשב אותם, נוכיח שהם אכן מקיימים את התכונות הדרושות.
, נפעיל את T על שני האגפים לקבל
אם כן קיבלנו 2 משוואות בשני נעלמים, ואנו מחלצים מתוכן:
אם כן, לכל 
נגדיר 
. קל לוודא שאכן מתקיים
סעיף ב
נגדיר 
. נובע בקלות מסעיף א כי 
. אם נוכיח כי החיתוך בינהם הוא אפס, נקבל בקלות ממשפט המימדים כי 
. אז איחוד הבסיסים בינהם יהווה בסיס העונה על דרישות התרגיל.
אבל אם וקטור w נמצא באיחוד הוא מקיים w=-w ולכן w=0. משל.
שאלה 4
סעיף א
הפרכה:
סעיף ב
נניח כי 
. נובע בקלות מהתרגיל שפתרנו במערך תרגול 2 כי A=0. כעת, נניח כי 
נכפול במשוחלפת של B ונקבל 
ואז שוב BA=0
סעיף ג
הוכחה:
נובע ממשפט המימדים כי 
לכן בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח כי 
. באופן דומה ומכיוון ש 
מתקיים לפי משפט המימדים כי 
.
מכיוון שהסכום מכיל את כל החיתוכים האפשריים, זוג אחד מבינהם חייב להיות חיתוך לא אפס, ולכן הסכום אינו אפס.
