גרסה מ־13:38, 18 בספטמבר 2011

תוכן עניינים

1 שאלה 1
2 שאלה 2
3 שאלה 3
- 3.1 סעיף א
- 3.2 סעיף ב
4 שאלה 4

שאלה 1

משפט ההגדרה

שאלה 2

התרגיל בסוף מערך תרגול 7

שאלה 3

סעיף א

נניח כי v ניתן להצגה בצורה הנ"ל, וכך נחשב את w1,w2. לאחר שנחשב אותם, נוכיח שהם אכן מקיימים את התכונות הדרושות.

$v=w_1+w_2$ , נפעיל את T על שני האגפים לקבל

Tv=Tw_1+Tw_2=w_1-w_2

אם כן קיבלנו 2 משוואות בשני נעלמים, ואנו מחלצים מתוכן:

w_1=\frac{v+Tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-Tv}{2}

אם כן, לכל $v\in V$ נגדיר $w_1=\frac{v+Tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-Tv}{2}$ . קל לוודא שאכן מתקיים

v=w_1+w_2,Tw_1=w_1,Tw_2=-w_2

סעיף ב

נגדיר $V_1=\{w|Tw=w\},V_2=\{w|Tw=-w\}$ . נובע בקלות מסעיף א כי $v_1+v_2=V$ . אם נוכיח כי החיתוך בינהם הוא אפס, נקבל בקלות ממשפט המימדים כי $v_1\oplus v_2=V$ . אז איחוד הבסיסים בינהם יהווה בסיס העונה על דרישות התרגיל.

אבל אם וקטור w נמצא באיחוד הוא מקיים w=-w ולכן w=0. משל.

שאלה 4

סעיף א

הפרכה:

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}

סעיף ב

נניח כי $AA^t=0$ . נובע בקלות מהתרגיל שפתרנו במערך תרגול 2 כי A=0. כעת, נניח כי $BAA^t=0$ נכפול במשוחלפת של B ונקבל $0=BAA^tB^t=BA(BA)^t$ ואז שוב BA=0

סעיף ג

הוכחה:

נובע ממשפט המימדים כי $dimV_1+dimV_2\geq 2n+1$ לכן בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח כי $dimV_1\geq n+1$ . באופן דומה $dimV_1\geq n+1$ ומכיוון ש $V_1+U_1\subseteq V$ מתקיים לפי משפט המימדים כי $dim (V_1\cap U_1)>0$ .

מכיוון שהסכום מכיל את כל החיתוכים האפשריים, זוג אחד מבינהם חייב להיות חיתוך לא אפס, ולכן הסכום אינו אפס.

@@ שורה 13: / שורה 13: @@
 אם כן קיבלנו 2 משוואות בשני נעלמים, ואנו מחלצים מתוכן:
-:<math>w_1=\frac{v+tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-tv}{2}</math>
+:<math>w_1=\frac{v+Tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-Tv}{2}</math>
-אם כן, לכל <math>v\in V</math> נגדיר <math>w_1=\frac{v+tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-tv}{2}</math>. קל לוודא שאכן מתקיים
+אם כן, לכל <math>v\in V</math> נגדיר <math>w_1=\frac{v+Tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-Tv}{2}</math>. קל לוודא שאכן מתקיים
 :<math>v=w_1+w_2,Tw_1=w_1,Tw_2=-w_2</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "אלגברה לינארית 1/מבחנים/פתרון מבחן דמה תשעא"

גרסה מ־13:38, 18 בספטמבר 2011

תוכן עניינים

שאלה 1

שאלה 2

שאלה 3

סעיף א

סעיף ב

שאלה 4

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים