<math>7^3</math> פתרונות.
===שאלה 2===
<math>A</math> היא מטריצה הפיכה, ולכן הצורה המדורגת קנונית שלה היא <math>I</math>.
אם נסמן ב <math>E_1, \ldots ,E_5</math> את המטריצות האלמנטריות המתאימות לפעולות הנתונות. אז בעצם
<math>E_5E_4E_3E_2E_1A=I</math>
ולכן <math>A=(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}I</math>
כלומר, אם נבצע את הפעולות ההפוכות בסדר הפוך על <math>I</math>, נגיע ל <math>A</math>.
הפעולות ההפוכות בסדר הפוך הן:
<math>R_1 \leftrightarrow R_5</math>
<math>R_1 = R_1+2R_2</math>
<math>R_1 \leftrightarrow R_3</math>
<math>R_1 = R_1 -R_2</math>
<math>R_1 = \frac{1}{2} R_1</math>
ולכן קל לחשב ש
<math>A=\begin{bmatrix}
0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}</math>
היות ו
<math>A=(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}I</math>
נקבל ש
<math>A^-1=E_5E_4E_3E_2E_1I</math>
כלומר צריך לבצע את הפעולות האלה על <math>I</math> כדי להגיע ל <math>A^{-1}</math>
לכן קל לחשב ש
<math>A^{-1}=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -2 & 0 \\
\end{bmatrix}</math>
היות ו <math>A^{-1}=E_5E_4E_3E_2E_1I</math> נקבל ש
<math>(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}A^-1=I</math>
כלומר הפעולות שצריך לעשות כדי לדרג את <math>A^{-1}</math> הן הפעולות שהפוכות לפעולת הכתובות בסדר הפוך כלומר:
<math>R_1 \leftrightarrow R_5</math>
<math>R_1 = R_1+2R_2</math>
<math>R_1 \leftrightarrow R_3</math>
<math>R_1 = R_1 -R_2</math>
<math>R_1 = \frac{1}{2} R_1</math>
(זאת כמובן לא הדרך היחידה להביא את <math>A^{-1}</math> לצורה מדורגת קנונית, אבל זאת הדרך הכי פשוטה.)
===שאלה 3===
====סעיף א====
הוכחה: יהי <math>\alpha_1 (v_1+v_2) + \alpha_2(v_2+v_3) +\alpha_3 (v_1+v_3) = 0</math> צירוף לינארי מתאפס כלשהוא של הוקטורים שבשאלה.
צריך להוכיח ש <math>\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0</math>.
קל לראות שהצירוף הלינארי שווה ל
<math>(\alpha_1+\alpha_3) v_1 +(\alpha_1+\alpha_2)v_2+(\alpha_2+\alpha_3)v_3 = 0</math>
היות ו <math>v_1,v_2,v_3</math> בת"ל. נקבל ש
<math>\alpha_1+\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2=\alpha_2+\alpha_3=0</math>
זה נותן לנו מערכת משוואות פשוטה.
קל להסיק ממנה ש
<math>\alpha_1=-\alpha_2,\quad \alpha_1=-\alpha_3</math>
אבל בגלל ש <math>\alpha_2+\alpha_3=0</math>
נקבל ש <math>-2\alpha_1=0</math>
בגלל שהמאפיין שונה מ <math>2</math> אפשר לחלק ב <math>2</math> ולקבל
<math>-\alpha_1=0</math> כלומר <math>\alpha_1=0</math>
ומכאן ברור גם <math>\alpha_2=\alpha_3=0</math>.
====סעיף ב====
לא נכון. נבחר <math>V=\mathbb{R}^2</math> ו <math>U=span\{(1,0)\}</math> ו <math>W=span\{(0,1)\}</math>
ברור ש <math>(1,0),(0,1)\in U\cup W</math>
אם האיחוד היה מרחב וקטורי הוא היה סגור לחיבור ולכן גם <math>(1,1)\in U\cup W</math>
אבל זה לא נכון. סתירה.
====סעיף ג====
לא רק שהטענה לא נכונה. אלא שלכל מערכת לא הומוגנית זה לא נכון.
דוגמא נגדית פשוטה היא המערכת <math>x+y=1</math> מעל <math>\mathbb{R}</math>.
ניקח פתרונות <math>v_1=\begin{bmatrix} 1 \\0 \end{bmatrix}</math>
<math>v_2=\begin{bmatrix} 0 \\1 \end{bmatrix}</math>
סכומם
<math>v_1+v_2=\begin{bmatrix} 1 \\1 \end{bmatrix}</math>
הוא לא פתרון.