אלגברה לינארית 2 - ארז שיינר

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חומרי עזר


סרטונים ותקצירי הרצאות

הפלייליסט של כל הסרטונים

פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה

מכפלה סקלרית

v\cdot w = |v||u|\cos(\theta)

מכפלה פנימית

יהי V מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{R} או \mathbb{F}=\mathbb{C}

מכפלה פנימית היא מכפלה \langle \cdot, \cdot\rangle:V\times V\to \mathbb{F} המקיימת את ארבע התכונות הבאות:

לכל x,y\in V ולכל c\in\mathbb{F} מתקיים כי:

  • אדטיביות \langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle
  • כפל בסקלר \langle cx,y\rangle = c\langle x,y\rangle
  • הרמיטיות \langle y,x\rangle = \overline{\langle x,y\rangle}
  • אי שליליות \langle x,x\rangle \geq 0 וכן \langle x,x\rangle =0 אם ורק אם x=0



\langle av_1 +bv_2 ,cw_1+dw_2\rangle = a\overline{c}\langle v_1,w_1\rangle + a\overline{d}\langle v_1,w_2\rangle+
b\overline{c}\langle v_2,w_1\rangle+b\overline{d}\langle v_2,w_2\rangle


נורמה

יהי V מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{R} או \mathbb{F}=\mathbb{C}

נורמה היא פונקציה ||\cdot||:V\to\mathbb{R} המקיימת את שלושת התכונות הבאות.

לכל x,y\in V ולכל c\in\mathbb{F} מתקיים כי:

  • אי שליליות ||x|\geq 0 וכן ||x||=0 אם ורק אם x=0
  • כפל בסקלר ||cx|| = |c|\cdot ||x||
  • אי שיוויון המשולש ||x+y||\leq ||x||+||y||



נורמה מושרית

יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל \mathbb{F}=\mathbb{R} או \mathbb{F}=\mathbb{C}.

הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית היא הפונקציה ||\cdot||:V\to\mathbb{R} המוגדרת ע"י הנוסחא:

||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle}

שימו לב: הפונקציה מוגדרת היטב -

מתכונת האי-שליליות של המכפלה הפנימית ידוע כי 0\leq \langle v,v\rangle\in\mathbb{R} ולכן מותר להוציא שורש.


הנורמה המושרית היא אכן נורמה

נוכיח כי הנורמה המושרית היא אכן נורמה.

תכונת האי-שליליות של הנורמה מתקבלת בחינם, כי ||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} \geq 0 ממש לפי הגדרת פונקצית השורש. כמו כן, נקבל כי ||v||=0 אם ורק אם \langle v,v\rangle=0 אם ורק אם, לפי תכונת המכפלה הפנימית, v=0_V


כעת, יהי סקלר c\in\mathbb{C} אזי

||cv||=\sqrt{\langle cv,cv\rangle}=\sqrt{c\overline{c}\langle v,v\rangle}=\sqrt{|c|^2\langle v,v\rangle}=|c|\cdot \langle v,v\rangle=|c|\cdot ||v||


לבסוף, עלינו להוכיח את אי שיוויון המשולש, אך זה ידרוש קצת הכנה מקדימה.

צריך להוכיח כי:

||v+w||\leq ||v||+||w||

כיוון ששני הצדדים אי שליליים, אפשר להעלות בריבוע ולקבל אי שיוויון שקול:

||v+w||^2 \leq ||v||^2 +2||v||\cdot ||w||+||w||^2

נפתח את צד שמאל לפי ההגדרה של הנורמה:

||v+w||^2=\langle v+w,v+w \rangle = \langle v,v \rangle + \langle v, w\rangle + \langle w, v\rangle + \langle w,w \rangle =
=||v||^2 +\langle v, w\rangle + \overline{\langle v, w\rangle}+ ||w||^2 = ||v||^2 +2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +||w||^2

כעת נחזור לאי השיוויון שצריך להוכיח, נצמצם את ||v||^2+||w||^2 משני האגפים ונחלק ב2, ונקבל את אי השיוויון השקול הבא:

Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w||


נעצור על מנת להוכיח אי שיוויון עזר:


מתכונת האי שליליות, אנו יודעים כי

\langle v-w, v-w\rangle\geq 0

ובעזרת פיתוח דומה לעיל נקבל כי

0\leq \langle v-w,v-w \rangle = ||v||^2 -2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +||w||^2

מכאן נובע כי

Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \frac{||v||^2+||w||^2}{2}


כעת, נחזור להוכחת אי שיוויון המשולש. צ"ל כי Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w||

אם v=0_V או w=0_V התוצאה מיידית כי שני הצדדים שווים אפס.

אחרת, נציב את הוקטורים המנורמלים \frac{v}{||v||} , \frac{w}{||w||} באי שיוויון העזר ונקבל:

Re\left(\langle \frac{v}{||v||}, \frac{w}{||w||}\rangle\right)\leq \frac{||\frac{v}{||v||}||^2+||\frac{w}{||w||}||^2}{2}

ולכן

Re\left(\frac{1}{||v||\cdot ||w||} \langle v, w\rangle\right)\leq \frac{1+1}{2}
\frac{1}{||v||\cdot ||w||} \cdot Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \frac{1+1}{2}

וסה"כ, קיבלנו את מה שצריך:

Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w||


אי שיוויון קושי-שוורץ

בהנתן מרחב מכפלה פנימית V יחד עם הנורמה המושרית, לכל v,w\in V מתקיים כי

|\langle v,w\rangle | \leq ||v||\cdot ||w||


הוכחה

נציב את הוקטורים v, \langle v,w \rangle w באי השיוויון שקיבלנו בהוכחת אי שיוויון המשולש ונקבל:

Re\left(\langle v, \langle v,w \rangle w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||\langle v,w \rangle w||

ולכן

Re\left(\overline{\langle v,w \rangle}\langle v,  w\rangle\right)\leq ||v||\cdot |\langle v,w \rangle|\cdot ||w||

כלומר

|\langle v,w \rangle|^2 \leq |\langle v,w \rangle|\cdot ||v||\cdot||w||

כעת אם \langle v,w \rangle=0 אי שיוויון קושי-שוורץ מתקיים באופן מיידי, ואחרת מותר לחלק ב|\langle v,w \rangle| ולקבל את אי שיוויון קושי-שוורץ.

מכפלה פנימית מושרית

  • האם כל נורמה היא נורמה מושרית?
  • האם ייתכן שנורמה תהיה הנורמה המושרית של שתי מכפלות פנימיות שונות?

לתשובות ולהוכחות קראו את הערך מכפלה פנימית מושרית.

פרק 2 - המרחב הניצב

  • משפט הפירוק הניצב
  • בא"נ והיטלים
  • אי שיוויון בסל
  • משפט פיתגורס
  • גרם שמידט

פרק 3 - לכסון, וקטורים עצמיים וערכים עצמיים

פרק 4 - צורת ז'ורדן

פרק 5 - ההעתקה הצמודה, לכסון אוניטרי

פרק 6 - מיון משוואות ממעלה שנייה