שינויים
/* שאלה 2 */
נזכור ש- <math>\varphi(31)=30</math> (אם p ראשוני אז <math>\varphi(p)=p-1</math>) ולכן לפי המשפט שהוכחנו, <math>25^{30}\equiv 1 \operatorname{mod}31</math> ומכאן <math>25^{92}=25^{30}\cdot 25^{30}\cdot 25^{30}\cdot 25^2 \equiv 1\cdot 1\cdot 1\cdot 25^2 \operatorname{mod}31 </math>. קל לחשב ש- <math>25^2\equiv 5 \operatorname{mod}31</math> ולכן קיבלנו את המשוואה: <math>16x\equiv 5 \operatorname{mod}31</math>. עוד נראה ש- <math>2\cdot 16 \equiv 1 \operatorname{mod} 31</math> ולכן <math>2\cdot 16x \equiv 2\cdot 5 \operatorname{mod}31</math> ומכאן ש- <math>x\equiv 10 \operatorname{mod}31</math>
===סעיף ב'===
האם קיים מונומורפיזם <math>U_9 \to S_7</math>?
====אינטואיציה ראשונית לפתרון====
נשים לב ש- <math>|U_9|=\varphi(9)=9\cdot(1-\frac13)=6</math>. לכן, לפי משפט מהתרגול, יש 2 אפשרויות: <math>U_9 \simeq \mathbb{Z}_6</math> או <math>U_9 \simeq D_3</math>. כיוון ש- <math>U_9</math> אבלית ו- <math>D_3</math> לא, נקבל כי <math>U_9</math> ציקלית. לכן, צריך להתקיים שאם יש מונו' מ- <math>U_9</math> ל- <math>S_7</math>, אזי <math>\operatorname{im}f</math> ציקלית והסדר שלה הוא 6 (כיוון שהיא תהיה איזומורפית ל- <math>U_9</math>). לכן, מטרתנו היא למצוא איבר מסדר 6 ב- <math>S_7</math> ולשלוח את אחד מהיוצרים של <math>U_9</math> לאותו איבר וזה יתן לנו את הפתרון.
====פתרון====
נשלח את 2 (קל לראות שהוא אחד מהיוצרים של <math>U_9</math>) לתמורה <math>(1 2)(3 4 5)</math>. זוהי תמורה מסדר 6 ולכן סיימנו.
===סעיך ג'===
הוכיחו: בחבורת מנה <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> הסדר של כל איבר הוא סופי, אבל החבורה אינה נוצרת סופית.
====פתרון====
כל איבר בחבורת המנה הוא מהצורה <math>\frac{m}{n}+\mathbb{Z}</math> ולכן נראה כי <math>n(\frac{m}{n}+\mathbb{Z})=m+\mathbb{Z}=\mathbb{Z}</math> ולכן הסדר של האיבר קטן מ-n, בפרט סופי.
קל לראות ש- <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> איזומורפית לקבוצת הרציונאלים בין 0 ל-1 (לא כולל 1). הוכחנו בתרגול ובבוחן ש-<math>\mathbb{Q}</math> לא נוצרת סופית, נשתמש באותה הוכחה להוכיח שקבוצת הרציונאלים בין 0 ל-1 לא נוצרת סופית
