שינויים
קל לראות ש- <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> איזומורפית לקבוצת הרציונאלים בין 0 ל-1 (לא כולל 1). הוכחנו בתרגול ובבוחן ש-<math>\mathbb{Q}</math> לא נוצרת סופית, נשתמש באותה הוכחה להוכיח שקבוצת הרציונאלים בין 0 ל-1 לא נוצרת סופית
==שאלה 3==
===סעיף א'===
הוכיחו את המשפט: כל חבורת-p היא פתירה. תנו לפחות 4 דוגמאות של חבורות לא איזומורפיות בעלות 27 איברים.
====פתרון====
ההוכחה של המשפט הזה היא מההרצאה.
4 חבורות לא איזו' בעלות 27 איברים: <math>\mathbb{Z}_{27},\mathbb{Z}_9\times\mathbb{Z}_3,\mathbb{Z}_3^3</math> וחבורת הייזנברג מעל <math>\mathbb{Z}_3</math>
===סעיף ב'===
הוכיחו או הפריכו: לכל מספר ראשוני p ולכל <math>n\geq3</math> טבעי קיימת חבורה <u>לא אבלית</u> בעלת <math>p^n</math>
איברים.
====פתרון====
הוכחה: ניקח את <math>H_p \times \mathbb{Z}_{p^{n-3}}</math> כאשר <math>H_p</math> זוהי חבורת הייזנברג מעל <math>\mathbb{Z}_p</math>
===סעיף ג'===
תארו תמונות אפימורפיות של החבורה <math>G:= U_{10}\times \Omega_5</math>. כמה אוטומורפיזמים יש על G?
====פתרון====
קודם כל נשים לב ש- <math>U_{10}\simeq \mathbb{Z}_4</math> וידוע ש- <math>\Omega_5 \simeq \mathbb{Z}_5</math> ומכאן שלפי משפט 8 ברשימת המשפטים שצריך היה לדעת להוכיח, <math>G\simeq \mathbb{Z}_{20}</math>.
ראינו כי קבוצת האוטו' מעל <math>\mathbb{Z}_n</math> הוא <math>\varphi(n)</math> ולכן יש <math>\varphi(20)=20\cdot(1-\frac15)(1-\frac12)=8</math> אוטו' מעל G. (הסבר: כיוון ש-G ציקלית, אחרי שנקבע לאן לשלוח את אחד היוצרים של G, כל הפונקציה תתקבע כיוון שהיא הומומורפיזם. כיוון שזה איזומורפיזם, יוצר חייב להישלח ליוצר ויש <math>\varphi(n)</math> יוצרים, ולכן זה מספר האוטו' מעל <math>\mathbb{Z}_n</math>)
ראינו כי תמונות אפימורפיות הן בעצם איזומורפיות לחבורות מנה של G, ולכן נחפש את כל חבורות המנה של G. לשם כך, קודם כל נמצא את כל תתי החבורות הנורמליות של G. כיוון ש-G ציקלית, בפרט היא אבלית, ולכן כל ת"ח היא תת חבורה נורמלית. כמו כן, לפי משפט, לכל m שמחלק את n קיימת ת"ח (והיא יחידה!) מסדר m ב- <math>\mathbb{Z}_n</math>. לכן כל התח"נ של G הן: <math>\left\{0\right\},10\mathbb{Z}_{20},5\mathbb{Z}_{20},4\mathbb{Z}_{20},2\mathbb{Z}_{20},\mathbb{Z}_{20}</math> ומכאן נחשב ונראה שחבורות המנה איזו' לקבוצות הבאות: <math>\mathbb{Z}_{20},\mathbb{Z}_{10},\mathbb{Z}_5,\mathbb{Z}_4,\mathbb{Z}_2,\left\{0\right\}</math>.
