שינויים
/* פתרון */
המרצים:מיכאל מגרל, רוני ביתן
המתרגלים: תומר באואר, לואי פולב, עופר בוסאני
משך המבחן: שעתיים וחצי
חומרי עזר: רק מחשבון רגיל
כולם מוזמנים לתרום ולכתוב את הפתרון של 5ג
==שאלה 1==
===סעיף א'===
הוכיחו את משפט לגרנז'
====פתרון====
היה בהרצאה
===סעיף ב'===
תהיינה 2 חבורות <math>G_1,G_2</math> כך ש- <math>(|G_1|,|G_2|)=1</math>. כמה הומומורפיזמים שונים <math>G_1\to G_2</math> קיימים?
====פתרון====
יהי f הומומורפיזם מתאים. אזי לפי משפט איזו' 1 מתקיים ש- <math>G_1/\operatorname{ker}f \simeq \operatorname{im}f</math> ולכן <math>\frac{|G_1|}{|\operatorname{ker}f|}=|\operatorname{im}f|</math>. מכאן נובע ש- <math>|\operatorname{im}f|</math> מחלק את <math>|G_1|</math>. אך <math>\operatorname{im}f</math> תת חבורה של <math>G_2</math> ולפי לגרנז', <math>|\operatorname{im}f|</math> מחלק את <math>|G_2|</math>. קיבלנו שב- <math>|\operatorname{im}f|</math> מחלק את <math>|G_1|</math> ואת <math>|G_2|</math>, ומתוך הנתון בהכרח מתקיים <math>|\operatorname{im}f|=1</math>. ידוע ש- <math>e_{G_2} \in \operatorname{im}f</math> ולכן f מקיימת <math>f(g)=e_{G_2}</math> לכל g ב- <math>G_1</math>. מכאן שקיים רק הומומורפיזם יחיד, הטריוויאלי.
===סעיף ג'===
נתונות 6 חבורות מסדר 40. זהו אילו חבורות איזומורפיות זו לזו:
<math>\mathbb{Z}_{40},\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_8,\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_{10},\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_4,\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_5,U_{10}\times\mathbb{Z}_{10}</math>
====פתרון====
נשתמש במשפט 8 מתוך המשפטים שצריך לדעת להוכיח ונגיע למבוקש במהירות. (מי שרוצה יכול להרחיב פה)
קודם כל נוכיח כי <math>{ U }_{ 10 }\cong { Z }_{ 4 }</math>. ואכן, מתקיים לפי אוילר 1 <math>{ U }_{ 10 }=\{ 1,3,7,9\} </math>, נבדוק את הסדר של 3 - <math>{ 3 }^{ 1 }=1;{ 3 }^{ 2 }=9;{ 3 }^{ 3 }=27=7;3^{ 4 }=81=1\quad \Rightarrow \quad O(3)=4</math>. לכן החבורה צילקית, ולכן <math>{ U }_{ 10 }\cong { Z }_{ 4 }</math>.
כעת, לפי המשפט - <math>{ Z }_{ mn }\cong Z_{ m }\bigoplus { Z }_{ n } \leftrightarrow (m,n)=1</math>, נובע כי:
<math>{ Z }_{ 40 }\cong Z_{ 8 }\bigoplus { Z }_{ 5 }</math>
<math>{ Z }_{ 5 }\bigoplus { Z }_{ 2 }\cong { Z }_{ 10 }\quad \rightarrow \quad { U }_{ 10 }\bigoplus { Z }_{ 10 }\cong Z_{ 4 }\bigoplus { Z }_{ 10 }\cong Z_{ 4 }\bigoplus { Z }_{ 5 }\bigoplus { Z }_{ 2 }</math>
ונשארנו עם <math>Z_{ 2 }\bigoplus { Z }_{ 5 }\bigoplus { Z }_{ 2 }\bigoplus { Z }_{ 2 }</math> שלא איזומורפית לאף אחד מן האחרות.
==שאלה 2==
===סעיף א'===
====אינטואיציה ראשונית לפתרון====
נשים לב ש- <math>|U_9|=\varphi(9)=9\cdot(1-\frac13)=6</math>. לכן, לפי משפט מהתרגול, יש 2 אפשרויות: <math>U_9 \simeq \mathbb{Z}_6</math> או <math>U_9 \simeq D_3</math>. כיוון ש- <math>U_9</math> אבלית ו- <math>D_3</math> לא, נקבל כי <math>U_9</math> ציקלית. לכן, צריך להתקיים שאם יש מונו' מ- <math>U_9</math> ל- <math>S_7</math>, אזי <math>\operatorname{im}f</math> ציקלית והסדר שלה הוא 6 (כיוון שהיא ש- f היא חח"ע, התמונה תהיה איזומורפית ל- <math>U_9</math>למקור). לכן, מטרתנו היא למצוא איבר מסדר 6 ב- <math>S_7</math> ולשלוח את אחד מהיוצרים של <math>U_9</math> לאותו איבר וזה יתן לנו את הפתרון.
====פתרון====
ראינו כי תמונות אפימורפיות הן בעצם איזומורפיות לחבורות מנה של G, ולכן נחפש את כל חבורות המנה של G. לשם כך, קודם כל נמצא את כל תתי החבורות הנורמליות של G. כיוון ש-G ציקלית, בפרט היא אבלית, ולכן כל ת"ח היא תת חבורה נורמלית. כמו כן, לפי משפט, לכל m שמחלק את n קיימת ת"ח (והיא יחידה!) מסדר m ב- <math>\mathbb{Z}_n</math>. לכן כל התח"נ של G הן: <math>\left\{0\right\},10\mathbb{Z}_{20},5\mathbb{Z}_{20},4\mathbb{Z}_{20},2\mathbb{Z}_{20},\mathbb{Z}_{20}</math> ומכאן נחשב ונראה שחבורות המנה איזו' לקבוצות הבאות: <math>\mathbb{Z}_{20},\mathbb{Z}_{10},\mathbb{Z}_5,\mathbb{Z}_4,\mathbb{Z}_2,\left\{0\right\}</math>.
==שאלה 4==
===סעיף א'===
האם קיימת חבורה אבלית G כך ש- <math>\operatorname{exp}(G)=4,|G|=32,[G:2G]=4</math>? (הערה: 2G מוגדרת להיות <math>\left\{ g^2 | g \in G \right\}</math>)
====פתרון====
ראה תרגיל בית 5 שאלה 3 (שימוש במשפט הפיצול של חבורות אבליות)
===סעיף ב'===
תהא G חבורה לא אבלית מסדר <math>p^3</math> (p ראשוני). נניח <math>a\notin Z(G)</math> הוכיחו: <math>|Z(G)|=p,|C_a|=p^2,|conj(a)|=p</math>
====פתרון====
ראה תרגול מתאים.
===סעיף ג'===
הראו כי <math>H:= <(1 2 3... n)></math> היא לא תח"נ של <math>S_n</math> לכל <math>n>3</math>
====פתרון====
נניח בשלילה ש-H כן תח"נ. אזי H איחוד של מסלולים זרים (תחת פעולת ההצמדה), בפרט של <math>(1 2 3... n)</math>. ידוע ששתי תמורות צמודות אם ורק אם הן מאותו "טיפוס" בסדר מחזורים שלהן. לכן גודל מחלקת הצמידות של <math>(1 2 3... n)</math> הוא מספר המחזורים מאורך n שזה <math>(n-1)!</math>, אבל <math>(n-1)! > n</math> לכל n>3. כיוון שהסדר של H הוא n (הסדר של היוצר), נקבל ש-H מכילה קבוצה עם עוצמה יותר גדולה משל H עצמה. סתירה.
==שאלה 5==
===סעיף א'===
תהא G חבורה מסדר <math>p^2q</math> עבור p,q ראשוניים. הוכיחו ש-G אינה פשוטה.
====פתרון====
ראה שאלה 5 בתרגיל הבית האחרון.
===סעיף ב'===
הוכיחו שהמרכז של החבורה הסימטרית <math>S_n</math> עבור <math>n\geq 3</math> הוא טריוויאלי.
====פתרון====
ראה תרגול 9
===סעיף ג'===
מצאו את מספר הריבועים השונים (כלומר, עד כדי סיבוב או שיקוף) אשר מתקבלים מריבוע נתון, אם מותר לצבוע קודקודים ב-2 צבעים נתונים.
====פתרון====
נשתמש בלמה של ברנסייד...
(יש להשלים חלק זה)
==שאלת בונוס==
תנו דוגמה של חבורה G בעלת 125 איברים כך שקיימים עבור G בדיוק 25 אוטומורפיזמיים פנימיים (לנמק).
===פתרון===
ראינו בתרגול 8 (וקל מאוד להוכיח לפי משפט איזו' 1) ש- <math>G/Z(G) \simeq Inn(G)</math> וכיוון ש- <math>|Inn(G)|=25</math>, נקבל לפי לגרנז' שצריך להתקיים <math>|Z(G)|=5</math>. לפי שאלה 4ב, אם ניקח חבורה מסדר <math>5^3</math> לא אבלית, סיימנו. ניקח את הייזנברג מעל <math>\mathbb{Z}_5</math>
