שינויים
/* פתרון */
המרצים:מיכאל מגרל, רוני ביתן
המתרגלים: תומר באואר, לואי פולב, עופר בוסאני
משך המבחן: שעתיים וחצי
חומרי עזר: רק מחשבון רגיל
כולם מוזמנים לתרום ולכתוב את הפתרון של 5ג
==שאלה 1==
===סעיף א'===
===סעיף ב'===
תהיינה 2 חבורות <math>G_1,G_2</math> כך ש- <math>(|G_1|,|G_2|)=1</math>. כמה הומומורפיזמים שונים <math>G_1\to G_2</math> קיימים?
====פתרון====
יהי f הומומורפיזם מתאים. אזי לפי משפט איזו' 1 מתקיים ש- <math>G_1/\operatorname{ker}f \simeq \operatorname{im}f</math> ולכן <math>\frac{|G_1|}{|\operatorname{ker}f|}=|\operatorname{im}f|</math>. מכאן נובע ש- <math>|\operatorname{im}f|</math> מחלק את <math>|G_1|</math>. אך <math>\operatorname{im}f</math> תת חבורה של <math>G_2</math> ולפי לגרנז', <math>|\operatorname{im}f|</math> מחלק את <math>|G_2|</math>. קיבלנו שב- <math>|\operatorname{im}f|</math> מחלק את <math>|G_1|</math> ואת <math>|G_2|</math>, ומתוך הנתון בהכרח מתקיים <math>|\operatorname{im}f|=1</math>. ידוע ש- <math>e_{G_2} \in \operatorname{im}f</math> ולכן f מקיימת <math>f(g)=e_{G_2}</math> לכל g ב- <math>G_1</math>. מכאן שקיים רק הומומורפיזם יחיד, הטריוויאלי.
===סעיף ג'===
<math>\mathbb{Z}_{40},\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_8,\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_{10},\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_4,\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_5,U_{10}\times\mathbb{Z}_{10}</math>
====פתרון====
נשתמש במשפט 8 מתוך המשפטים שצריך לדעת להוכיח ונגיע למבוקש במהירות. (מי שרוצה יכול להרחיב פה)
קודם כל נוכיח כי <math>{ U }_{ 10 }\cong { Z }_{ 4 }</math>. ואכן, מתקיים לפי אוילר 1 <math>{ U }_{ 10 }=\{ 1,3,7,9\} </math>, נבדוק את הסדר של 3 - <math>{ 3 }^{ 1 }=1;{ 3 }^{ 2 }=9;{ 3 }^{ 3 }=27=7;3^{ 4 }=81=1\quad \Rightarrow \quad O(3)=4</math>. לכן החבורה צילקית, ולכן <math>{ U }_{ 10 }\cong { Z }_{ 4 }</math>.
כעת, לפי המשפט - <math>{ Z }_{ mn }\cong Z_{ m }\bigoplus { Z }_{ n } \leftrightarrow (m,n)=1</math>, נובע כי:
<math>{ Z }_{ 40 }\cong Z_{ 8 }\bigoplus { Z }_{ 5 }</math>
<math>{ Z }_{ 5 }\bigoplus { Z }_{ 2 }\cong { Z }_{ 10 }\quad \rightarrow \quad { U }_{ 10 }\bigoplus { Z }_{ 10 }\cong Z_{ 4 }\bigoplus { Z }_{ 10 }\cong Z_{ 4 }\bigoplus { Z }_{ 5 }\bigoplus { Z }_{ 2 }</math>
ונשארנו עם <math>Z_{ 2 }\bigoplus { Z }_{ 5 }\bigoplus { Z }_{ 2 }\bigoplus { Z }_{ 2 }</math> שלא איזומורפית לאף אחד מן האחרות.
==שאלה 2==
===סעיף א'===
====אינטואיציה ראשונית לפתרון====
נשים לב ש- <math>|U_9|=\varphi(9)=9\cdot(1-\frac13)=6</math>. לכן, לפי משפט מהתרגול, יש 2 אפשרויות: <math>U_9 \simeq \mathbb{Z}_6</math> או <math>U_9 \simeq D_3</math>. כיוון ש- <math>U_9</math> אבלית ו- <math>D_3</math> לא, נקבל כי <math>U_9</math> ציקלית. לכן, צריך להתקיים שאם יש מונו' מ- <math>U_9</math> ל- <math>S_7</math>, אזי <math>\operatorname{im}f</math> ציקלית והסדר שלה הוא 6 (כיוון שהיא ש- f היא חח"ע, התמונה תהיה איזומורפית ל- <math>U_9</math>למקור). לכן, מטרתנו היא למצוא איבר מסדר 6 ב- <math>S_7</math> ולשלוח את אחד מהיוצרים של <math>U_9</math> לאותו איבר וזה יתן לנו את הפתרון.
====פתרון====
====פתרון====
נניח בשלילה ש-H כן תח"נ. אזי H איחוד של מסלולים זרים (תחת פעולת ההצמדה), בפרט של <math>(1 2 3... n)</math>. ידוע ששתי תמורות צמודות אם ורק אם הן מאותו "טיפוס" בסדר מחזורים שלהן. לכן גודל מחלקת הצמידות של <math>(1 2 3... n)</math> הוא מספר המחזורים מאורך n שזה <math>(n-1)!</math>, אבל <math>(n-1)! > n</math> לכל n>3. כיוון שהסדר של H הוא n (הסדר של היוצר), נקבל ש-H מכילה קבוצה עם עוצמה יותר גדולה משל H עצמה. סתירה.
==שאלה 5==
===סעיף א'===
תהא G חבורה מסדר <math>p^2q</math> עבור p,q ראשוניים. הוכיחו ש-G אינה פשוטה.
====פתרון====
ראה שאלה 5 בתרגיל הבית האחרון.
===סעיף ב'===
הוכיחו שהמרכז של החבורה הסימטרית <math>S_n</math> עבור <math>n\geq 3</math> הוא טריוויאלי.
====פתרון====
ראה תרגול 9
===סעיף ג'===
מצאו את מספר הריבועים השונים (כלומר, עד כדי סיבוב או שיקוף) אשר מתקבלים מריבוע נתון, אם מותר לצבוע קודקודים ב-2 צבעים נתונים.
====פתרון====
נשתמש בלמה של ברנסייד...
(יש להשלים חלק זה)
==שאלת בונוס==
תנו דוגמה של חבורה G בעלת 125 איברים כך שקיימים עבור G בדיוק 25 אוטומורפיזמיים פנימיים (לנמק).
===פתרון===
ראינו בתרגול 8 (וקל מאוד להוכיח לפי משפט איזו' 1) ש- <math>G/Z(G) \simeq Inn(G)</math> וכיוון ש- <math>|Inn(G)|=25</math>, נקבל לפי לגרנז' שצריך להתקיים <math>|Z(G)|=5</math>. לפי שאלה 4ב, אם ניקח חבורה מסדר <math>5^3</math> לא אבלית, סיימנו. ניקח את הייזנברג מעל <math>\mathbb{Z}_5</math>
