שינויים
/* פתרון */
====פתרון====
נשתמש במשפט 8 מתוך המשפטים שצריך לדעת להוכיח ונגיע למבוקש במהירות. (מי שרוצה יכול להרחיב פה)
קודם כל נוכיח כי <math>{ U }_{ 10 }\cong { Z }_{ 4 }</math>. ואכן, מתקיים לפי אוילר 1 <math>{ U }_{ 10 }=\{ 1,3,7,9\} </math>, נבדוק את הסדר של 3 - <math>{ 3 }^{ 1 }=1;{ 3 }^{ 2 }=9;{ 3 }^{ 3 }=27=7;3^{ 4 }=81=1\quad \Rightarrow \quad O(3)=4</math>. לכן החבורה צילקית, ולכן <math>{ U }_{ 10 }\cong { Z }_{ 4 }</math>.
כעת, לפי המשפט - <math>{ Z }_{ mn }\cong Z_{ m }\bigoplus { Z }_{ n } \leftrightarrow (m,n)=1</math>, נובע כי:
<math>{ Z }_{ 40 }\cong Z_{ 8 }\bigoplus { Z }_{ 5 }</math>
<math>{ Z }_{ 5 }\bigoplus { Z }_{ 2 }\cong { Z }_{ 10 }\quad \rightarrow \quad { U }_{ 10 }\bigoplus { Z }_{ 10 }\cong Z_{ 4 }\bigoplus { Z }_{ 10 }\cong Z_{ 4 }\bigoplus { Z }_{ 5 }\bigoplus { Z }_{ 2 }</math>
ונשארנו עם <math>Z_{ 2 }\bigoplus { Z }_{ 5 }\bigoplus { Z }_{ 2 }\bigoplus { Z }_{ 2 }</math> שלא איזומורפית לאף אחד מן האחרות.
==שאלה 2==
===סעיף א'===
====אינטואיציה ראשונית לפתרון====
נשים לב ש- <math>|U_9|=\varphi(9)=9\cdot(1-\frac13)=6</math>. לכן, לפי משפט מהתרגול, יש 2 אפשרויות: <math>U_9 \simeq \mathbb{Z}_6</math> או <math>U_9 \simeq D_3</math>. כיוון ש- <math>U_9</math> אבלית ו- <math>D_3</math> לא, נקבל כי <math>U_9</math> ציקלית. לכן, צריך להתקיים שאם יש מונו' מ- <math>U_9</math> ל- <math>S_7</math>, אזי <math>\operatorname{im}f</math> ציקלית והסדר שלה הוא 6 (כיוון שהיא ש- f היא חח"ע, התמונה תהיה איזומורפית ל- <math>U_9</math>למקור). לכן, מטרתנו היא למצוא איבר מסדר 6 ב- <math>S_7</math> ולשלוח את אחד מהיוצרים של <math>U_9</math> לאותו איבר וזה יתן לנו את הפתרון.
====פתרון====
מצאו את מספר הריבועים השונים (כלומר, עד כדי סיבוב או שיקוף) אשר מתקבלים מריבוע נתון, אם מותר לצבוע קודקודים ב-2 צבעים נתונים.
====פתרון====
נשתמש בלמה של ברנסייד... (יש להשלים חלק זה)
==שאלת בונוס==
