שאלה 2
סעיף א'
הוכח את משפט אוילר על החזקות ופתור את המשוואה
פתרון
משפט אוילר על החזקות אומר שאם אז . אבל אם אז לפי משפט, . אחת התוצאות של משפט לגרנז' אומרת שאם מעלים איבר בחזקת סדר של החבורה, נקבל את הנטרלי של החבורה. במקרה הזה, הנטרלי הוא 1 והסדר של החבורה הוא . נזכור שההגדרה של היא בעצם ולכן קיבלנו .
כעת נפתור את המשוואה. כיוון ש- 31 ראשוני, אז לפי משפט וילסון, וכיוון ש-30 הפיך ב- אפשר להסיק ש- . קיבלנו: .
נזכור ש- (אם p ראשוני אז ) ולכן לפי המשפט שהוכחנו, ומכאן . קל לחשב ש- ולכן קיבלנו את המשוואה: . עוד נראה ש- ולכן ומכאן ש-