הצגת המקור של אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

[[קטגוריה:אינפי]]

=סרטונים=
*הורדת דרגת המונה ע"י חילוק פולינומים
<videoflash>K5c-i9GIF4s</videoflash>


*פירוק לשברים חלקיים
<videoflash>im1mjhXXFCo</videoflash>


*חישוב אינטגרל של כל שבר חלקי
**נסמן <math>I_n=\int \frac{1}{(1+t^2)^n} dt</math>
**אזי <math>I_{n+1}=\frac{t}{2n(1+t^2)^n} + \left(1-\frac{1}{2n}\right)I_n</math>
כאשר תנאי ההתחלה הוא <math>I_1=\arctan(t)</math>

<videoflash>cexA1w14A-I</videoflash>

=אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית=
תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר <math>p,q</math> פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math> .

'''עובדה'''. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%92%D7%95%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA שדה סגור ממשית]. 

איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים), האלגוריתם מניח שאנו יודעים את הפירוק של המכנה.

==סקירה כללית==
האלגוריתם מורכב משלושה שלבים:
*שלב ראשון - אם הפולינום במונה מדרגה גדולה או שווה לפולינום במכנה, נבצע חילוק פולינומים.
*שלב שני - נניח שהפולינום במונה מדרגה קטנה ממש מהפולינום במכנה. נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים.
*שלב שלוש - נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.


==שלב ראשון==
לאחר ביצוע חילוק פולינומים נקבל <math>p(x)=h(x)q(x)+r(x)</math> ולכן <math>\frac{p(x)}{q(x)}=h(x)+\frac{r(x)}{q(x)}</math>.

האינטגרל על <math>h(x)</math> הוא אינטגרל מיידי על פולינום, ונותרנו עם האינטגרל על הפונקציה הרציונאלית <math>\frac{r(x)}{q(x)}</math> בה המונה מדרגה קטנה ממש מאשר המכנה.

==שלב שני==
כעת אנו מניחים שהמונה מדרגה קטנה ממש מהמכנה.

נפרק את <math>q</math> לגורמים אי-פריקים:

:<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots(x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots(x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>

כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:

:<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+\cdots+
\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+\cdots+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big]+
</math>

:<math>+\Big[\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+\cdots+\frac{B_{1,m_1}x+C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+\cdots</math>

נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום <math>p</math> , מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים <math>A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}</math> .


==שלב שלישי==
נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.

===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}</math>===
נבצע הצבה <math>t=x-a</math> על-מנת לקבל:

:<math>I_1=A\ln(x-a)+C</math>

:<math>I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C</math>

===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===
נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל <math>I_m=\int\frac{A}{\left(\left[x+\frac{b}{2}\right]^2+\left[c-\left(\frac{b}{2}\right)^2\right]\right)^m}</math>

כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}</math>

נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
<math>G_1=\int\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{A}{a^2}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C</math>

<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>

===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===
דבר ראשון נצמצם את הבעיה לאינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A(2x+b)+B}{(x^2+bx+c)^m}</math>

את החלק <math>I_m=\int\frac{B}{(x^2+bx+c)^m}</math> פותרים לפי הנוסחא לעיל

לחלק הנותר נבצע הצבה <math>t=x^2+bx+c</math> לקבל אינטגרל פתיר מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{t^m}</math>



==דוגמאות==
===דוגמא 1 - המנעות משימוש באלגוריתם===
:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx</math>

בדוגמא זו '''ניתן''' להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה <math>t=1-x^4</math> ולקבל

:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx=\int\frac{1-t}{-4t^2}dt</math>

===דוגמא 2 - פירוק לשברים חלקיים===
:<math>\int\frac{dx}{(x-1)(x^2+1)}</math>

נפרק לשברים חלקיים

:<math>\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)}</math>

לכן

:<math>1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)</math>

===דוגמא 3===
[[מדיה:שברים חלקיים.pdf|הסבר ודוגמא]]