שינויים
[[קטגוריה:אינפי]]
=אלגוריתם '''מלא''' לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית=
תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר <math>p,q </math> פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math>.
'''עובדה'''. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%92%D7%95%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA שדה סגור ממשית]. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).
==מצב ראשון <math>\deg(p)=\deg(q)-1</math>== ניתן למצוא קבוע /math>c</math> כך ש <math>h=cp-q'</math> כך ש- <math>\deg(h)<\deg(q)-1</math> .
וממשיכים לשלב הבא:
==מצב שני <math>\deg(p)<\deg(q)-1</math>== *נפרק את /math>q </math> לגורמים אי -פריקים: :<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>
*כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
:<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+...\cdots+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+...\cdots+\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+...\cdots+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big]+
</math>
:<math>+\Big[\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+\cdots+\frac{B_{1,m_1}x+C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+\cdots</math>
*נחשב כל מחובר בנפרד:
===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}</math>===
נבצע הצבה <math>t=x-a</math> על מנת לקבל:
:<math>I_1=Aln(x-a)+C</math>
:<math>I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C</math>
*כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}</math>
*נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
**<math>G_1=\frac{A}{a}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C</math>
**<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>
*את החלק <math>I_m=\int\frac{B}{(x^2+bx+c)^m}</math> פותרים לפי הנוסחא לעיל
==מצב שלישי <math>deg(p)=deg(q)</math>==
*קיים קבוע /math>c</math> כך שקיים פולינום <math>h</math> המקיים <math>h=cp-q</math> וגם <math>\deg(h)<\deg(q)</math> .
*נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.
==מצב רביעי <math>deg(p)>deg(q)</math>==
*נבצע חלוקת פולינומים על -מנת לקבל את הנוסחא <math>p(x)=a(x)q(x)+r(x)</math> כאשר מתקיים <math>\deg(r)<\deg(q)</math>
*מתקיים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{aq+r}{q}=\int{a(x)}+\int\frac{r}{q}</math>
*נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.
==מצב חמישי <math>p=f',q=f^m</math>==
<math>\int {\frac{f'}{f^m}}</math> מבצעים את ההצבה <math>t=f(x)</math>
=דוגמאות=
===דוגמא 1===
בדוגמא זו '''ניתן''' להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה <math>t=1-x^4</math> ולקבל
==דוגמא 2==
נפרק לשברים חלקיים
לכן
