[[קטגוריה:אינפי]]
=אלגוריתם '''מלא''' לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית=
תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר <math>p,q</math> פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math> .
'''עובדה'''. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%92%D7%95%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA שדה סגור ממשית]. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).
==מצב ראשון <math>\deg(pאיננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים)=\deg(q)-1</math>== ניתן למצוא קבוע <math>c</math> כך ש- <math>h=cp-q'</math> כך ש- <math>\deg(h)<\deg(q)-1</math> , האלגוריתם מניח שאנו יודעים את הפירוק של המכנה.
אז רושמים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{\ln(q)}{c}+\int\frac{h}{c\cdot q}</math>סקירה כללית==האלגוריתם מורכב משלושה שלבים:*שלב ראשון - אם הפולינום במונה מדרגה גדולה או שווה לפולינום במכנה, נבצע חילוק פולינומים.*שלב שני - נניח שהפולינום במונה מדרגה קטנה ממש מהפולינום במכנה. נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים.*שלב שלוש - נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.
וממשיכים לשלב הבא:
==מצב שני שלב ראשון==לאחר ביצוע חילוק פולינומים נקבל <math>\degp(x)=h(x)q(x)+r(x)</math> ולכן <math>\frac{p(x)}{q(x)}=h(x)+\frac{r(x)}{q(x)}</math>. האינטגרל על <math>h(x)</math> הוא אינטגרל מיידי על פולינום, ונותרנו עם האינטגרל על הפונקציה הרציונאלית <math>\degfrac{r(x)}{q(x)-1}</math>בה המונה מדרגה קטנה ממש מאשר המכנה. ==שלב שני==כעת אנו מניחים שהמונה מדרגה קטנה ממש מהמכנה. *נפרק את <math>q</math> לגורמים אי-פריקים:
:<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots(x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots(x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>
*כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
:<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+\cdots+
:<math>+\Big[\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+\cdots+\frac{B_{1,m_1}x+C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+\cdots</math>
*נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום <math>p</math> , מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים <math>A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}</math> .* ==שלב שלישי==נחשב את האינטגרל של כל מחובר בנפרד:שבר חלקי.
===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}</math>===
===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===
*נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל <math>I_m=\int\frac{A}{\left(\left[x+\frac{b}{2}\right]^2+\left[c-\left(\frac{b}{2}\right)^2\right]\right)^m}</math>
*כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}</math>
*נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:**<math>G_1=\frac{A}{a}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C</math>
**<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>
===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===
*דבר ראשון, בדומה למצב הראשון, נצמצם את הבעיה לאינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A(2x+b)+B}{(x^2+bx+c)^m}</math> *את החלק <math>I_m=\int\frac{B}{(x^2+bx+c)^m}</math> פותרים לפי הנוסחא לעיל *לחלק הנותר נבצע הצבה <math>t=x^2+bx+c</math> לקבל אינטגרל פתיר מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{t^m}</math> ==מצב שלישי <math>\deg(p)=\deg(q)</math>==*קיים קבוע <math>c</math> כך שקיים פולינום <math>h</math> המקיים <math>h=cp-q</math> וגם <math>\deg(h)<\deg(q)</math> . *נפריד את האינטגרל לשניים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int 1+\int\frac{h}{q}</math> *נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.
==מצב רביעי את החלק <math>I_m=\deg(p)>int\deg(q)</math>==*נבצע חלוקת פולינומים על-מנת לקבל את הנוסחא <math>pfrac{B}{(x)=a(x)q(x)^2+bx+r(x)</math> כאשר מתקיים <math>\deg(r)<\deg(qc)^m}</math>פותרים לפי הנוסחא לעיל
*מתקיים לחלק הנותר נבצע הצבה <math>\int\frac{p}{q}t=\int\frac{aqx^2+r}{q}bx+c</math> לקבל אינטגרל פתיר מהצורה <math>I_m=\int{a(x)}+\int\frac{rA}{qt^m}</math>
*נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.
==מצב חמישי <math>p=f',q=f^m</math>==
<math>\int\frac{f'}{f^m}</math> מבצעים את ההצבה <math>t=f(x)</math>
=דוגמאות=
