שינויים

תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר <math>p,q </math> פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math> כאשר נקודת הכשל האפשרית היחידה באלגוריתם היא חוסר היכולת לפרק את הפולינום q לגורמים אי פריקים.

'''פרט למצב זה האלגוריתם יביא בהכרח לפתרון הבעייה.עובדה'''. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%92%D7%95%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA שדה סגור ממשית].

==מצב ראשון <math>deg(pאיננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים)=deg(q)-1</math>== , האלגוריתם מניח שאנו יודעים את הפירוק של המכנה.

ניתן למצוא קבוע c כך ש <math>h=cp=סקירה כללית==האלגוריתם מורכב משלושה שלבים:*שלב ראשון - אם הפולינום במונה מדרגה גדולה או שווה לפולינום במכנה, נבצע חילוק פולינומים.*שלב שני -q'</math> כך ש<math>deg(h)<deg(q)נניח שהפולינום במונה מדרגה קטנה ממש מהפולינום במכנה. נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים.*שלב שלוש -1</math>נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.

==מצב שני האינטגרל על <math>degh(px)<deg/math> הוא אינטגרל מיידי על פולינום, ונותרנו עם האינטגרל על הפונקציה הרציונאלית <math>\frac{r(x)}{q(x)-1}</math>==בה המונה מדרגה קטנה ממש מאשר המכנה.

נפרק את <math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>לגורמים אי-פריקים:

*כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:

:<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+...\cdots+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+...\cdots+\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+...\cdots+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big] + \Big[\frac{B_{1,1}x + C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x + C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+...+\frac{B_{1,m_1}x + C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+...</math>

*נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום <math>p</math> , מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים <math>A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}</math>.

*==שלב שלישי==נחשב את האינטגרל של כל מחובר בנפרד:שבר חלקי.

נבצע הצבה <math>t=x-a</math> על -מנת לקבל: :<math>I_1=A\ln(x-a)+C</math> :<math>I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C</math> ===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל <math>I_m=\int\frac{A}{\left(\left[x+\frac{b}{2}\right]^2+\left[c-\left(\frac{b}{2}\right)^2\right]\right)^m}</math> כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}</math> נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:<math>G_1=\int\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{A}{a^2}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C</math> <math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math> ===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===דבר ראשון נצמצם את הבעיה לאינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A(2x+b)+B}{(x^2+bx+c)^m}</math> את החלק <math>I_m=\int\frac{B}{(x^2+bx+c)^m}</math> פותרים לפי הנוסחא לעיל לחלק הנותר נבצע הצבה <math>t=x^2+bx+c</math> לקבל אינטגרל פתיר מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{t^m}</math>   ==דוגמאות=====דוגמא 1 - המנעות משימוש באלגוריתם===:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx</math> בדוגמא זו '''ניתן''' להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה <math>t=1-x^4</math> ולקבל :<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx=\int\frac{1-t}{-4t^2}dt</math> ===דוגמא 2 - פירוק לשברים חלקיים===:<math>\int\frac{dx}{(x-1)(x^2+1)}</math> נפרק לשברים חלקיים

<math>I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C</math>==דוגמא 3===[[מדיה:שברים חלקיים.pdf|הסבר ודוגמא]]