[[קטגוריה:אינפי]]
=אלגוריתם '''מלא''' לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית=
תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math>.
'''עובדה'''. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו=סרטונים=*הורדת דרגת המונה ע"י חילוק פולינומים<videoflash>K5c-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא [http:i9GIF4s<//he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%92%D7%95%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA שדה סגור ממשית]. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).videoflash>
==מצב ראשון <math>deg(p)=deg(q)-1</math>==
ניתן למצוא קבוע c כך ש *פירוק לשברים חלקיים<mathvideoflash>h=cp-q'im1mjhXXFCo</mathvideoflash> כך ש<math>deg(h)<deg(q)-1</math>.
אז רושמים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q} </math>
וממשיכים לשלב הבא:*חישוב אינטגרל של כל שבר חלקי**נסמן <math>I_n=\int \frac{1}{(1+t^2)^n} dt</math>**אזי <math>I_{n+1}=\frac{t}{2n(1+t^2)^n} + \left(1-\frac{1}{2n}\right)I_n</math>כאשר תנאי ההתחלה הוא <math>I_1=\arctan(t)</math>
==מצב שני <mathvideoflash>deg(p)<deg(q)cexA1w14A-1I</mathvideoflash>==
*נפרק את =אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית=תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q לגורמים אי פריקים: (x)}</math> כאשר <math>p,q</math> פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math> .
<math>q(x)=(x'''עובדה'''. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j}<עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא [http://he.wikipedia.org/wiki/math>%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%92%D7%95%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA שדה סגור ממשית].
איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים), האלגוריתם מניח שאנו יודעים את הפירוק של המכנה.
==סקירה כללית==האלגוריתם מורכב משלושה שלבים:*כעתשלב ראשון - אם הפולינום במונה מדרגה גדולה או שווה לפולינום במכנה, נבצע חילוק פולינומים.*שלב שני - נניח שהפולינום במונה מדרגה קטנה ממש מהפולינום במכנה. נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:.*שלב שלוש - נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.
<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+...+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+...+
\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+...+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big]+
</math>
==שלב ראשון==לאחר ביצוע חילוק פולינומים נקבל <math>+ \Big[\frac{B_{1,1}p(x )=h(x)q(x)+ C_{1,1}}{r(x^2+c_1x+b_1}+)</math> ולכן <math>\frac{B_{1,2}p(x + C_{1,2})}{q(x^2+c_1x+b_1)^2}+...=h(x)+\frac{B_{1,m_1}r(x + C_{1,m_1})}{q(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+...</math>.
האינטגרל על <math>h(x)</math> הוא אינטגרל מיידי על פולינום, ונותרנו עם האינטגרל על הפונקציה הרציונאלית <math>\frac{r(x)}{q(x)}</math> בה המונה מדרגה קטנה ממש מאשר המכנה.
*נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום p, מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים <math>A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}</math>==שלב שני==כעת אנו מניחים שהמונה מדרגה קטנה ממש מהמכנה.
*נחשב כל מחובר בנפרדנפרק את <math>q</math> לגורמים אי-פריקים:
===אינטגרל מהצורה :<math>I_mq(x)=(x-a_1)^{n_1}\int\fraccdots(x-a_k)^{An_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots(x-a^2+c_jx+b_j)^m{m_j}</math>===נבצע הצבה <math>t=x-a</math> על מנת לקבל:
כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
:<math>I_1\frac{p}{q}=Aln\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+\cdots+\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+\cdots+\frac{A_{k,n_k}}{(x-aa_k)^{n_k}}\Big]+C</math>
:<math>+\Big[\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+\cdots+\frac{B_{1,m_1}x+C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+\cdots</math>
נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום <math>I_m=\fracp</math> , מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים <math>A_{-Ai,j},B_{(m-1)(x-a)^{m-1i,j},C_{i,j}+C</math>.
===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי פריק)===
==שלב שלישי==
נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.
*נבצע השלמה לריבוע על מנת לקבל את האינטגרל ===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(\Big[x+\frac{b}{2}\Big]^2+\Big[c-(\frac{b}{2})^2\Big]a)^m}</math>=== *כעת, בעזרת נבצע הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>G_mt=\int\frac{A}{(x^2+-a^2)^m}</math> *נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאהעל-מנת לקבל: **<math>G_1=\frac{A}{a}arctan(\frac{x}{a}) +C</math> **<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m + \frac{1}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>
===אינטגרל מהצורה :<math>I_mI_1=A\int\frac{Bx+C}{ln(x^2-a)+bx+c)^m}C</math> (כאשר המכנה אי פריק)===
:<math>I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C</math>
*דבר ראשון, בדומה למצב הראשון,נצמצם את הבעייה לאינטגרל ===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(2xx^2+b) bx+ Bc)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל <math>I_m=\int\frac{A}{\left(\left[x+\frac{b}{2}\right]^2+bx+\left[c-\left(\frac{b}{2}\right)^2\right]\right)^m}</math>
*את החלק כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>I_mG_m=\int\frac{BA}{(x^2+bx+ca^2)^m}</math> פותרים לפי הנוסחא לעיל
*לחלק הנותר נבצע הצבה נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:<math>tG_1=\int\frac{1}{x^2+bx+c</math> לקבל אינטגרל פתיר מהצורה <math>I_ma^2}dx=\int\frac{A}{ta^m2}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C</math>
==מצב שלישי <math>deg(p)G_{m+1}=deg\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(qx^2+a^2)^m}</math>==
===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===
דבר ראשון נצמצם את הבעיה לאינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A(2x+b)+B}{(x^2+bx+c)^m}</math>
*קיים קבוע c כך שקיים פולינום h המקיים את החלק <math>hI_m=cp-q</math> וגם <math>deg\int\frac{B}{(h)<deg(qx^2+bx+c)^m}</math>.פותרים לפי הנוסחא לעיל
לחלק הנותר נבצע הצבה <math>t=x^2+bx+c</math> לקבל אינטגרל פתיר מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{t^m}</math>
*נפריד את האינטגרל לשניים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int{1}+\int\frac{h}{q}</math>
*נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.==דוגמאות=====דוגמא 1 - המנעות משימוש באלגוריתם===:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx</math>
בדוגמא זו '''ניתן''' להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה <math>t=1-x^4</math> ולקבל
==מצב רביעי :<math>deg\int\frac{x^7}{(p)>deg(q1-x^4)^2}dx=\int\frac{1-t}{-4t^2}dt</math>==
===דוגמא 2 - פירוק לשברים חלקיים===
:<math>\int\frac{dx}{(x-1)(x^2+1)}</math>
*נבצע חלוקת פולינומים על מנת לקבל את הנוסחא <math>p(x)=a(x)q(x)+r(x)</math> כאשר מתקיים <math>deg(r)<deg(q)</math>נפרק לשברים חלקיים
:<math>\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)}</math>
*מתקיים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{aq+r}{q}=\int{a(x)}+\int\frac{r}{q}</math>לכן
:<math>1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)</math>
*נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני===דוגמא 3===[[מדיה:שברים חלקיים.pdf|הסבר ודוגמא]]
