שינויים

 =סרטונים=*הורדת דרגת המונה ע"י חילוק פולינומים<videoflash>K5c-i9GIF4s</videoflash>  *פירוק לשברים חלקיים<videoflash>im1mjhXXFCo</videoflash>  *חישוב אינטגרל של כל שבר חלקי**נסמן <math>I_n=\int \frac{1}{(1+t^2)^n} dt</math>**אזי <math>I_{n+1}=\frac{t}{2n(1+t^2)^n} + \left(1-\frac{1}{2n}\right)I_n</math>כאשר תנאי ההתחלה הוא <math>I_1=\arctan(t)</math> <videoflash>cexA1w14A-I</videoflash> =אלגוריתם '''מלא''' לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית=

'''עובדה'''. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%92%D7%95%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA שדה סגור ממשית]. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).

==מצב ראשון <math>\deg(pאיננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים)=\deg(q)-1</math>== ניתן למצוא קבוע /math>c</math> כך ש <math>h=cp-q'</math> כך ש- <math>\deg(h)<\deg(q)-1</math> , האלגוריתם מניח שאנו יודעים את הפירוק של המכנה.

אז רושמים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{\ln(q)}{c}+\int\frac{h}{c\cdot q}</math>סקירה כללית==האלגוריתם מורכב משלושה שלבים:*שלב ראשון - אם הפולינום במונה מדרגה גדולה או שווה לפולינום במכנה, נבצע חילוק פולינומים.*שלב שני - נניח שהפולינום במונה מדרגה קטנה ממש מהפולינום במכנה. נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים.*שלב שלוש - נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.

==מצב שני שלב ראשון==לאחר ביצוע חילוק פולינומים נקבל <math>\degp(x)=h(x)q(x)+r(x)</math> ולכן <math>\frac{p(x)}{q(x)}=h(x)+\frac{r(x)}{q(x)}</math>. האינטגרל על <math>h(x)</math> הוא אינטגרל מיידי על פולינום, ונותרנו עם האינטגרל על הפונקציה הרציונאלית <math>\degfrac{r(x)}{q(x)-1}</math>בה המונה מדרגה קטנה ממש מאשר המכנה. ==שלב שני==כעת אנו מניחים שהמונה מדרגה קטנה ממש מהמכנה. *נפרק את /<math>q</math> לגורמים אי-פריקים:  

*כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים: 

*נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום <math>p</math> , מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים <math>A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}</math> .* ==שלב שלישי==נחשב את האינטגרל של כל מחובר בנפרד:שבר חלקי.

נבצע הצבה <math>t=x-a</math> על -מנת לקבל: :<math>I_1=AlnA\ln(x-a)+C</math> 

*נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל <math>I_m=\int\frac{A}{\left(\Bigleft[x+\frac{b}{2}\Bigright]^2+\Bigleft[c-\left(\frac{b}{2}\right)^2\Bigright]\right)^m}</math>

*כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}</math>

*נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:**<math>G_1=\int\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{A}{a^2}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C</math>

**<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>

*דבר ראשון, בדומה למצב הראשון, נצמצם את הבעיה לאינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A(2x+b)+B}{(x^2+bx+c)^m}</math>

*את החלק <math>I_m=\int\frac{B}{(x^2+bx+c)^m}</math> פותרים לפי הנוסחא לעיל

*לחלק הנותר נבצע הצבה <math>t=x^2+bx+c</math> לקבל אינטגרל פתיר מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{t^m}</math>

*נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב. ==מצב רביעי <math>deg(p)>deg(q)</math>דוגמאות==*נבצע חלוקת פולינומים על-מנת לקבל את הנוסחא <math>p(x)=a(x)q(x)+r(x)</math> כאשר מתקיים <math>\deg(r)<\deg(q)</math> *מתקיים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{aq+r}{q}=\int{a(x)}+\int\frac{r}{q}</math> *נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני. ==מצב חמישי <math>p=f',q=f^m</math>==<math>\int\frac{f'}{f^m}</math> מבצעים את ההצבה <math>t=f(x)</math> =דוגמאות====דוגמא 1- המנעות משימוש באלגוריתם===

===דוגמא 2- פירוק לשברים חלקיים===

 לכן