אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

אלגוריתם מלא לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

תהי פונקציה מהצורה $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ כאשר $p,q$ פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב $\int f(x)dx$ .

עובדה. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא שדה סגור ממשית. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).

מצב ראשון $\deg(p)=\deg(q)-1$

ניתן למצוא קבוע /math>c</math> כך ש $h=cp-q'$ כך ש- $\deg(h)<\deg(q)-1$ .

אז רושמים $\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{\ln(q)}{c}+\int\frac{h}{c\cdot q}$

וממשיכים לשלב הבא:

מצב שני $\deg(p)<\deg(q)-1$

• נפרק את /math>q</math> לגורמים אי-פריקים:

$q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots(x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots(x^2+c_jx+b_j)^{m_j}$

• כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:

$\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+\cdots+ \Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+\cdots+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big]+$

$+\Big[\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+\cdots+\frac{B_{1,m_1}x+C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+\cdots$

• נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום $p$ , מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים $A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}$ .
• נחשב כל מחובר בנפרד:

אינטגרל מהצורה $I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}$

נבצע הצבה $t=x-a$ על מנת לקבל:

$I_1=Aln(x-a)+C$

$I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C$

אינטגרל מהצורה $I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}$ (כאשר המכנה אי-פריק)

• נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל $I_m=\int\frac{A}{(\Big[x+\frac{b}{2}\Big]^2+\Big[c-(\frac{b}{2})^2\Big])^m}$

• כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה $G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}$

• נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
  • $G_1=\frac{A}{a}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C$

• • $G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}$

אינטגרל מהצורה $I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}$ (כאשר המכנה אי-פריק)

• דבר ראשון, בדומה למצב הראשון, נצמצם את הבעיה לאינטגרל מהצורה $I_m=\int\frac{A(2x+b)+B}{(x^2+bx+c)^m}$

• את החלק $I_m=\int\frac{B}{(x^2+bx+c)^m}$ פותרים לפי הנוסחא לעיל

• לחלק הנותר נבצע הצבה $t=x^2+bx+c$ לקבל אינטגרל פתיר מהצורה $I_m=\int\frac{A}{t^m}$

מצב שלישי $deg(p)=deg(q)$

• קיים קבוע /math>c</math> כך שקיים פולינום $h$ המקיים $h=cp-q$ וגם $\deg(h)<\deg(q)$ .

• נפריד את האינטגרל לשניים $\int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int 1+\int\frac{h}{q}$

• נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.

מצב רביעי $deg(p)>deg(q)$

• נבצע חלוקת פולינומים על-מנת לקבל את הנוסחא $p(x)=a(x)q(x)+r(x)$ כאשר מתקיים $\deg(r)<\deg(q)$

• מתקיים $\int\frac{p}{q}=\int\frac{aq+r}{q}=\int{a(x)}+\int\frac{r}{q}$

• נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.

מצב חמישי $p=f',q=f^m$

$\int\frac{f'}{f^m}$ מבצעים את ההצבה $t=f(x)$

דוגמאות

דוגמא 1

$\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx$

בדוגמא זו ניתן להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה $t=1-x^4$ ולקבל

$\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx=\int\frac{1-t}{-4t^2}dt$

דוגמא 2

$\int\frac{dx}{(x-1)(x^2+1)}$

נפרק לשברים חלקיים

$\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)}$

לכן

$1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)$