שינויים

<math>z\cdot w=(5\cdot 2-\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3})+(5\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot 2)i=9\frac{2}{9}+4i</math>.

במספרים הממשיים יש לנו ערך מוחלט, והוא מוגדר כמרחק של המספר מאפס. נגדיר משהו דומה על המספרים המרוכבים - הנורמה (ויש שקוראים לזה ערך מוחלט). הנורמה זו בעצם פונקציה <math>|\cdot |:\mathbb{C}\to \mathbb{R}</math> המוגדרת ע"י:

<math>|z=a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}</math>. מאיפה הגיעה הפונקציה הזו? אם נתבונן על המספרים המרוכבים במערכת צירים נוכל לשים לב שהנורמה היא המרחק (האוקלידי) מראשית הצירים. דוגמאות נחמדות כיד המתרגל הטובה עליו.

1. כפליות: <math>\forall z_1,z_2\in \mathbb{C}:|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|</math>.

3. אי שיוויון המשולש: <math>\forall z_1,z_2\in \mathbb{C}:|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|</math>.

הוכיחו: <math>\forall z,w\in \mathbb{C}:|z-w|\geq ||z|-|w||</math>.

נאחד את שני אי-השיוויונים שקיבלנו ונקבל <math>\forall z,w\in \mathbb{C}:|z-w|\geq ||z|-|w||</math>.