שינויים
לדוגמא: נסמן <math>z=5+\frac{1}{3}i,w=2+\frac{2}{3}i</math>. נקבל: <math>z+w=(5+2)+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})i=7+i</math>, וכן
<math>z\cdot w=(5\cdot 2-\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3})+(5\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot 2)i=9\frac{2}{9}+4i</math>.
===חלק ממשי וחלק מדומה===
יהי <math>z=a+bi\in \mathbb{C}</math>. נגדיר את החלק הממשי שלו להיות: <math>Re(z)=a</math>, ואת החלק המדומה שלו להיות <math>Im(z)=b</math>. שימו לב שגם החלק הממשי וגם החלק המדומה הם מספרים ממשיים!!!
'''דוגמא:''' <math>Re(\sqrt{2}-\pi i)=\sqrt{2},Im(\sqrt{2}-\pi i)=-\pi</math>.
שימו לב שמספר מרוכב <math>z</math> הוא ממשי אם ורק אם <math>Im(z)=0</math>.
מספר מרוכב <math>z</math> נקרא מדומה טהור אם <math>Re(z)=0</math>. למשל <math>2i</math>.
==נורמה וצמוד==
====תרגיל====
הוכיחו: שלכל מספר מרוכב <math>\forall z\in \mathbb{C}</math> מתקיים: 1. <math>z\cdot \overline{z}=|z|^2</math>. 2. <math>z+\overline{z}=2Re(z)</math>. 3. <math>z-\overline{z}=2Im(z)i</math>
'''פתרון:''' נסמן <math>z=a+bi</math> ונחשב:
<math>z\cdot \overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-(-b^2)=a^2+b^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2=|z|^2</math>.
<math>z+\overline{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a=2Re(z)</math>.
<math>z-\overline{z}=(a+bi)-(a-bi)2bi=2Im(z)i</math>
==מציאת הופכי וחילוק==
עובדה: לכל מספר מרוכב שונה מאפס קיים הופכי.
ש: איך נמצא את ההופכי?
ת: כמסקנה מהתרגיל האחרון המקשר בן נורמה לצמוד נקבל: <math>z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>.
====תרגיל====
מצא את ההופכי של <math>7-4i</math>.
'''פתרון:''' לפי המסקנה נקבל: <math>(7-4i)^{-1}=\frac{7+4i}{7^2+(-4)^2}=\frac{7+4i}{65}=\frac{7}{65}+\frac{4}{64}i</math>.
====תרגיל====
הצג את הביטוי הבא בצורה <math>z=a+bi</math> וציין מהם <math>Re(z),Im(z),\overline{z},|z|</math>. הביטוי הינו: <math>\frac{5+2i}{2-3i}</math>
'''פתרון:'''
נכפול בצמוד למכנה למעלה ולמטה <math>\frac{(5+2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}</math>.
נעצור לרגע להבין את הפורמליות של מה שאנחנו עושים. הרי <math>\frac{5+2i}{2-3i}=(5+2i)(2-3i)^{-1}</math> וכעת רשמנו <math>(5+2i)(2+3i)[(2-3i)^{-1}(2+3i)^{-1}]</math>
לפיכך נקבל:
<math>z=\frac{4+19i}{13}=\frac{4}{13}+\frac{19}{13}i</math>.
<math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{4^2+19^2}{13^2}}</math>.
<math>Re(z)=\frac{4}{13},Im(z)=\frac{19}{13}</math>.
<math>\overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i</math>.
