שינויים
3. אותה נורמה: <math>\forall z\in \mathbb{C}:|z|=|\overline{z}|</math>.
====תרגילראיתם בהרצאה:====
הוכיחו שלכל מספר מרוכב <math>z</math> מתקיים:
<math>z-\overline{z}=(a+bi)-(a-bi)2bi=2Im(z)i</math>
====תרגיל====
מצאו מספר מרוכב <math>z</math> המקיים:
<math>|z|=5,Im(z)=7</math>
'''פתרון:'''
==מציאת הופכי וחילוק==
<math>\overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i</math>.
==תרגילים==
====תרגיל====
פתור את המשוואה הבאה:
1. <math>z^2-(4+6i)z-5+10i=0</math>.
=====פתרון=====
נפתור לפי נוסחת השורשים הרגילה:
<math>z_{1,2}=\frac{4+6i\pm \sqrt{16+48i-36+20-40i}}{2}=\frac{4+6i}{2}\pm \frac{\sqrt{8i}}{2}=2+3i\pm \sqrt{2i}</math>. אבל איך מוציאים שורש למספר מרוכב? לכל מספר מרוכב קיים שורש מרוכב. נסמן אותו <math>w=a+bi</math>, כלומר, <math>(a+bi)^2=2i\Rightarrow a^2+2abi-b^2=2i</math>. נעשה השוואת מקדמים, אלה שעם <math>i</math> ואלה שבלי ונקבל שתי משוואות בשני נעלמים:
<math>a^2-b^2=0</math>
<math>2ab=2</math>.
מהמשוואה השנייה נקבל <math>ab=1\Rightarrow a^2b^2=1</math>, ולכן לפי המשוואה הראשונה נקבל <math>a^2a^2=1\Rightarrow a^4=1\Rightarrow a=\pm 1</math>. קיבלנו שני פתרונות:
<math>a=1\Rightarrow b=1\Rightarro w=1+i</math>
<math>a=-1\Rightarrow b=-1\Rightarrow w=-1-i</math>.
בסה"כ נקבל <math>z_{1,2}=2+3i\pm 1+i</math>, ולכן בסה"כ: <math>z_1=3+4i,z_2=1+2i</math>.
====תרגיל====
א. פתרו את הנשוואה <math>z+\overline{z}=z+2i</math>.
ב. הוכיחו שלמשוואה <math>z+\overline{z}=Re(z)+2i</math> אין פתרון.
'''פתרון:''' נסמן<math>z=a+bi</math>, וניזכר שמתקיים <math>z+\overline{z}=2Re(z)</math>, ונקבל <math>2a=a+bi+2i</math>. נעשה השוואת מקדמים ונקבל:
<math>2a=a</math>
<math>0=b+2</math>.
לכן <math>a=0,b=-2</math>, כלומר, <math>z=-2i</math>.
ב. נשים לב שאגף ימין הוא מספר ממשי, כי <math>Re(z)</math> תמיד ממשי. מאידך, בדיוק מאותה סיבה לצד ימין יש חלק מדומה <math>Im(Re(z)+2i)=2</math> לכל מספר מרוכב <math>z</math>.
