שינויים
/* תרגיל */
חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]].
==הגדרה==
3. אי שיוויון המשולש: <math>\forall z_1,z_2\in \mathbb{C}:|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|</math>.
=====תרגילאש"מ ההפוך - בהרצאה=====
הוכיחו: <math>\forall z,w\in \mathbb{C}:|z-w|\geq ||z|-|w||</math>.
3. אותה נורמה: <math>\forall z\in \mathbb{C}:|z|=|\overline{z}|</math>.
====תרגילראיתם בהרצאה:====
הוכיחו שלכל מספר מרוכב <math>z</math> , מתקיים:
1. <math>z\cdot \overline{z}=|z|^2</math>.
2. <math>z+\overline{z}=2Re(z)</math>.
3. <math>z-\overline{z}=2Im(z)i</math>.
'''פתרון:''' נסמן <math>z=a+bi</math> , ונחשב:
<math>z\cdot \overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-(-b^2)=a^2+b^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2=|z|^2</math>.
<math>z-\overline{z}=(a+bi)-(a-bi)2bi=2Im(z)i</math>
====תרגיל====
מצאו מספר מרוכב <math>z</math> המקיים: <math>|z|=5,Im(z)=2</math>, ומקמו אותו על במישור המרוכב.
'''פתרון:''' נסמן <math>z=a+bi</math>, לכן <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}=5\Rightarrow a^2+b^2=25</math>. בנוסף, <math>b=Im(z)=2</math>, ולכן <math>a^2=25-4\Rightarrow a=\pm \sqrt{21}</math>.
==מציאת הופכי וחילוק==
====תרגיל====
מצא את ההופכי של <math>7-4i</math>.:
====תרגיל====
הצג את הביטוי הבא בצורה <math>z=a+bi</math> וציין מהם <math>Re(z),Im(z),\overline{z},|z|</math>. הביטוי הינו: <math>\frac{5+2i}{2-3i}</math>
<math>\overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i</math>.
====תרגיל====
א. פתרו את המשוואה <math>z+\overline{z}=z+2i</math>.
ב. הוכיחו שלמשוואה <math>z+\overline{z}=Re(z)+2i</math> אין פתרון.
=====פתרון=====
נסמן <math>z=a+bi</math>, וניזכר שמתקיים <math>z+\overline{z}=2Re(z)</math>, ונקבל <math>2a=a+bi+2i</math>. נעשה השוואת מקדמים ונקבל:
<math>2a=a</math>
<math>0=b+2</math>.
לכן <math>a=0,b=-2</math>, כלומר, <math>z=-2i</math>.
ב. נשים לב שאגף שמאל הוא מספר ממשי, כי <math>Re(z)</math> תמיד ממשי. מאידך, בדיוק מאותה סיבה באגף ימין יש חלק מדומה (שוונה מאפס) <math>Im(Re(z)+2i)=2</math> לכל מספר מרוכב <math>z</math>. אפשר לעשות גם השוואת מקדמים ולראות שלמשוואה השנייה <math>0=2</math> אין פתרון.
====תרגיל====
יהיו <math>z,w</math> מספרים מרוכיבם המקיימים: <math>|z|=|w|=1,z\cdot w\neq 1</math>. הוכיחו שהמספר <math>\frac{z+w}{1-z\cdot w}</math> הינו מדומה טהור (כלומר, החלק הממשי שלו הוא 0).
=====פתרון=====
נכפול בצמוד למכנה:
<math>\frac{z+w}{1-z\cdot w}=\frac{(z+w)(\overline{1-zw})}{(1-zw)(\overline{1-zw})}=\frac{(z+w)(1-\overline{z}\overline{w})}{|1-zw|^2}=\frac{z+w-z\overline{z}\overline{w}-\overline{z}w\overline{w}}{|1-zw|^2}</math>
כעת נשים לב שמהנתון על הערכים המוחלטים נקבל: <math>z\overline{z}\overline{w}=\overline{w},\overline{z}w\overline{w}=\overline{z}</math>. לכן במונה כתוב בעצם: <math>z-\overline{z}+w-\overline{w}=-2\cdot Im(z)i-2\cdot Im(w)i</math> שזהו מספר מדומה טהור, והוא נשאר כזה גם אחרי חלוקתו במכנה שהוא ממשי. מש"ל.
==שורשים ומשוואות ריבועיות==
===משוואות ריבועיות עם מקדמים ממשיים===
====תרגיל====
פתרו את המשוואה: <math>x^2-6x+13=0</math>.
===משוואות ריבועיות עם מקדמים מרוכבים===
====תרגיל====
מצא את <math>\sqrt{2i}</math>.
=====פתרון=====
איך מוציאים שורש למספר מרוכב? לכל מספר מרוכב קיים שורש מרוכב. נסמן אותו <math>w=a+bi</math>, כלומר, <math>(a+bi)^2=2i\Rightarrow a^2+2abi-b^2=2i</math>. נעשה השוואת מקדמים, אלה שעם <math>i</math> ואלה שבלי ונקבל שתי משוואות בשני נעלמים:
<math>a^2-b^2=0</math>
<math>2ab=2</math>.
מהמשוואה השנייה נקבל <math>ab=1\Rightarrow a^2b^2=1</math>, ולכן לפי המשוואה הראשונה נקבל <math>a^2a^2=1\Rightarrow a^4=1\Rightarrow a=\pm 1</math>. קיבלנו שני פתרונות:
<math>a=1\Rightarrow b=1\Rightarrow w=1+i</math>
<math>a=-1\Rightarrow b=-1\Rightarrow w=-1-i</math>.
====תרגיל====
מצא את <math>\sqrt{-5+12i}</math>.
=====פתרון=====
נסמן <math>w=a+bi</math>, ונקבל <math>a^2+2abi-b^2=-5+12i</math>. לכן:
<math>a^2-b^2=-5</math>
<math>2ab=12\Rightarrow b=\frac{6}{a}</math>.
נציב את המשוואה השנייה בראשונה ונקבל: <math>a^2-(\frac{6}{a})^2=-5\Rightarrow a^4+5a^2-36=0</math>. נפתור את המשוואה הדו ריבועית (אתם יכולים לסמן <math>x=a^2\Rightarrow x^2+5x-36=0</math> ולפתור. נקבל <math>a^2=-9\lor a^2=4</math>. כיון ש-<math>a</math> הוא מספר ממשי נקבל <math>a^2=4\Rightarrow a=\pm 2</math>. נחזור חזרה למשוואה השנייה: <math>a=2\Rightarrow b=3,a=-2\Rightarrow b=-3</math>. קיבלנו שני מספרים מרוכבים: <math>z_1=2+3i,z_2=-2-3i</math>.
====תרגיל====
פתור את המשוואה הבאה:
<math>z^2-(4+6i)z-5+10i=0</math>.
=====פתרון=====
נפתור לפי נוסחת השורשים הרגילה:
<math>z_{1,2}=\frac{4+6i\pm \sqrt{16+48i-36+20-40i}}{2}=\frac{4+6i}{2}\pm \frac{\sqrt{8i}}{2}=2+3i\pm \sqrt{2i}</math>.
מתרגיל קודם נציב את השורש שמצאנו, ונקבל: <math>z_{1,2}=2+3i\pm 1+i</math>, ולכן בסה"כ: <math>z_1=3+4i,z_2=1+2i</math>.
