שינויים

הוכיחו שלכל מספר מרוכב <math>z</math> , מתקיים:

3. <math>z-\overline{z}=2Im(z)i</math>.

'''פתרון:''' נסמן <math>z=a+bi</math> , ונחשב:

'''=====פתרון:'''=====שימו לב: אם במכנה יש מספר ממשי אז זה יהיה קל מאד: כי אז אפשר להפריד את המונה לחלק ממשי וחלק מדומה, וכל אחד לחלק בנפרד בממשי שבמכנה. אז מה נעשה כדי שזה יקרה? אם נכפול את המכנה בצמוד שלו אז נקבל מספר חדש שבו המכנה ממשי. כדי לא להרוס את המספר שלנו נכפול גם את המונה בצמוד של המכנה! כלומר, נכפול בצמוד למכנה למעלה ולמטה : <math>\frac{(5+2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}</math>.

פתור א. פתרו את המשוואה הבאה:<math>z+\overline{z}=z+2i</math>.

1ב. הוכיחו שלמשוואה <math>z^2-(4+6i)\overline{z-5+10i}=0Re(z)+2i</math>אין פתרון.

נפתור לפי נוסחת השורשים הרגילהנסמן <math>z=a+bi</math>, וניזכר שמתקיים <math>z+\overline{z}=2Re(z)</math>, ונקבל <math>2a=a+bi+2i</math>. נעשה השוואת מקדמים ונקבל:

<math>z_{12a=a</math> <math>0=b+2</math>. לכן <math>a=0,b=-2</math>, כלומר, <math>z=-2i</math>. ב. נשים לב שאגף שמאל הוא מספר ממשי, כי <math>Re(z)</math> תמיד ממשי. מאידך, בדיוק מאותה סיבה באגף ימין יש חלק מדומה (שוונה מאפס) <math>Im(Re(z)+2i)=2</math> לכל מספר מרוכב <math>z</math>. אפשר לעשות גם השוואת מקדמים ולראות שלמשוואה השנייה <math>0=2</math> אין פתרון. ====תרגיל====יהיו <math>z,w</math> מספרים מרוכיבם המקיימים: <math>|z|=|w|=1,z\cdot w\neq 1</math>. הוכיחו שהמספר <math>\frac{z+w}{1-z\cdot w}</math> הינו מדומה טהור (כלומר, החלק הממשי שלו הוא 0). =====פתרון=====נכפול בצמוד למכנה: <math>\frac{4z+6iw}{1-z\pm cdot w}=\sqrtfrac{16(z+48iw)(\overline{1-36zw})}{(1-zw)(\overline{1-zw})}=\frac{(z+20w)(1-40i\overline{z}\overline{w})}{|1-zw|^2}=\frac{4z+6iw-z\overline{z}\overline{w}-\overline{z}w\overline{w}}{|1-zw|^2}</math> כעת נשים לב שמהנתון על הערכים המוחלטים נקבל: <math>z\pm overline{z}\fracoverline{w}=\sqrtoverline{8iw},\overline{z}w\overline{2w}=2\overline{z}</math>. לכן במונה כתוב בעצם: <math>z-\overline{z}+3iw-\pm overline{w}=-2\cdot Im(z)i-2\cdot Im(w)i</math> שזהו מספר מדומה טהור, והוא נשאר כזה גם אחרי חלוקתו במכנה שהוא ממשי. מש"ל. ==שורשים ומשוואות ריבועיות=====משוואות ריבועיות עם מקדמים ממשיים=======תרגיל====פתרו את המשוואה: <math>x^2-6x+13=0</math>. ===משוואות ריבועיות עם מקדמים מרוכבים=======תרגיל====מצא את <math>\sqrt{2i}</math>. אבל  =====פתרון=====איך מוציאים שורש למספר מרוכב? לכל מספר מרוכב קיים שורש מרוכב. נסמן אותו <math>w=a+bi</math>, כלומר, <math>(a+bi)^2=2i\Rightarrow a^2+2abi-b^2=2i</math>. נעשה השוואת מקדמים, אלה שעם <math>i</math> ואלה שבלי ונקבל שתי משוואות בשני נעלמים:

א. פתרו מצא את הנשוואה <math>z+\overlinesqrt{z-5+12i}=z+2i</math>.

ב. הוכיחו שלמשוואה =====פתרון=====נסמן <math>zw=a+\overline{z}bi</math>, ונקבל <math>a^2+2abi-b^2=Re(z)-5+2i12i</math> אין פתרון.לכן:

'''פתרון:''' נסמן<math>z=a+bi</math>, וניזכר שמתקיים <math>z+\overline{z}^2-b^2=2Re(z)</math>, ונקבל <math>2a=a+bi+2i-5</math>. נעשה השוואת מקדמים ונקבל:

<math>2a2ab=12\Rightarrow b=\frac{6}{a}</math>.

נציב את המשוואה השנייה בראשונה ונקבל: <math>a^2-(\frac{6}{a})^2=-5\Rightarrow a^4+5a^2-36=0</math>. נפתור את המשוואה הדו ריבועית (אתם יכולים לסמן <math>x=a^2\Rightarrow x^2+5x-36=0</math> ולפתור. נקבל <math>a^2=-9\lor a^2=4</math>. כיון ש-<math>a</math> הוא מספר ממשי נקבל <math>a^2=4\Rightarrow a=\pm 2</math>. נחזור חזרה למשוואה השנייה: <math>a=2\Rightarrow b=3,a=-2\Rightarrow b=-3</math>. קיבלנו שני מספרים מרוכבים: <math>z_1=2+3i,z_2=-2-3i</math>.

לכן ====תרגיל====פתור את המשוואה הבאה: <math>az^2-(4+6i)z-5+10i=0,b=-2</math>, כלומר, . =====פתרון===== נפתור לפי נוסחת השורשים הרגילה: <math>zz_{1,2}=\frac{4+6i\pm \sqrt{16+48i-36+20-40i}}{2}=\frac{4+6i}{2}\pm \frac{\sqrt{8i}}{2}=2+3i\pm \sqrt{2i}</math>.

ב. נשים לב שאגף ימין הוא מספר ממשימתרגיל קודם נציב את השורש שמצאנו, כי ונקבל: <math>Re(z)</math> תמיד ממשי. מאידךz_{1, בדיוק מאותה סיבה לצד ימין יש חלק מדומה <math>Im(Re(z)+2i)2}=2+3i\pm 1+i</math> לכל מספר מרוכב , ולכן בסה"כ: <math>zz_1=3+4i,z_2=1+2i</math>.