שינויים

הוכיחו שלכל מספר מרוכב <math>z</math> , מתקיים:

3. <math>z-\overline{z}=2Im(z)i</math>.

'''פתרון:''' נסמן <math>z=a+bi</math> , ונחשב:

פתור א. פתרו את המשוואה הבאה:<math>z+\overline{z}=z+2i</math>.

1ב. הוכיחו שלמשוואה <math>z^2-(4+6i)\overline{z-5+10i}=0Re(z)+2i</math>אין פתרון.

נפתור לפי נוסחת השורשים הרגילהנסמן <math>z=a+bi</math>, וניזכר שמתקיים <math>z+\overline{z}=2Re(z)</math>, ונקבל <math>2a=a+bi+2i</math>. נעשה השוואת מקדמים ונקבל:

<math>z_{12a=a</math> <math>0=b+2</math>. לכן <math>a=0,b=-2</math>, כלומר, <math>z=-2i</math>. ב. נשים לב שאגף שמאל הוא מספר ממשי, כי <math>Re(z)</math> תמיד ממשי. מאידך, בדיוק מאותה סיבה באגף ימין יש חלק מדומה (שוונה מאפס) <math>Im(Re(z)+2i)=2</math> לכל מספר מרוכב <math>z</math>. אפשר לעשות גם השוואת מקדמים ולראות שלמשוואה השנייה <math>0=2</math> אין פתרון. ====תרגיל====יהיו <math>z,w</math> מספרים מרוכיבם המקיימים: <math>|z|=|w|=1,z\cdot w\neq 1</math>. הוכיחו שהמספר <math>\frac{z+w}{1-z\cdot w}</math> הינו מדומה טהור (כלומר, החלק הממשי שלו הוא 0). =====פתרון=====נכפול בצמוד למכנה: <math>\frac{4z+6iw}{1-z\pm cdot w}=\sqrtfrac{16(z+48iw)(\overline{1-36zw})}{(1-zw)(\overline{1-zw})}=\frac{(z+20w)(1-40i\overline{z}\overline{w})}{|1-zw|^2}=\frac{4z+6iw-z\overline{z}\overline{w}-\overline{z}w\overline{w}}{|1-zw|^2}</math> כעת נשים לב שמהנתון על הערכים המוחלטים נקבל: <math>z\pm overline{z}\fracoverline{w}=\sqrtoverline{8iw},\overline{z}w\overline{2w}=2\overline{z}</math>. לכן במונה כתוב בעצם: <math>z-\overline{z}+3iw-\pm overline{w}=-2\cdot Im(z)i-2\cdot Im(w)i</math> שזהו מספר מדומה טהור, והוא נשאר כזה גם אחרי חלוקתו במכנה שהוא ממשי. מש"ל. ==שורשים ומשוואות ריבועיות=====משוואות ריבועיות עם מקדמים ממשיים=======תרגיל====פתרו את המשוואה: <math>x^2-6x+13=0</math>. ===משוואות ריבועיות עם מקדמים מרוכבים=======תרגיל====מצא את <math>\sqrt{2i}</math>. אבל  =====פתרון=====איך מוציאים שורש למספר מרוכב? לכל מספר מרוכב קיים שורש מרוכב. נסמן אותו <math>w=a+bi</math>, כלומר, <math>(a+bi)^2=2i\Rightarrow a^2+2abi-b^2=2i</math>. נעשה השוואת מקדמים, אלה שעם <math>i</math> ואלה שבלי ונקבל שתי משוואות בשני נעלמים:

א. פתרו מצא את המשוואה <math>z+\overlinesqrt{z-5+12i}=z+2i</math>.

ב. הוכיחו שלמשוואה =====פתרון=====נסמן <math>zw=a+\overline{z}bi</math>, ונקבל <math>a^2+2abi-b^2=Re(z)-5+2i12i</math> אין פתרון.לכן:

<math>a^2-b^2====פתרון=====-5</math>

נסמן <math>z2ab=a+bi</math>, וניזכר שמתקיים <math>z+12\overlineRightarrow b=\frac{z6}=2Re(z)</math>, ונקבל <math>2a={a+bi+2i}</math>. נעשה השוואת מקדמים ונקבל:

נציב את המשוואה השנייה בראשונה ונקבל: <math>2aa^2-(\frac{6}{a})^2=-5\Rightarrow a^4+5a^2-36=0</math>. נפתור את המשוואה הדו ריבועית (אתם יכולים לסמן <math>x=a^2\Rightarrow x^2+5x-36=0</math> ולפתור. נקבל <math>a^2=-9\lor a^2=4</math>. כיון ש-<math>a</math> הוא מספר ממשי נקבל <math>a^2=4\Rightarrow a=\pm 2</math>. נחזור חזרה למשוואה השנייה: <math>a=2\Rightarrow b=3,a=-2\Rightarrow b=-3</math>. קיבלנו שני מספרים מרוכבים: <math>z_1=2+3i,z_2=-2-3i</math>.

<math>0=b+2</math>.===תרגיל====פתור את המשוואה הבאה:

לכן <math>az^2-(4+6i)z-5+10i=0,b=-2</math>, כלומר, . =====פתרון===== נפתור לפי נוסחת השורשים הרגילה: <math>zz_{1,2}=\frac{4+6i\pm \sqrt{16+48i-36+20-40i}}{2}=\frac{4+6i}{2}\pm \frac{\sqrt{8i}}{2}=2+3i\pm \sqrt{2i}</math>.

ב. נשים לב שאגף ימין הוא מספר ממשימתרגיל קודם נציב את השורש שמצאנו, כי ונקבל: <math>Re(z)</math> תמיד ממשי. מאידךz_{1, בדיוק מאותה סיבה לצד ימין יש חלק מדומה <math>Im(Re(z)+2i)2}=2+3i\pm 1+i</math> לכל מספר מרוכב , ולכן בסה"כ: <math>zz_1=3+4i,z_2=1+2i</math>.