שינויים
/* תרגיל */
חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]].
==הגדרה==
====ראיתם בהרצאה:====
הוכיחו שלכל מספר מרוכב <math>z</math> , מתקיים:
1. <math>z\cdot \overline{z}=|z|^2</math>.
2. <math>z+\overline{z}=2Re(z)</math>.
3. <math>z-\overline{z}=2Im(z)i</math>.
'''פתרון:''' נסמן <math>z=a+bi</math> , ונחשב:
<math>z\cdot \overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-(-b^2)=a^2+b^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2=|z|^2</math>.
<math>\overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i</math>.
==תרגילים==תרגיל====א. פתרו את המשוואה <math>z+\overline{z}=z+2i</math>. ב. הוכיחו שלמשוואה <math>z+\overline{z}=Re(z)+2i</math> אין פתרון. =====פתרון===== נסמן <math>z=a+bi</math>, וניזכר שמתקיים <math>z+\overline{z}=2Re(z)</math>, ונקבל <math>2a=a+bi+2i</math>. נעשה השוואת מקדמים ונקבל: <math>2a=a</math> <math>0=b+2</math>. לכן <math>a=0,b=-2</math>, כלומר, <math>z=-2i</math>. ב. נשים לב שאגף שמאל הוא מספר ממשי, כי <math>Re(z)</math> תמיד ממשי. מאידך, בדיוק מאותה סיבה באגף ימין יש חלק מדומה (שוונה מאפס) <math>Im(Re(z)+2i)=2</math> לכל מספר מרוכב <math>z</math>. אפשר לעשות גם השוואת מקדמים ולראות שלמשוואה השנייה <math>0=2</math> אין פתרון. ====תרגיל====יהיו <math>z,w</math> מספרים מרוכיבם המקיימים: <math>|z|=|w|=1,z\cdot w\neq 1</math>. הוכיחו שהמספר <math>\frac{z+w}{1-z\cdot w}</math> הינו מדומה טהור (כלומר, החלק הממשי שלו הוא 0). =====פתרון=====נכפול בצמוד למכנה: <math>\frac{z+w}{1-z\cdot w}=\frac{(z+w)(\overline{1-zw})}{(1-zw)(\overline{1-zw})}=\frac{(z+w)(1-\overline{z}\overline{w})}{|1-zw|^2}=\frac{z+w-z\overline{z}\overline{w}-\overline{z}w\overline{w}}{|1-zw|^2}</math> כעת נשים לב שמהנתון על הערכים המוחלטים נקבל: <math>z\overline{z}\overline{w}=\overline{w},\overline{z}w\overline{w}=\overline{z}</math>. לכן במונה כתוב בעצם: <math>z-\overline{z}+w-\overline{w}=-2\cdot Im(z)i-2\cdot Im(w)i</math> שזהו מספר מדומה טהור, והוא נשאר כזה גם אחרי חלוקתו במכנה שהוא ממשי. מש"ל. ==שורשים ומשוואות ריבועיות=====משוואות ריבועיות עם מקדמים ממשיים=======תרגיל====פתרו את המשוואה: <math>x^2-6x+13=0</math>. ===משוואות ריבועיות עם מקדמים מרוכבים===
====תרגיל====
מצא את <math>\sqrt{2i}</math>.
====תרגיל====
=====פתרון=====
נסמן <math>w=a+bi</math>, ונקבל <math>a^2+2abi-b^2=-5+12i</math>. לכן:
<math>z_{1,2}2ab=12\frac{4+6i\pm \sqrt{16+48i-36+20-40i}}{2}Rightarrow b=\frac{4+6i6}{2}\pm \frac{\sqrt{8i}}{2}=2+3i\pm \sqrt{2ia}</math>.
====תרגיל====
=====פתרון=====
<math>2az_{1,2}=a\frac{4+6i\pm \sqrt{16+48i-36+20-40i}}{2}=\frac{4+6i}{2}\pm \frac{\sqrt{8i}}{2}=2+3i\pm \sqrt{2i}</math>.
מתרגיל קודם נציב את השורש שמצאנו, ונקבל: <math>0=b+z_{1,2</math>. לכן <math>a}=0,b=-2+3i\pm 1+i</math>, כלומר, ולכן בסה"כ: <math>zz_1=-2i</math>. ב. נשים לב שאגף ימין הוא מספר ממשי3+4i, כי <math>Re(z)</math> תמיד ממשי. מאידך, בדיוק מאותה סיבה לצד ימין יש חלק מדומה <math>Im(Re(z)z_2=1+2i)=2</math> לכל מספר מרוכב <math>z</math>. אפשר לעשות גם השוואת מקדמים ולראות שלמשוואה השנייה <math>0=2</math> אין פתרון.
